Dynamique dans les espaces projectifs

X

λ∈Λ_α

vλ

α

= max

λ∈Λ_αkvλkα

et telle que pour toutz ∈Z et tout λ ∈Λ_α, la restriction de ρ_α(z) à (V_α)_λ soit une similitude de rapport q^hλ,ν(z)i ([Qui], th. 6.1). (On note ici ν :Z →E le morphisme de groupes défini dans la partie 1.2.) La norme d’opérateurs correspondante k · k_α surEnd(V_α)vérifie

kρ_α(g)k_α =q^hχα,µ(g)i (6.2.2)

pour toutg ∈G.

6.2.3 Exemple de SL

Explicitons les notations précédentes pourG=SL_n, où n≥2. SoitAle tore des matrices diagonales de déterminant1. Le système de racinesΦassocié est l’ensemble des formes linéaires ε_i−ε_j pour1≤i, j ≤n et i6=j, où

ε_i diag(a₁, . . . , a_n)

=a_i.

Soit ∆ la base de Φ formée des racines εi −εi+1, où 1 ≤ i ≤ n −1. Fixons une racine simple α = ε_i0 −ε_i0+1 ∈ ∆. Le groupe parabolique P_α est défini par l’an-nulation des coefficients matriciels (i, j) pour 1 ≤ j ≤ i₀ < i ≤ n. La variété de drapeaux G/Pα est ici la grassmannienne G(i0, n) des sous-espaces vectoriels de di-mensioni₀ de l’espace affine Aⁿ. L’algèbre de Lie n⁻_α est définie par l’annulation des coefficients matriciels(i, j)pour1≤i≤i₀ et pouri₀+1≤i, j ≤n. La décomposition

G/P_α = a

w∈W/Wα

N⁻_αwP_α

est la décomposition de la grassmannienne G(i₀, n) en cellules de Schubert. La re-présentation (ρ_α, V_α) est la représentation naturelle de SL_n dans le produit exté-rieur Λⁱ⁰Aⁿ; son plus haut poids est le poids fondamental ωα = ε1 +. . . + εi0

associé à α. Le plongement de la grassmannienne G(i₀, n) dans l’espace projectif P(V_α) =P(Λⁱ⁰Aⁿ) est le plongement de Plücker.

6.3 Dynamique dans les espaces projectifs

Dans cette partie, nous étudions la dynamique de certains endomorphismes de k-espaces vectoriels dans les espaces projectifs associés, où k est un corps local. Au paragraphe 6.3.1, nous commençons par quelques rappels sur la notion de proxi-malité. Nous considérons ensuite des produits de la forme z1k2z2. . . knzn, où les z_i sont des éléments proximaux ayant un point fixe attractif commun x⁺₀ et un

hyperplan répulsif commun X₀⁻, et les k_i sont des isométries telles que k_i · x⁻₀ ne soit pas trop proche de X₀⁻. Nous mesurons la puissance de contraction d’un tel produit en fonction des puissances de contraction des z_i. Au paragraphe 6.3.2 nous considérons un k-groupe algébrique réductif connexe G et appliquons le ré-sultat du paragraphe 6.3.1 aux représentations (V_α, ρ_α) de G introduites au para-graphe 6.2.2. En utilisant les relations (6.2.1) et (6.2.2), nous obtenons une majo-ration de |hχ_α, µ(g₁. . . g_n)−µ(g₁)−. . .−µ(g_n)i| pour des éléments g₁, . . . , g_n ∈ G vérifiant certaines propriétés de contraction et de transversalité.

6.3.1 Proximalité dans les espaces projectifs et estimation de normes

Soient kun corps local etV unk-espace vectoriel de dimension finie. Fixons une base (v₁, . . . , v_n)de V et munissons V de la norme k · k_V définie par

Nous notons encorek · k_V la norme d’opérateurs correspondante surEnd(V). Munis-sons l’espace projectif P(V) de la distance d définie par

d(x₁, x₂) = inf

kv₁⁰ −v⁰₂k_V, v_i⁰ ∈x_i et kv_i⁰k_V = 1 ∀i= 1,2 .

Rappelons qu’un élément g ∈End(V)r{0}est dit proximal s’il possède une unique valeur propre de valeur absolue maximale et si cette valeur propre est de multipli-cité un. (Les valeurs propres deg appartiennent à une extension finie k_g deket l’on considère ici l’unique extension de la valeur absolue | · |dekàkg.) Sig est proximal, alors sa valeur propre de valeur absolue maximale appartient àk; on notex⁺_g ∈P(V) la droite propre correspondante etX_g⁻l’image dansP(V)de l’unique supplémentaire g-invariant de x⁺_g dans V. Notons que g agit sur P(V) en contractant P(V)rX_g⁻ vers x⁺_g. Pour ε >0, nous dirons qu’un élément proximal g ∈End(V) estε-proximal s’il vérifie les deux conditions supplémentaires suivantes :

1. d(x⁺_g, X_g⁻)≥2ε, et induisant sur la droite x⁺₀ une similitude de rapport kz_ik_V pour tout i, on ait

e^{−(n−1)rε}·

Démonstration.Comme la norme d’opérateursk · k_V surEnd(V)est sous-multipli-cative et comme k_i est une isométrie de V pour touti, on a

kz₁k₂z₂. . . k_nz_nk_V ≤

n

Y

i=1

kz_ik_V.

Établissons l’inégalité de gauche. Soit v₀ ∈ V r {0} tel que x⁺₀ = kv₀ et soit V₀ l’hyperplan vectoriel de V tel que X₀⁻=P(V0). Posons

bε = {x∈P(V), d(x, x⁺₀)≤ε}

et B_ε = {x∈P(V), d(x, X₀⁻)≥ε}.

