4.4 Plasticité en déchargement dans NorSand
4.4.3 Une formulation erronée
Tel que montré aux sous-sections précédentes, NorSand peut générer un comportement plastique en déchargement grâce à la présence du cap interne, considéré partie intégrante de la surface de plasticité de la loi de comportement. Cette plasticité en déchargement ne peut exister qu’en cas de contact entre le point de contrainte et la surface de plasticité (sur le cap interne). Cette formulation est simple et élégante, mais elle comporte toutefois quelques problèmes majeurs qui compromettent son utilisation pour des problèmes plus complexes (comme la prédiction du comportement des sables sous sollicitations cycliques).
Tout d’abord, tel qu’il est démontré à la Figure 4-20, l’atteinte du cap interne en déchargement est possible uniquement en conditions triaxiales drainées. En A), le déchargement se déroule en conditions drainées et le cheminement des contraintes suit la pente typique 1/3 de l’espace Cambridge. Le déchargement débute au point A et est élastique jusqu’au contact du point de contrainte avec le cap interne au point B. Le déchargement est ensuite élasto-plastique du point B au point C. Par opposition, le déchargement en conditions non drainées montré à la section B) de la Figure 4-20 est élastique du point A jusqu’au point C et suit une pente verticale. En aucun cas ce cheminement ne peut donc toucher au cap interne puisque l’élasticité isotrope dicte un cheminement des contraintes parfaitement vertical en cas d’élasticité.
Figure 4-20. Triaxial compression, déchargement en conditions drainées (A) et non drainées (B) A B C A C D
Pour que l’avènement d’un comportement élasto-plastique soit possible en conditions non drainées, le point de contrainte au début du déchargement devrait se trouver exactement à la jonction entre le cap interne et le reste de la surface de plasticité (au point D de la Figure 4-20 B). Cette situation peut se produire lorsque le sol passe d’un comportement contractant à un comportement dilatant. À toute fin pratique, il est par contre numériquement presque impossible que le point de contrainte coïncide parfaitement avec le cap interne, même à ce moment. Le moindre arrondi présent dans les modélisations viendra inévitablement faire en sorte que deux valeurs qui devraient être identiques seront finalement très légèrement différentes, rendant inopérant le déclenchement d’un comportement élasto-plastique.
La situation décrite ci-haut pourrait potentiellement être corrigée dans la formulation du modèle en permettant à un point de contrainte se situant suffisamment près du cap interne d’y être considéré coïncidant. Cette façon de procéder entraînerait par contre son lot de difficultés (par exemple : à quel moment un point est-il suffisamment près du cap interne pour être considéré coïncidant avec celui-ci ?).
Une deuxième difficulté vient toutefois définitivement empêcher l’utilisation du cap interne comme générateur de plasticité en déchargement non drainé. Pour bien saisir d’où provient ce problème, il faut par contre revenir légèrement en arrière et considérer la façon dont se calculent les valeurs des contraintes moyenne et déviatorique, ainsi que la position de la surface de plasticité pour tout incrément de chargement. Lors d’un chargement en conditions triaxiales drainées (compression), un incrément de contrainte déviatorique est toujours accompagné d’un incrément de contrainte moyenne proportionnel (𝜎̅̅̅̅̇𝑚 = 3𝜎̅̅̅̅̇𝑞). En ayant ainsi en main les nouvelles contraintes déviatoriques et moyennes, la nouvelle position de la surface de plasticité (sa partie courbe) peut facilement être calculée puisque chaque point de cette courbe est représenté par une paire unique de contraintes déviatorique et moyenne. En conditions non drainées, des pressions interstitielles seront générées et la pente 3/1 des incréments de contraintes déviatorique et moyenne ne pourra plus être utilisée pour relier ces deux incréments de contrainte ensemble. Heureusement, la condition aux limites non drainée (𝜀̇𝑣= 0) permet le calcul de la position de la surface de plasticité. En ayant en main la nouvelle valeur de contrainte déviatorique (appliquée au début du chargement) et la
chargement peut finalement être calculée (puisque chaque point de la surface de plasticité correspond à une paire unique de contraintes). Finalement, les pressions interstitielles sont déduites comme étant la différence entre la nouvelle contrainte effective moyenne et la contrainte totale moyenne associée à la même contrainte déviatorique.
Dans le cas du déchargement, la procédure de calcul de la position de la surface de plasticité est similaire pour le cas drainé. Ainsi, tel que montré à la Figure 4-21 A), en appliquant un incrément de déchargement de contrainte déviatorique à partir du point A se trouvant sur le cap interne, il est trivial de calculer la nouvelle contrainte moyenne au point B grâce au ratio 1/3. La nouvelle position du cap interne correspond finalement à la valeur de la contrainte moyenne précédemment calculée. Le cap interne et le reste de la surface de plasticité étant intimement lié, il possible de finalement calculer la position du reste de la surface de plasticité à partir de la position du cap interne. Le déchargement se poursuit ainsi jusqu’au point C. Cette méthode de calcul est employée par Dabeet (2008). Le cas d’un déchargement en conditions non drainées est montré à la section B) de la Figure 4-21. Le déchargement débute au point A se situant sur le cap interne. Un incrément de déchargement de contrainte moyenne est appliqué amenant ainsi la position du cap interne à la position B1- B220. À ce stade du calcul, la condition aux limites non drainée ε̇
𝑣 = 0 est utilisée pour
déterminer la nouvelle position de la surface de plasticité. L’os du problème se trouve finalement ici. En chargement, puisque le point de contrainte se trouve sur la surface de plasticité, il suffit d’en connaître la position ainsi que l’un des deux invariants de contrainte (σ̅̅̅̅𝑚 et σ̅̅̅̅𝑞) pour être en mesure de déduire l’autre. Dans le cas du déchargement, le point de
contrainte se trouve sur le cap interne et, contrairement à la surface de plasticité courbe de NorSand, il n’existe pas de paires de contrainte uniques définies sur le cap interne. Au contraire, pour une valeur de contrainte moyenne donnée (la position du cap interne), il existe une infinité de valeurs de contrainte déviatorique possibles (puisque le cap interne est une droite verticale), symbolisées ici par les valeurs B1 et B2. Il en résulte donc qu’il est impossible lors du déchargement en conditions triaxiales non drainées de déterminer lequel des cheminements de contraintes, A-B1-C1 ou encore A-B2-C2, le sol empruntera-t-il. Cette 20 Un incrément de déchargement de contrainte moyenne, plutôt que de contrainte déviatorique, est appliqué
ici afin de simplifier la visualisation. Le même raisonnement aurait pu suivi en appliquant un incrément de déchargement de la contrainte déviatorique, mais la visualisation des idées proposées aurait été plus difficile.
limitation rend tout à fait impossible l’utilisation du cap interne comme générateur de plasticité en déchargement.
Figure 4-21. Calcul de la position de la surface de plasticité en déchargement, en conditions drainées (A) et non drainées (B)