5.2 Rappels sur la construction de Kirzbraun et Valentine
5.3.3 Démonstration de la proposition 5.3.4
Pour démontrer la proposition 5.3.4 on reprend la construction du paragraphe 5.2.3.
Construction. Soit(xn)n≥1 une suite de points deux à deux distincts de IrS telle que {xn, n≥ 1} soit dense dans I rS et telle que les deux extrémités de I appar-tiennent à S∪ {xn, n≥ 1}. Posons g0 =f :S → H2 et construisons par récurrence la restrictiongn deg àS∪ {xi, 1≤i≤n}, où n≥1, de la manière suivante. Suppo-sonsgn−1 construite et soit(yn, Cn, s1,n, s2,n, s3,n)une donnée de Kirzbraun-Valentine associée à gn−1, à S∪ {xi, 1 ≤ i ≤ n−1} et à xn, donnée par le lemme 5.2.2. On posegn(x) =gn−1(x) pour tout x∈S∪ {xi, 1≤i≤n−1} etgn(xn) = yn. D’après le lemme 5.2.3 on a Cn ≤ C, i.e. l’application gn est C-lipschitzienne. On obtient ainsi un prolongement C-lipschitzien g : S ∪ {xn, n ≥ 1} → H2 de f tel que pour tout n≥1 on ait
d(g(xn), g(s1,n))
d(xn, s1,n) = d(g(xn), g(s2,n))
d(xn, s2,n) = d(g(xn), g(s3,n))
d(xn, s3,n) =Cn (5.3.3) et
g(xn)∈Conv({s1,n, s2,n, s3,n}). (5.3.4) On prolonge enfing par continuité en une applicationC-lipschitzienneg :S∪I →H2, en utilisant le fait que {xn, n ≥1} est dense dans IrS.
Remarque 5.3.8. Pour montrer que κg(x) < C pour tout x ∈ I∪S rSC et que S∪I est g-saturé, il suffit de montrer que supn≥1Cn< C.
En effet, il suffit pour cela de montrer que CI = sup
x∈I
sup
x0∈(T∪I)r{x}
d(g(x), g(x0))
d(x, x0) < C, ce qu’implique l’inégalité supn≥1Cn< C.
La suite de ce paragraphe est donc consacrée à la démonstration de l’inégalité supn≥1Cn< C. On commence par une remarque facile mais indispensable.
Remarque 5.3.9. Pour tout n≥1 on a Cn< C.
En effet, supposons par l’absurde qu’il existe n ≥ 1 tel que Cn = C. Si C > 1, alors d’après le lemme 5.2.4 il existe i6=j tels que d(g(si,n), g(sj,n)) =Cnd(si,n, sj,n) et tels que si,n, x, sj,n soient alignés dans cet ordre ; on obtient une contradiction avec le fait que I ∩ SC = ∅. Si C = 1, alors d’après le lemme 5.2.4 on a x ∈ Conv({s1,n, s2,n, s3,n}) etd(g(si,n), g(sj,n)) = Cnd(si,n, sj,n) pour tous i, j; on obtient là aussi une contradiction avec le fait que I∩SC =∅.
Dans la suite du paragraphe, on raisonne par l’absurde en supposantsupn≥1Cn =C.
Soit ϕ:N∗ →N∗ une application strictement croissante telle que Cϕ(n) > max
0≤k≤ϕ(n)−1Ck (5.3.5)
pour tout n ≥ 1. Par hypothèse on a Cϕ(n) → C. Comme I est compact, quitte à extraire encore une sous-suite, on peut supposerxϕ(n) →x pour un certain x∈I.
On commence par se restreindre au cas oùs1,ϕ(n)reste dans un compact en dehors deSC.
Lemme 5.3.10. Quitte à renuméroter et à extraire une sous-suite, on peut supposer qu’il existe un compact K de SrSC tel que s1,ϕ(n)∈ K ∪I pour tout n≥1.
Démonstration.Il suffit de montrer qu’il existei∈ {1,2,3}tel que la suite(si,ϕ(n)) admette une valeur d’adhérence si ∈I ∪SrSC.
Supposons par l’absurde que pour touti∈ {1,2,3}, toutes les valeurs d’adhérence de la suite(si,ϕ(n))appartiennent àSC. Alors il existe une sous-suite(xϕ0(n))de(xϕ(n)) telle que pour touti∈ {1,2,3}on aitsi,ϕ0(n) →si ∈SC. De (5.3.4) on déduit aisément queg(x)∈Conv({g(s1), g(s2), g(s3)}). En passant à la limite dans (5.3.3) on obtient d(g(x), g(si)) =Cd(x, si) pour touti∈ {1,2,3}.
Supposons C > 1. D’après le lemme 5.2.4 il existe i 6= j tels que
∠g(x)(g(si), g(sj)) 6= 0 et d(g(si), g(sj)) ≥ Cd(si, sj). Si g(si), g(x), g(sj) ne sont pas alignés dans cet ordre, alors l’inégalité est stricte, ce qui est impossible puisque g est C-lipschitzienne. Par conséquent,g(si), g(x), g(sj) sont alignés dans cet ordre.
