Forme normalis´ee

Lorsqu’on consid`ere la clˆoture palindromique it´er´ee usuelle, on a le fait suivant :

Proposition 10. Soitu=ψ(w). Alorsu⁰ est un pr´efixe palindrome deusi et seulement

s’il existe un pr´efixe w0 dew tel queu0 =ψ(w0).

D´emonstration. (⇐) D´ecoule directement de la d´efinition de clˆoture palindromique

et de clˆoture palindromique it´er´ee.

(⇒) On proc`ede par l’absurde, c’est-`a-dire qu’on suppose qu’il existe deux pr´efixes

cons´ecutifs w⁰ etw⁰⁰ dew tels qu’il existe un palindrome pr´efixep entre les deux

palin-dromes pr´efixesu0 =ψ(w0) etu00 =ψ(w00) . Ceci contredit le fait queu00est le plus court

palindrome ayant uα comme pr´efixe, o`u α est la lettre qu’on ajoute avant d’appliquer

la clˆoture palindromique.

La proposition 10 nous indique que les palindromes pr´efixes de u =ψ(w) sont

exacte-ment ceux obtenus par clˆoture palindromique. En d’autres termes, aucun palindrome

pr´efixe n’est omis par la clˆoture palindromique it´er´ee. Or, cette propri´et´e n’est pas

v´erifi´ee lorsqu’on permet d’utiliser les clˆoturesR-palindromique etE-palindromique en

mˆeme temps.

Exemple 24. Calculons les pseudopalindromes pr´efixes du motw=ψRERE(0011). On

trouve

ψ_R(0) = 0

ψ_RE(00) = 0011

ψ_RER(001) = 0011100

ψ_RERE(0011) = 00111001100011

mˆeme fa¸con, calculons les pr´efixes deu=ψ_RRE(011) :

ψR(0) = 0

ψRR(01) = 010

ψRRE(011) = 0101.

On remarque dans ce cas que le E-palindrome 01 ne se trouve pas non plus dans les

pseudopalindromes pr´efixes obtenus.

Bien qu’il existe une infinit´e d’exemples de bi-suite directrice ne d´ecrivant pas tous

les pseudopalindromes pr´efixes, il est toujours possible de r´e´ecrire la bi-suite de sorte

qu’ils y soient tous d´ecrits. Plus pr´ecis´ement, nous montrons dans cette section qu’il est

toujours possible de r´e´ecrire une bi-suite directrice sous une formenormale.

D´efinition 6. Une bi-suite directrice (finie ou infinie) (Θ, w) est ditenormalis´eeousous

forme normale si pour tout pseudopalindrome pr´efixe u0 de ψ(w), il existe un pr´efixe

w⁰ de w tel que u⁰ = ψ(w⁰). Tout pseudopalindrome qui ne v´erifie pas cette condition

est ditmanqu´e parψ(w).

Le lemme suivant d´ecoule directement de la d´efinition de pseudopalindrome manqu´e :

Lemme 17. Soit (Θ, w) une bi-suite directrice finie. Si (Θ, w) est sous forme normale

et que (Θτ, wa) ne l’est pas, o`u a ∈ Aet τ ∈ {R, E}, alors tout ϑ-palindrome pr´efixe

manqu´ep est tel que |ψ_Θ(w)|<|p|<|ψ_Θτ(wa)|.

D´emonstration. Trivial.

Lemme 18. Les plus courts pr´efixes d’une bi-suite normalis´ee contenant les deux lettres

distinctes de A sont de la forme (Ri+1, aia) pour i ≥ 2 ou (RiE, aia) pour i ≥ 1, o`u

a∈ {0,1}.

D´emonstration. Par inspection simple. On observe en particulier qu’une bi-suite

normalis´ee ne peut commencer avec l’antimorphisme E. Les autres cas sont faciles `a

v´erifier.

v

t

u a

τ-palindrome→

τ-palindrome→

p

q

Figure 3.3: Illustration de la d´emonstration du lemme 19.

Les mots pseudostandards g´en´eralis´es admettent des p´eriodes `a diff´erentes ´echelles. Le

lemme qui suit d´ecrit les pseudop´eriodes induites par des bi-suites qui ne sont pas sous

forme normale.

