Formes de Clifford-Klein des espaces riemanniens symétriques 3

Dès la fin du dix-neuvième siècle s’est posée la question de classifier les varié-tés riemanniennes de courbure sectionnelle constante. En effet, suite aux travaux de Clifford de 1873 sur les plongements isométriques de tores plats dans l’espace projectif P³(R), Klein s’est demandé dès 1890 si l’on pouvait trouver toutes les sur-faces de courbure de Gauss constante. Ce problème, généralisé en 1891 par Killing en dimension quelconque et appelé le problème des formes de Clifford-Klein, doit sa formulation moderne à Hopf en 1925. D’après les travaux de Killing et Hopf, les variétés riemanniennes connexes de dimension n ≥ 2, géodésiquement complètes et de courbure sectionnelle constante nulle (resp. strictement positive, resp. strictement négative) sont, à une isométrie et à la renormalisation de la métrique près, les quo-tients deRⁿ (resp. deSⁿ, resp. deHⁿ) par un sous-groupe discret deRⁿoO(n)(resp.

deO(n+ 1), resp. de O(n,1)) agissant librement et proprement sur Rⁿ(resp. surSⁿ, resp. sur Hⁿ). Ces variétés sont appelées respectivement formes de Clifford-Klein euclidiennes,sphériques et hyperboliques.

Parallèlement s’est développée, à la fin du dix-neuvième siècle, la théorie des pavages de l’espace affine euclidien Rⁿ, motivée par des questions de cristallogra-phie. En 1911 et 1912, Bieberbach a posé les bases de la théorie des groupes cris-tallographiques, c’est-à-dire des groupes de symétries de pavages cocompacts de Rⁿ euclidien [Bie] ; son premier théorème affirme par exemple que tout groupe cristal-lographique deRⁿ est une extension d’un groupe fini de rotations par un groupe de translations isomorphe à Zⁿ. C’est Nowacki [Now] qui, en 1934, a mis en évidence le lien entre la théorie de Bieberbach et les formes de Clifford-Klein euclidiennes compactes : sachant que toute variété riemannienne compacte est complète d’après le théorème de Hopf et Rinow de 1931, les formes de Clifford-Klein euclidiennes compactes de dimension n ne sont autres que les quotients de Rⁿ par des groupes cristallographiques.

Les formes de Clifford-Klein euclidiennes, sphériques et hyperboliques sont des cas particuliers d’espaces riemanniens localement symétriques, c’est-à-dire de varié-tés riemanniennes dont le tenseur de courbure est invariant par transport parallèle ou, de manière équivalente, dont la symétrie géodésique en tout point est une isomé-trie locale, comme l’a remarqué É. Cartan à la fin des années 1920. En s’appuyant sur des idées d’Ehresmann, Borel et Lichnerowicz [BoL] ont montré en 1952 qu’un revêtement universel d’un espace riemannien localement symétrique est un espace riemannien (globalement) symétrique : ainsi, les espaces riemanniens localement sy-métriques compacts sont des quotients, ou formes de Clifford-Klein, d’espaces rie-manniens symétriques.

Le problème de l’existence de formes de Clifford-Klein compactes des espaces riemanniens symétriques a été résolu en toute généralité par Borel [Bo1] en 1963.

Depuis les travaux de Cartan, on savait que tout espace riemannien symétrique sim-plement connexe est le produit de ses composantes euclidienne, de type compact et de type non compact. Le problème précédent se ramenait donc à celui de l’existence de formes de Clifford-Klein compactes des espaces riemanniens symétriques de type non compact, ces derniers étant essentiellement des espaces homogènes de la forme G/K où G est un groupe de Lie semi-simple réel et K un sous-groupe compact maximal de G. Par compacité de K, le problème se ramenait finalement à la question de l’existence de réseaux cocompacts sans torsion des groupes de Lie semi-simples réels.

Cette question a été résolue de manière arithmétique par Borel : suite aux travaux de Borel et Harish-Chandra [BHC] d’une part, Mostow et Tamagawa [MT] d’autre part, sur les points entiers des Q-groupes algébriques, il lui a suffi d’établir en 1963 l’existence de certaines Q-formes d’algèbres de Lie semi-simples réelles.

Notons que les formes de Clifford-Klein des espaces riemanniens symétriques ne sont pas toutes arithmétiques, du moins en ce qui concerne les formes de Clifford-Klein hyperboliques : des réseaux cocompacts non arithmétiques de O(n,1) ont été construits par Vinberg [Vin], puis Gromov et Piatetski-Shapiro [GPS] (cf.aussi l’ap-pendice C de [Ma3]).

