Déformation de quotients compacts ultramétriques

Au chapitre 4, nous nous plaçons sur un corps local ultramétrique comme au chapitre 3, et nous montrons que de petites déformations préservent la propreté des actions décrites par le théorème 0.2.2 pour des groupes discrets de type fini sans torsion.

Théorème 0.2.8 (chapitre 4). Soient k un corps local ultramétrique, G l’ensemble desk-points d’unk-groupe algébrique semi-simple connexe dek-rang un etΓun sous-groupe discret de type fini sans torsion deG×Gagissant proprement sur(G×G)/∆_G. Il existe un voisinage U ⊂ Hom(Γ, G×G) de l’inclusion naturelle formé de mor-phismes injectifs et tel que pour tout ϕ∈ U, le groupe ϕ(Γ) soit discret dans G×G et agisse proprement sur (G×G)/∆_G.

Notons que les groupes discrets Γ du théorème 0.2.8 sont libres puisque ce sont des graphes décrits par le théorème 0.2.2 et que tout sous-groupe discret sans torsion deG est libre lorsque kest ultramétrique. Ils admettent donc des déformations non triviales dans G×G : il suffit de déformer indépendamment chaque élément d’une partie génératrice libre. Ceci répond en particulier à la question 0.2.1.3 lorsquekest ultramétrique.

En utilisant le théorème 0.2.6 et le fait qu’après une déformation suffisamment petite tout réseau cocompact sans torsion de G reste un réseau cocompact sans torsion, on obtient le résultat suivant, qui répond à la question 0.2.1.4.

Corollaire 0.2.9 (chapitre 4). Sous les hypothèses du théorème 0.2.8, si Γ agit pro-prement et cocompactement sur(G×G)/∆_G, il existe un voisinageU ⊂Hom(Γ, G×G) de l’inclusion naturelle formé de morphismes injectifs et tel que pour tout ϕ ∈ U, le groupe ϕ(Γ) soit discret dans G×G et agisse proprement et cocompactement sur (G×G)/∆_G.

L’étape principale de la démonstration du théorème 0.2.8 consiste à prouver que pour tout sous-groupe discret de type fini sans torsion Γ0 de G, l’ensemble des mor-phismes admissibles est ouvert dansHom(Γ₀, G). LorsqueΓ₀est un réseau cocompact sans torsion de G, c’est l’analogue ultramétrique du résultat mentionné à la fin du paragraphe 0.1.3. Nous démontrons en fait le résultat plus précis suivant.

Théorème 0.2.10 (chapitre 4). Soient kun corps local ultramétrique, G l’ensemble des k-points d’un k-groupe algébrique semi-simple connexe de k-rang un et Γ₀ un sous-groupe discret de type fini sans torsion de G. Pour tout morphisme de groupes ρ : Γ₀ → G, notons C_ρ^µ ≥ 0 la borne inférieure des réels C ≥ 0 tels que l’ensemble {µ(ρ(γ))−Cµ(γ), γ ∈Γ₀} ⊂R soit majoré.

1. Il existe une partie finieF deΓ₀r{1}telle que pour tout morphismeρ: Γ₀ →G on ait

C_ρ^µ = sup

γ∈Γ₀r{1}

λ(ρ(γ))

λ(γ) = max

γ∈F

λ(ρ(γ)) λ(γ) ,

où λ : G → R⁺ est la longueur de translation de G sur son arbre de Bruhat-Tits.

2. Un morphisme ρ: Γ0 →G est admissible si et seulement si C_ρ^µ<1.

Rappelons que pour toute isométrie g ∈Isom(X)d’un arbre réel simplicial X, la longueur de translation de g surX est définie par

λ(g) = inf

x∈Xd(x, g·x)≥0.

L’application λ : Isom(X) → R⁺ est continue pour la topologie compacte-ouverte.

