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Dynamique dans les espaces projectifs

X

λ∈Λα

vλ

α

= max

λ∈Λαkvλkα

et telle que pour toutz ∈Z et tout λ ∈Λα, la restriction de ρα(z) à (Vα)λ soit une similitude de rapport qhλ,ν(z)i ([Qui], th. 6.1). (On note ici ν :Z →E le morphisme de groupes défini dans la partie 1.2.) La norme d’opérateurs correspondante k · kα surEnd(Vα)vérifie

α(g)kα =qα,µ(g)i (6.2.2)

pour toutg ∈G.

6.2.3 Exemple de SL

n

Explicitons les notations précédentes pourG=SLn, où n≥2. SoitAle tore des matrices diagonales de déterminant1. Le système de racinesΦassocié est l’ensemble des formes linéaires εi−εj pour1≤i, j ≤n et i6=j, où

εi diag(a1, . . . , an)

=ai.

Soit ∆ la base de Φ formée des racines εi −εi+1, où 1 ≤ i ≤ n −1. Fixons une racine simple α = εi0 −εi0+1 ∈ ∆. Le groupe parabolique Pα est défini par l’an-nulation des coefficients matriciels (i, j) pour 1 ≤ j ≤ i0 < i ≤ n. La variété de drapeaux G/Pα est ici la grassmannienne G(i0, n) des sous-espaces vectoriels de di-mensioni0 de l’espace affine An. L’algèbre de Lie nα est définie par l’annulation des coefficients matriciels(i, j)pour1≤i≤i0 et pouri0+1≤i, j ≤n. La décomposition

G/Pα = a

w∈W/Wα

NαwPα

est la décomposition de la grassmannienne G(i0, n) en cellules de Schubert. La re-présentation (ρα, Vα) est la représentation naturelle de SLn dans le produit exté-rieur Λi0An; son plus haut poids est le poids fondamental ωα = ε1 +. . . + εi0

associé à α. Le plongement de la grassmannienne G(i0, n) dans l’espace projectif P(Vα) =P(Λi0An) est le plongement de Plücker.

6.3 Dynamique dans les espaces projectifs

Dans cette partie, nous étudions la dynamique de certains endomorphismes de k-espaces vectoriels dans les espaces projectifs associés, où k est un corps local. Au paragraphe 6.3.1, nous commençons par quelques rappels sur la notion de proxi-malité. Nous considérons ensuite des produits de la forme z1k2z2. . . knzn, où les zi sont des éléments proximaux ayant un point fixe attractif commun x+0 et un

hyperplan répulsif commun X0, et les ki sont des isométries telles que ki · x0 ne soit pas trop proche de X0. Nous mesurons la puissance de contraction d’un tel produit en fonction des puissances de contraction des zi. Au paragraphe 6.3.2 nous considérons un k-groupe algébrique réductif connexe G et appliquons le ré-sultat du paragraphe 6.3.1 aux représentations (Vα, ρα) de G introduites au para-graphe 6.2.2. En utilisant les relations (6.2.1) et (6.2.2), nous obtenons une majo-ration de |hχα, µ(g1. . . gn)−µ(g1)−. . .−µ(gn)i| pour des éléments g1, . . . , gn ∈ G vérifiant certaines propriétés de contraction et de transversalité.

6.3.1 Proximalité dans les espaces projectifs et estimation de normes

Soient kun corps local etV unk-espace vectoriel de dimension finie. Fixons une base (v1, . . . , vn)de V et munissons V de la norme k · kV définie par

Nous notons encorek · kV la norme d’opérateurs correspondante surEnd(V). Munis-sons l’espace projectif P(V) de la distance d définie par

d(x1, x2) = inf

kv10 −v02kV, vi0 ∈xi et kvi0kV = 1 ∀i= 1,2 .

Rappelons qu’un élément g ∈End(V)r{0}est dit proximal s’il possède une unique valeur propre de valeur absolue maximale et si cette valeur propre est de multipli-cité un. (Les valeurs propres deg appartiennent à une extension finie kg deket l’on considère ici l’unique extension de la valeur absolue | · |dekàkg.) Sig est proximal, alors sa valeur propre de valeur absolue maximale appartient àk; on notex+g ∈P(V) la droite propre correspondante etXgl’image dansP(V)de l’unique supplémentaire g-invariant de x+g dans V. Notons que g agit sur P(V) en contractant P(V)rXg vers x+g. Pour ε >0, nous dirons qu’un élément proximal g ∈End(V) estε-proximal s’il vérifie les deux conditions supplémentaires suivantes :

1. d(x+g, Xg)≥2ε, et induisant sur la droite x+0 une similitude de rapport kzikV pour tout i, on ait

e−(n−1)rε·

Démonstration.Comme la norme d’opérateursk · kV surEnd(V)est sous-multipli-cative et comme ki est une isométrie de V pour touti, on a

kz1k2z2. . . knznkV

n

Y

i=1

kzikV.

Établissons l’inégalité de gauche. Soit v0 ∈ V r {0} tel que x+0 = kv0 et soit V0 l’hyperplan vectoriel de V tel que X0=P(V0). Posons

bε = {x∈P(V), d(x, x+0)≤ε}

et Bε = {x∈P(V), d(x, X0)≥ε}.