0.1.2 Variétés pseudo-riemanniennes complètes de courbure constante

Soient p, q ∈ N deux entiers. Rappelons que, tout comme les variétés rieman-niennes, les variétés pseudo-riemanniennes de signature (p, q) admettent une unique connexion affine sans torsion dont le transport parallèle préserve la métrique pseudo-riemannienne ; cette connexion de Levi-Cività permet, exactement comme en géo-métrie riemannienne, de définir les notions de géodésique, de tenseur de courbure et de courbure sectionnelle. On dispose de trois espaces modèles de variétés pseudo-riemanniennes de signature (p, q) et de courbure sectionnelle constante : R^p,q, S^p,q etH^p,q. La variétéR^p,q '(R^p+qoO(p, q))/O(p, q), de courbure constante nulle, n’est autre queR^p+qmuni de la métrique pseudo-riemannienneg_p,q obtenue par translation de la forme quadratique Q_p,q(x₁, . . . , x_p+q) = x²₁+. . .+x²_p−x²_p+1−. . .−x²_p+q; son groupe d’isométries est R^p+qoO(p, q). La pseudo-sphère S^p,q 'O(p+ 1, q)/O(p, q), de courbure constante égale à 1, est la quadrique d’équation Q_p+1,q = 1 de R^p+1,q, munie de la métrique pseudo-riemannienne induite par g_p+1,q; son groupe d’isomé-tries est O(p + 1, q). Elle est difféomorphe à S^p × R^q, donc simplement connexe dès que p ≥ 2. Enfin, l’espace pseudo-hyperbolique H^p,q ' O(p, q + 1)/O(p, q), de courbure constante égale à −1, est la quadrique d’équation Q_p,q+1 = −1 de R^p,q+1, munie de la métrique pseudo-riemannienne induite par gp,q+1; son groupe d’isomé-tries estO(p, q+ 1). Notons queH^p,q est difféomorphe àS^q,p par un simple échange de coordonnées dansR^p+q+1. Pourq = 0on retrouve bien les variétés riemanniennes mo-dèles mentionnées ci-dessus :R^p,0 est un espace euclidien,S^p,0 est la sphèreS^p etH^p,0 est formé de deux copies de l’espace hyperboliqueH^p. Pourq= 1 (cas lorentzien), on

trouve l’espace de Minkowski R^p,1, l’espace de Sitter dS^p+1=S^p,1 et l’espace anti-de Sitter AdS^p+1 = H^p,1; les variétés lorentziennes de courbure constante strictement positive (resp. strictement négative) sont appelées variétés de Sitter (resp. variétés anti-de Sitter).

Par analogie avec le cas riemannien, les variétés pseudo-riemanniennes connexes, géodésiquement complètes, de signature (p, q) pour p 6= 1 et q 6= 1 et de courbure sectionnelle constante nulle (resp. strictement positive, resp. strictement négative) sont, à une isométrie et à la renormalisation de la métrique près, les quotients deR^p,q (resp. de S^p,q, resp. de H^p,q) par un sous-groupe discret de R^p+q o O(p, q) (resp.

deO(p+ 1, q), resp. de O(p, q+ 1)) agissant librement et proprement sur R^p,q (resp.

sur S^p,q, resp. sur H^p,q) (cf. [Wol])². Pour p= 1 (resp. q = 1) il suffit de remplacer S^p,q = O(p + 1, q)/O(p, q) (resp. H^p,q = O(p, q + 1)/O(p, q)) par un revêtement universel eS^p,q =O(pe + 1, q)/O(p, q)e (resp. He^p,q =O(p, qe + 1)/O(p, q)).e

Pour tout couple (p, q) il existe bien sûr des variétés pseudo-riemanniennes com-plètes plates de signature (p, q) qui sont compactes, puisque le groupe Z^p+q agit librement, proprement et cocompactement sur R^p,q. Se pose alors la question de dé-crire ces variétés et leurs groupes fondamentaux. Comme généralisation du premier théorème de Bieberbach, Auslander [Aus] a proposé en 1964 que tout sous-groupe discret deRⁿoGL_n(R)agissant proprement et cocompactement surRⁿ soit virtuel-lement résoluble ; en particulier, toute variété pseudo-riemannienne complète, plate et compacte admettrait un revêtement fini dont le groupe fondamental est réso-luble. La conjecture d’Auslander reste ouverte, même si des résultats partiels sont connus : elle a été démontrée par exemple pour les variétés lorentziennes plates com-pactes [GK], pour les variétés pseudo-riemanniennes complètes, plates et comcom-pactes de signature (2, q) [AMS3] ou en dimension ≤ 6 [Tom], [AMS2]. La conjecture est mise en défaut si l’on remplace “virtuellement résoluble” par “virtuellement abélien”

ou même “virtuellement nilpotent” (cf. [Abe]), ou bien si l’on supprime l’hypothèse de cocompacité, comme l’a proposé Milnor [Mil] : citons à ce sujet les célèbres contre-exemples de Margulis [Ma1], [Ma2].

