Formalisme de Livolant-Jeanpierre

Le formalisme de Livolant-Jeanpierre [CRI-46] permet aussi bien de traiter les isotopes résonnants après résolution exacte d’un problème de ralentissement en milieu homogène infini puis résolution de ce problème à l’aide de modèles de l’opérateur de ralentissement lourd (NR-Narrow Resonance, ST-STatistique, WR-Wide Resonance et TR-Toute Résonance) dans le cas d’un milieu hétérogène.

• Equivalence Homogène / Hétérogène

Première étape de la méthode, l’équivalence avec un milieu homogène permet d’obtenir pour chaque groupe énergétique et chaque région d’autoprotection les taux de réaction dans la géométrie réelle. Sa mise en œuvre nécessite donc de connaître la structure fine du flux pour chacun de ces groupes et chacune de ces régions. Or, le domaine des résonances des isotopes lourds étant essentiellement régi par le phénomène de ralentissement élastique pur, on effectue le calcul d’autoprotection en supposant que le flux présent dans la définition des sections efficaces multigroupes autoprotégées est solution de l’équation de ralentissement pur, de résolution aisée en milieu homogène infini.

– Milieu homogène infini

Soit un mélange de noyaux lourds (indice 0) et de noyaux modérateurs (indice 1), l’équation du ra- lentissement pur s’écrit, du fait que le domaine de résonance des noyaux lourds est en dessous du domaine énergétique des fissions :

(Σt0(u) + Σt1(u))φ(u) =

X

x

(R0xφ(u) + R1xφ(u)) (1.12)

avec Rx, opérateur de ralentissement élastique résonnant défini par

Rxφ(u) =

Z u

u−ǫ0

Σs,x′(u′→ u)φ(u′)du′

Le formalisme de Livolant-Jeanpierre définit la factorisation du flux φ = ϕχ introduisant le flux ma- croscopique défini par

χ(u) = P xR1xφ(u) Σ_s(u) = R1φ(u) Σ_s(u)

et la fonction de structure fine ϕ, la nouvelle inconnue du problème. Alors que le flux macroscopique χvarie lentement avec la léthargie du fait de la lente variation des sections de diffusion des noyaux légers avec la léthargie et de la grandeur de l’intervalle d’intégration de l’opérateur de ralentissement, la fonction de structure fine possède une structure résonnante et varie très rapidement avec la léthargie. Pour résoudre (1.12), on fait « l’approximation de structure fine » R0φ(u) ≈ χ(u)R0ϕ(u) consistant à

découpler les structures macroscopiques et microscopiques du flux, justifiée de part la variation très lente de χ avec la léthargie et l’étroitesse du domaine d’intégration de R0(gain maximum en léthargie

très faible pour un noyau lourd). Après simplification par le flux macroscopique χ, on peut alors écrire (1.12) sous la forme simplifiée :

(Σt0(u) + Σt1(u))ϕ(u) =

X

x

(R0xϕ(u) + Σs1(u)) (1.13)

En divisant (1.13) par la concentration N0en noyaux modérateurs et en définissant la section de dilu-

tion par σe=

Σt1

N0 , il vient :

( ˜σt0+σe)ϕ(u) = ˜r0ϕ(u) + γeσe (1.14)

avec ˜r0= R0(u)

N0 , N0étant la concentration de l’isotope résonnant et γe, paramètre mesurant le pouvoir

d’absorption du modérateur. Notons que la section de dilution σe et le paramètre γe dépendent très

faiblement de la léthargie pour un noyau modérateur. On obtient donc une équation dite de « structure fine » à deux variables, σe et γeet linéaire en γe. Ainsi, si ϕ(σe, γe) est solution de (1.14), la relation

ϕ(σe, γe)= γeϕ(σe,1) est vérifiée d’où la possibilité de ne résoudre (1.14) que pour γe =1. Cette réso-

lution de (1.14) pour γe = 1 est effectuée en amont du calcul APOLLO2 par des codes multigroupes

(THEMIS, CALENDF) qui résolvent l’équation exacte de structure fine avec un maillage énergétique très fin. Sachant qu’une fois sa température fixée, un milieu homogène infini étant caractérisé par sa

dilution, des taux de réaction « exacts » Thomdans chaque région d’autoprotection vont ainsi pouvoir

être obtenus par interpolation en fonction de celle-ci. Grâce aux modèles NR, WR, ST et TR, on peut résoudre l’équation de structure fine et calculer ainsi grâce à des formules de quadrature des taux de réaction « approchés » Thom∗ fonction de la section de dilution. Les modèles NR et WR découlent

de la comparaison du gain de léthargie maximum par choc par rapport à la largeur de la résonance considérée tandis que les modèles ST et TR prenne pour hypothèse que dans le noyau de transfert, l’exponentielle peut être remplacée par une constante du fait de la faible valeur du gain en léthargie sur un noyau lourd.