Par compacité de l’ensemble des vecteurs unitairesv ∈V tels que d(kv, X₀⁻)≥ ε et par continuité de l’application qui à v ∈ V associe l’unique élément t ∈ k tel que v ∈tv₀+V₀, il existe un réelr_ε >0 tel que pour tout v ∈V r{0}vérifiant kv ∈B_ε on ait

v ∈

t ∈k, e^−rε2 kvk ≤ |t| ≤e^rε2 kvk ·v0 +V0. (6.3.2) Pour tout 1≤j ≤n, posons

h_j =z_jk_j+1z_j+1. . . k_nz_n∈End(V).

Montrons par récurrence descendante sur j queh_j ·B_ε ⊂b_ε et kh_j ·v₀k_V ≥e^{−(n−j)rε} ·

n

Y

i=j

kz_ik_V, (6.3.3)

ce qui démontrera le lemme. On commence par remarquer que pour tout i on a d’une part k_i ·b_ε ⊂ B_ε car k_i est une isométrie de V et d(k_i·x⁺₀, X₀⁻) ≥2ε, d’autre part z_i·B_ε ⊂ b_ε car z_i est ε-proximal, x⁺_zi = x⁺₀ et X_z⁻_i = X₀⁻. D’après l’hypothèse de récurrence on a donc k_j+1h_j+1 ·B_ε ⊂ B_ε et h_j · B_ε ⊂ b_ε. D’après (6.3.2) on a k_j+1h_j+1·v₀ ∈t_jv₀+V₀ oùt_j ∈kvérifie

|t_j| ≥ e^−rε2 kk_j+1h_j+1·v₀k_V = e^−rε2 kh_j+1·v₀k_V. Par hypothèse de récurrence on a

|t_j| ≥ e^{−(n−j−12)rε} ·

n

Y

i=j+1

kz_ik_V.

Or, par hypothèsez_j préserveV₀ et induit sur la droitex⁺₀ une similitude de rapport kz_jk_V, donc h_j·v₀ =z_jk_j+1h_j+1·v₀ ∈t⁰_jv₀+V₀ oùt⁰_j ∈kvérifie

|t⁰_j| = kz_jk_V |t_j| ≥ e^{−(n−j−12)rε}·

n

Y

i=j

kz_ik_V. L’inégalité (6.3.3) en découle en utilisant encore une fois (6.3.2).

6.3.2 Projection de Cartan selon les poids fondamentaux

Le lemme 6.3.1 implique le résultat suivant.

Proposition 6.3.2. Soient k un corps local et G l’ensemble des k-points d’un k-groupe algébrique réductif connexe, admettant une décomposition de Cartan G = KA⁺K ou G = KZ⁺K. Notons µ : G → E⁺ la projection de Cartan

On reprend ici les notations de la partie 6.2. En particulier, pour toute racine simple α ∈ ∆, on note N⁻_α (resp. P_α) le sous-groupe unipotent (resp. parabolique) de G introduit au paragraphe 6.2.1 et χ_α le plus haut poids de la représentation (V_α, ρ_α) introduite au paragraphe 6.2.2. On munit V_α d’une norme k · k_α comme au paragraphe 6.2.2, and P(V_α) d’une distance d comme au paragraphe 6.3.1. La proposition 6.3.2 résulte du lemme 6.3.1, des relations (6.2.1) et (6.2.2), et du lemme suivant.

Démonstration. 1. Il suffit de voir que tout poids restreint de (ρα, Vα) distinct de χ_α appartient à χ_α −α −N∆. Soit W_α le sous-groupe de W engendré

Démonstration de la proposition 6.3.2. Le point x⁺_α ∈ P(V_α) est fixe par P_α. si k est ultramétrique. Soit R_α > 0 le réel donné par le lemme 6.3.3. Montrons que r_α et R_α satisfont les conclusions de la proposition 6.3.2. Soient g₁, . . . , g_n ∈ G

Dans cette partie nous expliquons comment, sous les hypothèses du théorème 6.1.4, la proposition 6.3.2 s’applique aux éléments γ ∈ Γ et à leurs déformés ϕ(γ), où ϕ∈Hom(Γ, G) est proche de l’inclusion naturelle deΓ dans G. Nous utilisons pour cela l’idée de Guichard [Gui] d’écrire tout élément γ ∈ Γ comme un “produit trans-verse” γ₀. . . γ_n d’éléments d’une partie finie fixée F de Γ.

6.4.1 Transversalité dans L

Soientkun corps local etLunk-groupe algébrique réductif connexe dek-rang un.

Fixons une décomposition de CartanL=K_LA⁺_LK_L ouL=K_LZ_L⁺K_L, oùK_L est un sous-groupe compact maximal de L, où A_L est un k-tore k-déployé maximal de L et où ZL est le centralisateur de AL dans L. Notons µL :L → E_L⁺ la projection de Cartan correspondante, où E_L=Y(A_L)⊗_ZR. Comme L est de k-rang un, l’espace vectorielE_Lest une droite, et tout isomorphisme entreE_LetRdonne une projection de Cartan µ^R_L :L→R.

Si L est de k-rang semi-simple un, l’application µ^R_L prend toutes ses valeurs dans R⁺ ou toutes ses valeurs dans R⁻. On note α_L l’unique racine restreinte posi-tive indivisible de A_L dans L, on note P_L = P_αL le sous-groupe parabolique strict maximal de L associé à αL et N⁻_L = U−αL le sous-groupe unipotent associé à −αL

(cf.paragraphe 6.2.1).