Contrairement au cas plat, en courbure constante non nulle l’existence de variétés pseudo-riemanniennes complètes compactes de signature donnée n’a rien d’évident.

Par exemple, Calabi et Markus [CM] ont démontré en 1962 que le groupe fonda-mental d’une variété de Sitter complète est toujours fini ; en particulier, il n’existe pas de variété de Sitter complète compacte. En termes de groupes, cela se tra-duit par le fait que tout sous-groupe discret de O(p+ 1,1)agissant proprement sur S^p,1 = O(p+1,1)/O(p,1)est fini. Wolf [Wol] a généralisé ce résultat aux sous-groupes discrets deO(p+ 1, q)agissant proprement surS^p,q = O(p+ 1, q)/O(p, q)pourp≥q.

Le phénomène de Calabi-Markus a été formalisé en 1989 par Kobayashi [Ko1], qui a démontré que pour tout groupe de Lie réductif réel G et tout sous-groupe fermé réductifH de même rang réel queG, les sous-groupes discrets deGagissant propre-ment sur G/H sont finis ; en particulier, G/H n’admet pas de quotient compact, à moins d’être lui-même compact. Le résultat de Kobayashi est également une

consé-2. Pour p = 0 (resp.q = 0) il faut bien sûr remplacer S^p,q (resp. H^p,q) par l’une de ses deux composantes connexes.

quence du critère de propreté établi par Benoist [Be1] en 1994, qui s’applique plus généralement aux groupes réductifs sur un corps local.

La conjecture générale est que l’espace homogèneS^p,q = O(p+1, q)/O(p, q)(ou, de manière équivalente, l’espace homogèneH^q,p= O(q, p+1)/O(q, p)) admet un quotient compact si et seulement si le couple (p, q)appartient à la liste suivante [KY] :

1. p= 0 etq ∈N, 2. p∈Net q= 0, 3. p= 1 etq ∈2N, 4. p= 3 etq ∈4N, 5. p= 7 etq = 8.

Cette conjecture reste largement ouverte : à l’heure actuelle, l’absence de quotients compacts de S^p,q n’est connue que pour p ≥ q ≥ 1, pour p+ 1 = q impair ≥ 3 et pourpq impair (cf. [KY]).

0.1.3 Variétés anti-de Sitter compactes

La conjecture précédente stipule notamment qu’il existe des variétés anti-de Sit-ter compactes complètes de dimensionn si et seulement si n est impair. Le fait qu’il n’existe pas de variété anti-de Sitter compacte complète de dimension paire est bien connu : les théorèmes de Gauss-Bonnet et de Poincaré-Hopf donneraient des valeurs contradictoires pour la caractéristique d’Euler d’une telle variété. D’autre part, Kul-karni [Kul] a fourni en 1981 les premiers exemples de variétés anti-de Sitter compactes complètes de dimension impaire en observant que l’espace anti-de Sitter H^2m,1 fibre en cercles au-dessus de l’espace hyperbolique complexeH^m_C = U(m,1)/(U(m)×U(1)) (cf. partie 6.6), ce dernier admettant des quotients compacts en tant qu’espace riemannien symétrique (cf. paragraphe 0.1.1). On obtient ainsi un plongement du groupe U(m,1) dans O(2m,2), et les variétés anti-de Sitter compactes construites par Kulkarni sont les quotients de H^2m,1 par les réseaux cocompacts sans torsion deU(m,1); de telles variétés sont dites standard.

Bien que l’analogue du théorème de Hopf-Rinow ne soit pas vrai en général pour les variétés pseudo-riemanniennes, Klingler [Kli] a montré en 1996 que toutes les va-riétés lorentziennes compactes de courbure constante sont complètes, généralisant un résultat de Carrière [Car] sur les variétés lorentziennes compactes plates. En parti-culier, il n’existe pas de variété de Sitter compacte, et les variétés anti-de Sitter com-pactes sont, à une isométrie et à la renormalisation de la métrique près, les quotients de la formeΓ\He^2m,1, oùm ≥1, oùHe^2m,1 =O(2m,e 2)/O(2m,e 1)désigne un revêtement universel deH^2m,1 et oùΓest un sous-groupe discret deO(2m,e 2)agissant librement, proprement et cocompactement sur He^2m,1. D’après les résultats de Kulkarni et Ray-mond [KR] pour m = 1 et de Zeghib [Zeg] pour m ≥ 2, on peut se contenter de revêtements finis de H^2m,1 à la place d’un revêtement universel. Les variétés anti-de Sitter compactes sont donc, à une isométrie et à la renormalisation de la métrique près, les revêtements finis des quotients compacts de H^2m,1 = O(2m,2)/O(2m,1).