PourG= SL₂(Qp)par exemple, l’arbre de Bruhat-TitsX deGest un arbre infini ré-gulier de valencep+1et la longueur de translationλ(g)surX d’un élémentg ∈Gest la valeur absolue (réelle) de la valuationp-adique du quotient des deux valeurs propres

deg. Notons que tout groupe discret sans torsionΓ₀ d’isométries d’un arbre réel sim-plicial X agit librement sur X, ce qui implique λ(γ)>0pour tout γ ∈Γ₀r{1}.

Le théorème 0.2.10 dit que l’admissibilité d’un morphisme ρ : Γ₀ → G est dé-terminée par un nombre fini de conditions ouvertes ; ceci prouve que l’ensemble des morphismes admissibles est ouvert dans Hom(Γ₀, G).

Ce théorème est un cas particulier d’un résultat plus général que nous démon-trons pour les groupes d’isométries d’arbres réels simpliciaux (théorème 4.3.1). Notre preuve consiste à étudier le lien entre les constantes de Lipschitz de certaines appli-cations équivariantes entre deux arbres réels simpliciaux et certains quotients de lon-gueurs de translation d’isométries de ces arbres. Plus précisément, nous démontrons le résultat suivant.

Proposition 0.2.11 (chapitre 4). Soient X et X⁰ deux arbres réels simpliciaux de valence ≥ 2, soit Γ₀ un sous-groupe discret sans torsion de Isom(X) tel que le quo-tient Γ₀\X soit un graphe fini, et soit ρ: Γ₀ →Isom(X⁰) un morphisme de groupes.

1. Il existe une application ρ-équivariante f :X → X⁰ qui est lipschitzienne. La borne inférieure C_ρ ≥ 0 des constantes de Lipschitz de telles applications est atteinte.

2. Fixons un point x0 ∈ X et soit F le sous-ensemble fini de Γ0 r{1} formé des éléments γ tels que d(x₀, γ ·x₀) ≤ 4L₀, où L₀ désigne la longueur totale des arêtes de Γ₀\X. Pour toute application ρ-équivariante et C_ρ-lipschitzienne f : X → X⁰, il existe γ ∈ F tel que f soit affine de constante Cρ sur l’axe de translation de γ dans X. On a

sup

γ∈Γ0r{1}

λ ρ(γ)

λ(γ) = max

γ∈F

λ ρ(γ)

λ(γ) = Cρ.

Rappelons qu’une application f : X → X⁰ est dite ρ-équivariante si f(γ ·x) = ρ(γ)·f(x) pour toutγ ∈Γ₀ et tout x∈X.

Dans le cas particulier où ρest injectif d’image discrète et cocompacte, la propo-sition 0.2.11 implique l’existence d’une “distance asymétrique” sur l’outre-espace OS_n de rangn égal au rang du groupe libreΓ₀, ainsi que l’équivalence entre deux défini-tions différentes de cette distance asymétrique. Rappelons queOS_n est défini comme un ensemble de classes d’équivalence de graphes métriques connexes finis normalisés et marqués par un groupe libreFnàngénérateurs (cf.paragraphe 4.4.1). La distance asymétrique sur OS_n que nous venons de mentionner est un analogue de la distance asymétrique de Thurston sur l’espace de Teichmüller (cf.paragraphe 4.4.4).

Nous déduisons de la proposition 0.2.11 un résultat général sur les isométries d’arbres réels simpliciaux (corollaire 4.4.3) qui, dans le cadre des quotients compacts de(G×G)/∆_G, s’énonce de la manière suivante.

Corollaire 0.2.12 (chapitre 4). Soientk un corps local ultramétrique, Gl’ensemble des k-points d’un k-groupe algébrique semi-simple connexe de k-rang un et Γ₀ un réseau cocompact sans torsion de G. Il n’existe pas de morphisme de groupes admis-sible ρ: Γ₀ →G qui soit injectif d’image discrète.

Ceci fait écho à l’absence de morphisme admissible dans les composantes connexes deHom(Γ₀,SL₂(R))de nombre d’Euler extrémal lorsqueΓ₀ est un réseau cocompact sans torsion de SL₂(R) (cf. paragraphe 0.1.3).