Lemme 19. Soit (Θ, w) une bi-suite finie normalis´ee. Supposons que (Θτ, wa) ne soit

pas normalis´ee, o`u τ ∈ {R, E} et a ∈ A. Soit u = ψΘ(w), v = ψΘτ(wa) et t un

pseudopalindrome pr´efixe manqu´e par (Θτ, wa). Finalement, soitp=|v|−|u|,q =|v|−|t|

etg= pgcd(p, q).

(i) Si |v| ≥ p +q, alors g est une E-p´eriode de v, p = 2g, q = g et u est un τ

-palindrome ;

(ii) Sinon,τ =E etq est une ϑ-p´eriode de t, o`uϑ est le dernier antimorphisme de la

suite Θ.

D´emonstration. La situation est illustr´ee `a la figure 3.3. Remarquons que t est un

τ-palindrome, sinon, v ne serait pas le plus court τ-palindrome admettant ua comme

pr´efixe. De plus, il suit du lemme 14 quepest une (ϑ◦τ)-p´eriode dev, puisquevest un

τ-palindrome et u est un ϑ-palindrome. De fa¸con semblable, q est une (τ ◦τ)-p´eriode,

c’est-`a-dire uneE-p´eriode dev.

(i) Premi`erement, supposons que |v| ≥ p+q. Alors le th´eor`eme 7 s’applique de sorte

que g= pgcd(p, q) est une E-p´eriode dev. Par le lemme 13, on conclut que le pr´efixey

de v de longueur|v| −2gest unτ-palindrome. Puisque aucun τ-palindrome n’apparaˆıt

entre u et v (autrement v ne serait pas le plus court τ-palindrome ayant ua comme

pr´efixe), on a n´ecessairement|y| ≤ |u|, c’est-`a-dire quep=|v| − |u| ≤2g. En combinant

le fait que 0 < q < p≤2g, que |u|<|t|<|v|et que g divise `a la fois q = |v| − |t| et

p−q =|t| − |u|, on en conclut que p = 2g et donc q =g. En particulier, u=y est un

τ-palindrome.

(ii) Il reste `a consid´erer le cas |v|< p+q. Notons que, par d´efinition de clˆoture

pseu-dopalindromique, on a |v| ≤ 2|u|+ 2, avec |v| = 2|u|+ 2 si et seulement si v est un

E-palindrome. Nous montrons d’abord que |v| = 2|u|+ 2 en proc´edant par l’absurde.

Supposons donc, au contraire, que |v| ≤2|u|+ 1. Alors

|v| < p+q

= |v| − |u|+|v| − |t|

≤ 2|u|+ 1− |t|+|v| − |u|

= |u|+ 1− |t|+|v|

≤ |u|+ 1− |u| −1 +|v|

≤ |v|,

ce qui est absurde (la derni`ere in´egalit´e suit de l’in´egalit´e |t| ≥ |u|+ 1). Ainsi, |v| =

2|u|+ 2. Ceci entraˆıne que τ = E et t est un R-palindrome (puisque τ = R). En

nous basant sur des in´egalit´es semblables, on montre que |t|=|u|+ 1. Il ne reste qu’`a

appliquer le lemme 14 pour conclure queq est une ϑn-p´eriode det.

Lorsqu’une suite n’est pas normalis´ee, on peut ´egalement d´eduire certaines informations

sur les antimorphismes impliqu´es.

Lemme 20. Soit (Θ, w) une bi-suite normalis´ee de longueurn,ϑn= Θ[n]et supposons

que (Θτ, wa) ne soit pas normalis´ee, o`uτ ∈ {R, E}eta∈ A. Alorsϑ_n=τ ou (Θτ, wa) =

(Rn−1E, an).