D’après la remarque 5.8.7.1, on a x ∈ [si, sj] ⊂ SC, ce qui contredit le fait que I∩SC =∅.
Supposons C = 1. D’après le lemme 5.2.4 on a x ∈ Conv({s1, s2, s3}) et d(g(si), g(sj)) = d(si, sj) pour tous i, j. D’après la remarque 5.8.7.2, la restriction de g à Conv({s1, s2, s3}) est une isométrie. En particulier, on a x ∈ SC, ce qui contredit le fait queI ∩SC =∅.
Notons que le fait que I est un intervalle n’intervient pas dans la démonstration du lemme 5.3.10. En revanche, il intervient dans celle du lemme suivant, qui permet de se restreindre au cas où s1,ϕ(n) et s2,ϕ(n) restent tous deux dans un compact en dehors de SC.
Lemme 5.3.11. Quitte à renuméroter et à extraire une sous-suite, on peut supposer qu’il existe un compact K0 de SrSC tel que s1,ϕ(n), s2,ϕ(n) ∈ K0∪I pour tout n≥1.
Démonstration. D’après le lemme 5.3.10, quitte à renuméroter et à extraire une sous-suite, on peut supposers1,ϕ(n) →s1 ∈I∪SrSC. Comme dans la démonstration du lemme 5.3.10, il suffit de montrer qu’il existe i ∈ {2,3} tel que la suite (si,ϕ(n)) admette une valeur d’adhérence si ∈I∪SrSC. Supposons par l’absurde que pour touti∈ {2,3}, toutes les valeurs d’adhérence de la suite(si,ϕ(n))appartiennent àSC. Alors il existe une sous-suite (xϕ(n)) de (xϕ(n)) telle que pour tout i ∈ {2,3} on ait si,ϕ(n) → si ∈ SC. Comme I ∩SC = ∅, on a s2, s3 6= x. En passant à la limite dans (5.3.3) on obtient
d(g(x), g(si)) =Cd(x, si) (5.3.6) pour tout i ∈ {1,2,3}. Nous traitons séparément les cas où s1 6=x et où s1 = x, le second cas étant le plus délicat.
Premier cas : s1 6=x.
Supposons C > 1. D’après (5.3.6) et le lemme 5.2.4 il existe 1 ≤ i < j ≤ 3 tels que d(g(si), g(sj)) ≥ Cd(si, sj), et l’inégalité est stricte si g(si), g(x), g(sj) ne sont pas alignés dans cet ordre. Commeg estC-lipschitzienne, l’inégalité ne peut pas être stricte, doncg(si), g(x), g(sj)sont alignés dans cet ordre. D’après la remarque 5.8.7.3, on a x ∈ [si, sj] et g est affine de constante C sur [si, sj]. Si si, sj ∈ S on obtient x∈[si, sj]⊂SC, ce qui contredit le fait que I∩SC =∅. Sinon on a si =s1 ∈IrS, et[s1, x]∩(IrS)contient un sous-intervalle ouvert non trivial de I puisque s1 6=x par hypothèse et queS est fermé dansH2. Comme{xn, n≥1}est dense dansIrS, il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ [s1, x]. On a alors d(g(xn), g(sj)) = Cd(xn, sj), ce qui contredit le fait queCn< C.
Supposons C = 1. D’après le lemme 5.2.4 on a x ∈ Conv({s1, s2, s3}) et d(g(si), g(sj)) = d(si, sj)pour tousi, j. D’après la remarque 5.8.7.2, la restriction deg àConv({s1, s2, s3})est une isométrie. Sis1 ∈Son obtientx∈Conv({s1, s2, s3})⊂SC, ce qui contredit le fait queI∩SC =∅. Sinon on asi =s1 ∈IrS, et [s1, x]∩(IrS) contient un sous-intervalle ouvert non trivial de I puisque s1 6= x par hypothèse et que S est fermé dans H2. Comme {xn, n ≥1} est dense dans IrS, il existe n ≥1 tel que xn ∈ [s1, x]. On a alors d(g(xn), g(sj)) = Cd(xn, sj), ce qui contredit le fait que Cn < C.
Second cas : s1 =x.