Les variétés anti-de Sitter compactes prennent des formes très différentes se-lon qu’elles sont de dimension 3 ou ≥ 5. En effet, Zeghib a démontré en 1998 que pourm ≥2tout sous-groupe discret de O(2m,2)agissant librement, proprement et cocompactement surH^2m,1 est soit conjugué à un réseau cocompact de U(m,1), soit Zariski-dense dans O(2m,2) [Zeg]. Il a de plus conjecturé que la seconde situation ne se produit pas, c’est-à-dire que toutes les variétés anti-de Sitter compactes de di-mension≥5sont standard [Zeg] ; cette conjecture reste ouverte. Il existe par contre des variétés anti-de Sitter compactes de dimension 3 qui ne sont pas standard : les premiers exemples furent construits par Goldman [Gol] en 1985 en déformant des variétés standard. La possibilité de déformer des variétés standard en des variétés non standard n’existe qu’en dimension 3 (cf. paragraphe 6.1.1) ; elle est liée au fait que le groupe O(2,2) n’est pas quasi-simple, contrairement aux groupes O(2m,2) pourm ≥2.

L’étude des variétés anti-de Sitter compactes de dimension 3 est particulièrement riche. Remarquons que l’espace anti-de Sitter H^2,1 s’identifie à la variété SL₂(R) munie de la métrique lorentzienne induite par sa forme de Killing (cf. [Sa2] par exemple) ; à des groupes finis près, son groupe d’isométries est SL₂(R)×SL₂(R), qui agit sur SL₂(R) par multiplication à gauche et à droite. En 1985, Kulkarni et Raymond ont décrit les groupes fondamentaux des variétés anti-de Sitter compactes de dimension 3 : à la permutation près des deux facteurs de SL₂(R)×SL₂(R), les sous-groupes discrets sans torsion de SL₂(R)×SL₂(R) agissant proprement et co-compactement sur SL₂(R) sont des graphes de la forme

Γ^ρ₀ =

(γ, ρ(γ)), γ ∈Γ₀ ,

où Γ₀ est un réseau cocompact de SL₂(R) et ρ : Γ₀ → SL₂(R) un morphisme de groupes. À Γ₀ fixé, tous les groupes Γ^ρ₀ n’agissent pas proprement sur SL₂(R) : la propreté de l’action de Γ^ρ₀ impose une restriction forte sur ρ, souvent appelée admis-sibilité. Le critère de propreté démontré en 1994 par Benoist [Be1] a permis d’expri-mer l’admissibilité en termes d’une projection de Cartan deSL₂(R) (voir plus loin).

Pour tout réseau cocompact sans torsionΓ₀ deSL₂(R)et tout morphisme admissible ρ : Γ₀ →SL₂(R), l’action libre et propre deΓ^ρ₀ sur SL₂(R) est toujours cocompacte par un argument de dimension cohomologique (cf. paragraphe 0.2.2). Ainsi, décrire les variétés anti-de Sitter compactes de dimension 3 se ramène essentiellement à un problème de représentations de groupes de surfaces : il s’agit de décrire, pour tout réseau cocompact sans torsion Γ₀ deSL₂(R), l’ensemble des morphismes admissibles deΓ₀ dans SL₂(R).

Remarquons d’abord qu’à Γ0 fixé, l’ensemble des morphismes admissibles est ouvert dansHom(Γ₀,SL₂(R)). Pour le voir, une bonne approche est celle des(G, X )-structures (cf. paragraphe 5.7.1). Les variétés anti-de Sitter de dimension 3 sont les (O(2,2),H^2,1)-variétés, ou encore les(SL2(R)×SL2(R),SL2(R))-variétés. Le fait que l’ensemble des morphismes admissibles est ouvert dansHom(Γ₀,SL₂(R))résulte alors du résultat de complétude de Klingler [Kli] et du fameuxprincipe d’Ehresmann, qui affirme que siM est une variété compacte munie d’une(G, X)-structure d’holonomie h∈Hom(π₁(M), G), tout morphismeh⁰ ∈Hom(π₁(M), G)suffisamment proche deh

est l’holonomie d’une certaine(G, X)-structure surM. Nous renvoyons au chapitre 5 pour plus de détails.

À la fin des années 1990, Salein [Sa2] a construit, pour certains réseaux co-compacts Γ₀, des exemples de morphismes admissibles dans toutes les composantes connexes de l’espace Hom(Γ₀,PSL₂(R)), hormis les deux composantes de nombre d’Euler extrémal. Ces dernières ne sont pas atteintes car un morphisme admissible ne peut être injectif d’image discrète ; ceci résulte de la positivité de la distance asymétrique de Thurston sur l’espace de Teichmüller de la surface Γ₀\H² (cf. [Sa2]

et le chapitre 4). La non-connexité de l’ouvert des morphismes admissibles pose de nombreuses questions encore ouvertes à l’heure actuelle, par exemple le nombre de composantes connexes de cet ouvert.