D´emonstration. Soit u = ψΘ(w), v = ψΘτ(wa) et t un pseudopalindrome pr´efixe

manqu´e par (Θτ, wa). La situation est illustr´ee `a la figure 3.4. Aussi, soitp=|v| − |u|,

q=|v| − |t|etg= pgcd(p, q). Si|v| ≥p+q, alors par le lemme 19, On aϑn=τ, tel que

voulu. Sinon, supposons par contradiction queϑ_n6=τ. Encore une fois par le lemme 19,

v

t

u a

τ-palindrome→

τ-palindrome→

p

q

Figure 3.4: Illustration de la d´emonstration du lemme 20.

on en d´eduit que τ =E,ϑ_n=R et 1 est une R-p´eriode de T. En cons´equence, u =an

et on est exactement dans le cas (Θτ, wa) = (Rn−1E, an).

Certains motifs m`enent n´ecessairement `a une bi-suite non normalis´ee. Le lemme qui

suit, dont la d´emonstration est plus technique, explique plus en d´etail la situation.

Lemme 21. Soit Θ une suite d’antimorphismes involutifs, ϑ ∈ {R, E}, w ∈ A^∗ et

a, b ∈ A. Supposons que (Θϑϑ, wab) est normalis´ee. Finalement, soit u = ψ_Θϑ(wa),

v=ψ_Θϑϑ(wab), p=|v| − |u|etsle suffixe de longueurp de v. Alors

(i) p est la plus petiteE-p´eriode dev;

(ii) ψ_Θϑϑϑ(uabb) =vs;

(iii) ψ_Θϑϑϑ(uabb) =vss;

(iv) (Θϑϑϑ, uabb) n’est pas normalis´ee, mais (Θϑϑϑϑ, uabbb) est normalis´ee et les deux

bi-suites engendrent le mˆeme mot.

D´emonstration. (i) Il suit directement du lemme 14 que p est une E-p´eriode de v.

Il reste `a montrer que cette p´eriode est minimale. Supposons au contraire qu’il existe

une E-p´eriode p⁰ < p. Soit s⁰ le suffixe de longueur p⁰ de v. Alors le mot us0 est un

ϑ-palindrome et b est bien la premi`ere lettre de s0, contredisant le fait que v le plus

court ϑ-palindrome dont ubest pr´efixe.

(ii) Comme v est un ϑ-palindrome admettant p commeE-p´eriode, il suit du lemme 13

que vs est bien un ϑ-palindrome. Supposons maintenant quevs n’est pas le plus court

ϑ-palindrome admettantvbcomme pr´efixe. Soitxle plus longϑ-palindrome suffixe dev.

Alors|x|>|v| −pet, par le lemme 14,vposs`ede laE-p´eriode|v| − |x|< p, contredisant

(i).

(iii) Ici aussi, par le lemme 13, on sait que vss est un ϑ-palindrome. Un argument

similaire `a celui pr´esent´e en (ii) nous permet de conclure qu’il s’agit bien du plus court

palindrome admettantvbcomme pr´efixe.

(iv) D´ecoule des parties (ii) et (iii).

Nous sommes maintenant en mesure de d´ecrire les formes exactes des bi-suites directrices

non normalis´ees :

Lemme 22. Une bi-suite s est normalis´ee si et seulement si elle ne contient aucun

pr´efixe d’une des formes suivantes :

(i) (RR, aa) ;

(ii) (Ri−1E, ai) ;

(iii) (RiEE, aiaa) ;

(iv) (ΘREE, wabb) ou (ΘERR, wabb),

o`u a, b∈ {0,1},i≥1 est un entier et (Θ, w) est une bi-suite directrice finie.

D´emonstration. (⇒) Nous d´emontrons la contrapos´ee, c’est-`a-dire que nous

suppo-sons que la bi-suite directrice admet une de ces quatre formes comme pr´efixe et nous

d´emontrons qu’elle n’est alors pas normalis´ee.

Clairement, (i) ψ_RR(aa) = aaa manque le E-palindrome pr´efixe aa, (ii) ψ_R

i−1

E(ai) =

aiai manque le palindrome pr´efixe ai et (iii) ψ_R

i

EE(aiaa) = aiai+1ai+1ai manque le

palindrome pr´efixe aiai+1ai. Le cas (iv) suit directement du lemme 21.