Commençons par remarquer que x /∈ S, car sinon (5.3.6) impliquerait x ∈ SC, ce qui contredirait le fait que I ∩SC = ∅. Comme S est fermé dans H2 et comme s1,ϕ(n), xϕ(n) →x, on peut supposer, quitte à extraire une sous-suite, que s1,ϕ(n)∈/ S etxϕ(n) ∈/ S pour toutn ≥1. On a alors
s1,ϕ(n)∈ {xi, 1≤i≤ϕ(n)−1} ⊂IrS
pour tout n ≥ 1, et quitte à extraire encore une sous-suite, on peut supposer qu’il existe une extrémitée deI telle que s1,ϕ(n)∈[e, xϕ(n)]⊂I pour toutn ≥1. Quitte à extraire une dernière sous-suite, on peut supposer que les angles∠xϕ(n)(s1,ϕ(n), si,ϕ(n)) et∠g(xϕ(n))(g(s1,ϕ(n)), g(si,ϕ(n)))admettent des limites pouri∈ {2,3}. D’après (5.3.3) et (5.3.5), pour toutn ≥1et tout i∈ {2,3} on a
d(g(s1,ϕ(n)), g(si,ϕ(n)))
d(s1,ϕ(n), si,ϕ(n)) ≤ max(C0, . . . , Cϕ(n)−1) < Cϕ(n) et
Cϕ(n) = d(g(s1,ϕ(n)), g(xϕ(n)))
d(s1,ϕ(n), xϕ(n)) = d(g(xϕ(n)), g(si,ϕ(n))) d(xϕ(n), si,ϕ(n)) . D’après le corollaire 5.8.5, on a alors
n→+∞lim ∠g(xϕ(n))(g(s1,ϕ(n)), g(si,ϕ(n)))≤ lim
n→+∞∠xϕ(n)(s1,ϕ(n), si,ϕ(n)) pour touti∈ {2,3}. Or, on a
n→+∞lim X
i6=j
∠xϕ(n)(si,ϕ(n), sj,ϕ(n)) ≤ 2π, (5.3.7)
et d’après (5.3.4) on a
n→+∞lim X
i6=j
∠g(xϕ(n))(g(si,ϕ(n)), g(sj,ϕ(n))) = 2π,
donc
n→+∞lim ∠g(xϕ(n))(g(s2,ϕ(n)), g(s3,ϕ(n))) ≥ lim
n→+∞∠xϕ(n)(s2,ϕ(n), s3,ϕ(n)), c’est-à-dire
∠g(x)(g(s2), g(s3)) ≥ ∠x(s2, s3). (5.3.8) En utilisant (5.3.6) et le corollaire 5.8.3, on en déduit
d(g(s2), g(s3)) ≥ Cd(s2, s3). (5.3.9) Comme g est C-lipschitzienne, il y a égalité dans (5.3.9). Comme de plus S est f-saturé, on a [s2, s3] ⊂ SC, donc x /∈ [s2, s3]. Notons que l’égalité dans (5.3.9) implique qu’il y égalité dans (5.3.8) et dans (5.3.7). Comme s1,ϕ(n) ∈ [e, xϕ(n)] pour tout n, on en déduit
∠x(e, s2) +∠x(e, s3) +∠x(s2, s3) = 2π, et doncx∈Conv({e, s2, s3}).
SupposonsC >1. D’après le corollaire 5.8.3, comme il y a égalité dans (5.3.9), les points x, s2, s3 sont alignés. Or, on a vu quex /∈[s2, s3] et quex∈Conv({e, s2, s3}), donc il existe i∈ {2,3} tel que x∈[e, si]. L’autre extrémité e0 deI appartient alors à[x, si]. D’après (5.3.6) et la remarque 5.8.7.1, l’applicationgest affine de constanteC sur[x, si], donc en particulier on ad(g(e0), g(si)) =Cd(e0, si). Sie0 ∈I∩S, on obtient [e, si] ⊂ SC car S est f-saturé, ce qui contredit le fait que I ∩SC = ∅. Sinon on a e0 ∈ {xn, n≥1}par hypothèse, ce qui contredit le fait queCn< C pour toutn≥1.
SupposonsC = 1. D’après (5.3.6), (5.3.9) et la remarque 5.8.7.2, la restriction deg au triangleConv({x, s2, s3})est une isométrie. Or, on a vu quex∈Conv({e, s2, s3}), donc [e, x] ⊂ Conv({e, s2, s3}). De plus, on a vu que x /∈ [s2, s3], donc l’ensemble I ∩Conv({e, s2, s3}) contient strictement [e, x]. On en déduit que Conv({x, s2, s3}) contient un sous-intervalle ouvert non trivial de I, et même de IrS puisque x /∈ S. Comme {xn, n ≥ 1} est dense dans I r S, il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ Conv({x, s2, s3}). On a alors d(g(xn), g(s2)) = d(xn, s2), ce qui contredit le fait que Cn <1.
On peut maintenant terminer la démonstration de la proposition 5.3.4. D’après le lemme 5.3.11, quitte à renuméroter et à extraire une sous-suite, on peut supposer qu’il existe un compact K0 deSrSC tel que s1,ϕ(n), s2,ϕ(n) ∈ K0∪I pour tout n≥1.
D’après le lemme 5.3.7, on a CK0 = sup
x∈K0
sup
x0∈Sr{x}
d(g(x), g(x0)) d(x, x0) < C.
D’après le lemme 5.2.4, pour tout n≥1 on a alors Cϕ(n) ≤ max
1≤i<j≤3
d(g(si,ϕ(n)), g(sj,ϕ(n)))
d(si,ϕ(n), sj,ϕ(n)) ≤ max CK0, max
0≤k≤ϕ(n)−1Ck . CommeCϕ(n)→C, pour tout n assez grand on a
Cϕ(n) ≤ max
0≤k≤ϕ(n)−1Ck, ce qui contredit (5.3.5).