Par compacité de l’ensemble des vecteurs unitairesv ∈V tels que d(kv, X0)≥ ε et par continuité de l’application qui à v ∈ V associe l’unique élément t ∈ k tel que v ∈tv0+V0, il existe un réelrε >0 tel que pour tout v ∈V r{0}vérifiant kv ∈Bε on ait

v ∈

t ∈k, e2 kvk ≤ |t| ≤e2 kvk ·v0 +V0. (6.3.2) Pour tout 1≤j ≤n, posons

hj =zjkj+1zj+1. . . knzn∈End(V).

Montrons par récurrence descendante sur j quehj ·Bε ⊂bε et khj ·v0kV ≥e−(n−j)rε ·

n

Y

i=j

kzikV, (6.3.3)

ce qui démontrera le lemme. On commence par remarquer que pour tout i on a d’une part ki ·bε ⊂ Bε car ki est une isométrie de V et d(ki·x+0, X0) ≥2ε, d’autre part zi·Bε ⊂ bε car zi est ε-proximal, x+zi = x+0 et Xzi = X0. D’après l’hypothèse de récurrence on a donc kj+1hj+1 ·Bε ⊂ Bε et hj · Bε ⊂ bε. D’après (6.3.2) on a kj+1hj+1·v0 ∈tjv0+V0 oùtj ∈kvérifie

|tj| ≥ e2 kkj+1hj+1·v0kV = e2 khj+1·v0kV. Par hypothèse de récurrence on a

|tj| ≥ e−(n−j−12)rε ·

n

Y

i=j+1

kzikV.

Or, par hypothèsezj préserveV0 et induit sur la droitex+0 une similitude de rapport kzjkV, donc hj·v0 =zjkj+1hj+1·v0 ∈t0jv0+V0 oùt0j ∈kvérifie

|t0j| = kzjkV |tj| ≥ e−(n−j−12)rε·

n

Y

i=j

kzikV. L’inégalité (6.3.3) en découle en utilisant encore une fois (6.3.2).

6.3.2 Projection de Cartan selon les poids fondamentaux

Le lemme 6.3.1 implique le résultat suivant.

Proposition 6.3.2. Soient k un corps local et G l’ensemble des k-points d’un k-groupe algébrique réductif connexe, admettant une décomposition de Cartan G = KA+K ou G = KZ+K. Notons µ : G → E+ la projection de Cartan

On reprend ici les notations de la partie 6.2. En particulier, pour toute racine simple α ∈ ∆, on note Nα (resp. Pα) le sous-groupe unipotent (resp. parabolique) de G introduit au paragraphe 6.2.1 et χα le plus haut poids de la représentation (Vα, ρα) introduite au paragraphe 6.2.2. On munit Vα d’une norme k · kα comme au paragraphe 6.2.2, and P(Vα) d’une distance d comme au paragraphe 6.3.1. La proposition 6.3.2 résulte du lemme 6.3.1, des relations (6.2.1) et (6.2.2), et du lemme suivant.

Démonstration. 1. Il suffit de voir que tout poids restreint de (ρα, Vα) distinct de χα appartient à χα −α −N∆. Soit Wα le sous-groupe de W engendré

Démonstration de la proposition 6.3.2. Le point x+α ∈ P(Vα) est fixe par Pα. si k est ultramétrique. Soit Rα > 0 le réel donné par le lemme 6.3.3. Montrons que rα et Rα satisfont les conclusions de la proposition 6.3.2. Soient g1, . . . , gn ∈ G

Dans cette partie nous expliquons comment, sous les hypothèses du théorème 6.1.4, la proposition 6.3.2 s’applique aux éléments γ ∈ Γ et à leurs déformés ϕ(γ), où ϕ∈Hom(Γ, G) est proche de l’inclusion naturelle deΓ dans G. Nous utilisons pour cela l’idée de Guichard [Gui] d’écrire tout élément γ ∈ Γ comme un “produit trans-verse” γ0. . . γn d’éléments d’une partie finie fixée F de Γ.

6.4.1 Transversalité dans L

Soientkun corps local etLunk-groupe algébrique réductif connexe dek-rang un.

Fixons une décomposition de CartanL=KLA+LKL ouL=KLZL+KL, oùKL est un sous-groupe compact maximal de L, où AL est un k-tore k-déployé maximal de L et où ZL est le centralisateur de AL dans L. Notons µL :L → EL+ la projection de Cartan correspondante, où EL=Y(AL)⊗ZR. Comme L est de k-rang un, l’espace vectorielELest une droite, et tout isomorphisme entreELetRdonne une projection de Cartan µRL :L→R.

Si L est de k-rang semi-simple un, l’application µRL prend toutes ses valeurs dans R+ ou toutes ses valeurs dans R. On note αL l’unique racine restreinte posi-tive indivisible de AL dans L, on note PL = PαL le sous-groupe parabolique strict maximal de L associé à αL et NL = U−αL le sous-groupe unipotent associé à −αL

(cf.paragraphe 6.2.1).