(⇐) Nous d´emontrons encore une fois la contrapos´ee, c’est-`a-dire que nous supposons

que s n’est pas normalis´ee. Si |s| ≤ 2, alors par inspection, on constate que les seules

bi-suites directrices non normalis´ees sont celles des cas (i) et (ii). Supposons maintenant

que|s| ≥3. Soit (Θ, w) le plus court pr´efixe non normalis´e des etn=|w|. Soit

u=ψ_ϑ

₁

_ϑ

₂

···ϑ

n−1

(w[1]w[2]· · ·w[n−1]), v =ψ_Θ(w)

g= pgcd(p, q). Par le lemme 20, il y a deux possibilit´es : soit nous nous retrouvons dans

le cas (ii), soit (Θ, w) admet comme suffixe un des ´el´ements de l’ensemble

{(RRR, abc),(EEE, abc),(ERR, abc),(REE, abc)},

o`ua, b, c∈ {0,1}. D’autre part, le lemme 19 implique que|v| ≥p+q,gest uneE-p´eriode

de v,p= 2g,q =g etu est unϑn-palindrome, c’est-`a-dire que ϑn−1 =ϑn. Posons

y=ψϑ

1

ϑ

2

···ϑ

n−2

(w[1]w[2]· · ·w[n−2]).

Dans un premier temps, remarquons que|u|−|y| ≤g. Autrement, il existerait un pr´efixe

ϑn-palindromique entrey etu, `a savoir le suffixe devde longueur|v| −3gpar le lemme

13, contredisant le fait que (ϑ1ϑ2· · ·ϑn−1, w[1]w[2]· · ·w[n−1]) est normalis´ee. Soit

g⁰ = |u| − |y|. Si g⁰ = g, alors ϑn−2 = ϑn et c = b, c’est-`a-dire que s termine avec

(ERR, abb) ou (REE, abb). Par le lemme 21, ce qui correspond au cas (iv). Il reste `a

consid´erer le cas g⁰ < g. Nous montrons dans les paragraphes qui suivent que cela nous

m`ene au cas (iii) ou (iv).

Premi`erement, montrons que |y| < g. Pour cela, supposons au contraire que |y| ≥ g.

Ceci implique que |u| ≥ g+g⁰. Puisque g est une E-p´eriode de v (en particulier une

E-p´eriode de u) et que, par le lemme 14,g⁰ est une (ϑn−2◦ϑn)-p´eriode deu, on d´eduit

du th´eor`eme 7 queg⁰⁰= pgcd(g, g⁰) est uneE-p´eriode deu. De plus, cetteE-p´eriodeg⁰⁰

se propage dans tout le motv(puisqueg⁰⁰ diviseg,gest une E-p´eriode devet|u|> g⁰,

par le lemme 16, ce qui pr´esente une contradiction : ceci impliquerait qu’il existe un

ϑ_n-palindrome entre les ϑ_n-palindromes u et v qui correspondrait au pr´efixe de v de

longueur |v| −2g⁰⁰ (par le lemme 13). Or, g⁰⁰ < g (puisque g⁰ < g). Par cons´equent,

l’in´egalit´e|y|< g est d´emontr´ee.

Maintenant, nous montrons que |v| = 4g −2. Rappelons de la d´efinition de clˆoture

pseudopalindromique que |v| ≤ 2|u|+ 2. De plus, |v| = |u|+ 2g, |y| ≤ g−1 et g⁰ =

|u| − |y| ≤g−1. D’une part, on a

|v| ≤2|u|+ 2 = 2|v| −4g+ 2,

ce qui implique|v| ≥4g−2. D’autre part,

|v|=|u|+ 2g≤ |y|+g−1 + 2g≤g−1 +g−1 + 2g= 4g−2,

de sorte que|v|= 4g−2. En particulier, en vertu des ´egalit´es et in´egalit´es|v|= 4g−2,

|v|−|u|= 2g,|u|−|y| ≤g−1 et|y| ≤g−1, on a|y|=g−1,|u|= 2g−2 et|v|= 2|u|+2.

Ainsi, ϑn=E etg⁰=|u| − |y|=g−1.

Finalement, notons que, puisque|v| ≥p+q= 3g, le pr´efixezde v de longueur|v| −3g

est un ϑn-palindrome, c’est-`a-dire unR-palindrome, par le lemme 13. Or, le lemme 14

implique que|y| − |z|=g−g⁰ = 1 est un (ϑn−2◦R)-p´eriode dey, c’est-`a-dire uneϑn−2

-p´eriode dey. Siϑ2 =Ret puisqueyest de longueurg−1 et contient la lettreb, on trouve

y=b^g−1, de sorte queu=b^g−1bg−1 etv=b^g−1bgb^gbg−1, ce qui correspond exactement

au cas (iii). Autrement, si ϑ2 =E, alors en inspectant les pseudopalindromes pr´efixes

z,y et u, on trouve que (REE, abb), o`ua∈ A, est un facteur des et on retourne dans

le cas (iv), ce qui conclut la d´emonstration.

Nous concluons cette section sur la forme normale avec un th´eor`eme d´ecrivant

exacte-ment la proc´edure `a suivre pour transformer une bi-suite directrice non normalis´ee en

une bi-suite normalis´ee.

Th´eor`eme 8. Soit (Θ, w) une bi-suite directrice, avec Θ une suite finie ou infinie

d’antimorphismes involutifs et w un mot de mˆeme longueur que Θ. Alors il existe une

bi-suite normalis´ee (Θ0, w0) telle queψ_Θ(w) =ψ_Θ

0

(w0). Plus pr´ecis´ement, il est possible

de construire la bi-suite (Θ⁰, w⁰) en utilisant les r`egles de r´e´ecriture suivantes lors de la

lecture de la bi-suite de gauche `a droite ;

(i) remplacer le pr´efixe (RR, aa) par le pr´efixe (RER, aaa) ;

(ii) remplacer le pr´efixe (Ri−1E, ai) par le pr´efixe (RiE, aia) ;

(iii) remplacer le pr´efixe (RiEE, aiaa) par le pr´efixe (RiERE, aiaaa) ;

(iv) remplacer tout facteur (ϑϑϑ, abb) par le facteur (ϑϑϑϑ, abbb), o`u ϑ ∈ {R, E} et

a, b∈ {0,1}.

D´emonstration. Le lemme 22 nous indique la forme des pr´efixes et des facteurs

in-terdits dans les bi-suites directrices normalis´ees alors que le lemme 21 nous d´ecrit la

proc´edure `a suivre pour corriger tout facteur de la forme (ϑϑϑ, abb) afin de rendre la

bi-suite sous forme normale. Il reste `a expliquer comment normaliser les pr´efixes de la

forme (i), (ii) ou (iii). Par le lemme 22, on sait que les pr´efixes (RER, aaa), (RiE, aia)

et (RiERE, aiaaa) sont normalis´es, puisqu’ils ne sont pas dans l’ensemble des pr´efixes

et facteurs interdits. Maintenant, on v´erifie facilement que

ψ_RR(aa) = ψ_RER(aaa),

ψ_R

i−1

E(aⁱ) = ψ_R

i

E(aⁱa),

ψ_R

i

EE(aⁱaa) = ψ_R

i

ERE(aⁱaaa),

tel que voulu.

Nous illustrons le th´eor`eme avec un exemple.

Exemple 25. Consid´erons la bi-suite non normalis´ee d = (RRR,011). Puisqu’elle a

un pr´efixe de la forme (i) du th´eor`eme 8, on peut r´e´ecrire den d0 = (RERR,0101), o`u

(RER,010) est normalis´ee.

L’´etape suivante consiste `a remplacer tous les facteurs de la forme (ϑϑϑ, abb) par

(ϑϑϑϑ, abvb). Il n’y a qu’un facteur de cette forme, `a savoir (ERR,101). On obtient

alors la nouvelle bi-suite directriced00= (RERER,01010), qui est normalis´ee. En effet,

on v´erifie qued⁰⁰ ne contient aucun pr´efixe ou facteur interdit. Finalement, v´erifions que

detd00 g´en`erent le mˆeme mot :

ψ_RRR(011) = 0 1 0 1 0,

ψ_RERER(01010) = 0 ˇ1 0 ˇ1 0.

Dans le document A l'intersection de la combinatoire des mots et de la géométrie discrète : palindromes, symétries et pavages (Page 84-93)