• Modèle NR (Narrow-Resonance)

Ce modèle suppose que la largeur de la résonance est petite devant le gain maximum en léthargie donc dans la formule définissant l’opérateur de ralentissement élastique résonnant, on peut remplacer la section de diffusion à la léthargie u’ par la section potentielle et le flux par sa valeur constante hors résonance. L’équation de structure fine (1.14) s’écrit alors :

(σt0+σe(u))ϕ(u) = σpϕ(σp) + γeσe (1.15)

Comme ϕ(σp) = γe, il vient l’expression de la structure fine NR (flux de Bondarenko) :

ϕNR(u) = γe

(σp+σe)

σ0(u) + σe

(1.16)

Dans un groupe g donné, le taux d’absorption sera calculé grâce à une formule de quadrature de type Z g σa(u) f [σt(u)]du = N X i=1

∆ugσaipif(σti) avec (pi, σti, σai)(1 ≤ i ≤ n), tables de probabilités de σt

avec pour partielle σa. Ce modèle, représentatif du ralentissement pour les hautes énergies est utilisé

comme flux de mise en groupe dans le domaine non-résolu. • Modèle WR (Wide-Resonance)

Le modèle WR correspond à l’approximation « Résonance large ». On considère que la résonance est beaucoup plus grande que l’intervalle de léthargie sur lequel agit l’opérateur de ralentissement. Sous cette hypothèse, l’équation de structure fine (1.14) devient :

(σt0+σe(u))ϕ(u) = σs0ϕ(u) + γeσe (1.17)

d’où l’expression de la structure fine WR :

ϕWR_{(u) =} γeσp

σa0(u) + σe

(1.18)

De même que précédemment, le taux d’absorption sera calculé par une formule de quadrature de type Z

g

σa(u) f [σa(u), σt(u)]du = I

X

i=1

∆ugpif(σai, σti) (1.19)

Ce modèle est assez réaliste pour des énergies < 30 eV et peut être appliqué pour l’autoprotection de la grande résonance de l’238_{Uà 6.67 eV.}

• Modèle ST (Statistique)

Le modèle ST suppose les résonances étroites, statistiquement distribuées dans le groupe énergétique g considéré et que leur espacement est faible par rapport au gain maximum en léthargie. On peut alors remplacer la moyenne du produit σs0 sur l’intervalle de léthargie [u − ǫ0; u] par sa moyenne sur le

groupe g. L’équation de structure fine (1.14) devient alors :

En supposant l’homogénéisation effectuée sur le groupe g et en remplaçant ϕ par sa valeur tirée de (1.20), on obtient : hσs0ϕig= 1 ∆ug Z g σs0(u′)hσs0ϕig +γeσe σ0(u′) + σe du′ (1.21) d’où l’expression de la fonction de structure fine ST :

ϕS T(u) = γeσe 1 − 1 ∆ug R g σs0(u′) σ0(u′)+σedu ′ 1 σ0(u′) + σe (1.22)

Après décomposition de l’intégrale apparaissant dans (1.22), le taux d’absorption sera calculé par une formule de quadrature de type

Z g σa(u) f [σt(u)]du = N X i=1 ∆ugσaipif(σti).

• Modèle TR (Toute Résonance)

Ce modèle approxime le noyau de ralentissement par la somme des taux de diffusion moyens par groupe y compris dans l’intervalle de léthargie [u − ǫ0; u]. Le noyau de ralentissement s’écrit alors :

r0ϕ(u) ≈ 1 ǫ0[(u2(g ′_{) − u + ǫ0)hσs0ϕi}′ g+ g−1 X g′′_=g′+1 ∆g_u′′_hσs0ϕig′′+(u − u1(g))hσs0ϕig]

Ce qui peut se réécrire sous la forme

rT R(u) ≈X g′_≤g ∆I(g′, g) ∆_ug′ hσ s0ϕi′_g= X g′_≤g prop(g′_{, g)hσs0ϕi}′ g (1.23)

avec I(g’,g) définissant les intervalles composant la partition de chaque groupe énergétique g du maillage, I(g’,g) = u g tel que : (u − ǫ0) g’, g′ ≤ g et ∆I(g′, g) la largeur de ces intervalles. Le

terme prop(g’,g) est l’approximation de la probabilité de transfert d’un neutron de g’ vers g. Le flux TR s’exprime alors : ϕT R(u) = 1 1 − prop(g,g) ∆ug R g σs0(u′) σt0(u′)+σedu′ kg+γeσe σt0(u) + σe (1.24) avec kg= X g′_≤g prop(g′_{, g)hσs0ϕi}′ g. – Milieu hétérogène

En géométrie hétérogène, l’équation matricielle du ralentissement élastique pur s’écrit :

Σt(u)Vφ(u) = p(u)V[R0φ(u) + R1φ(u)] (1.25)

avec

• Σt: matrice diagonale des sections efficaces totales ;

• V : matrice diagonale des volumes des régions de calcul ; • P : matrice des probabilités de collision ;

• R0 et R1 : opérateurs de ralentissement des noyaux lourds et légers. Le formalisme de Livolant-

Jeanpierre permet d’écrire, dans chaque région de calcul j et en supposant le flux macroscopique χ identique en tout point de l’espace :

R0φj(u) = χj(u)R0ϕj(u), χj(u) = χi(u), ∀i, j (1.26)

L’équation (1.25) peut alors se mettre sous la forme : Σti(u)Viϕi(u) =

X

j

avec Σs1, jsection de diffusion des noyaux légers. Regroupons à présent toutes les régions de calcul i

en une seule région d’autoprotection, caractérisée par la présence des mêmes mélanges résonnants et décomposons le second membre de (1.27), le terme R0ϕj étant nul en dehors du domaine résonnant,

donc en dehors des régions β d’autoprotection le fractionnant. Il vient,

X Σi(u)Viϕi(u) = X i∈β X β X j∈β Pi j(u)VjR0 jϕj(u) + X i∈α X j Pi j(u)VjΣs1, j(u) (1.28)

Sachant que l’isotope résonnant traité possède les mêmes sections microscopiques donc le même opérateur de ralentissement microscopique dans toutes les régions de calcul formant la région d’auto- protection α et en remplaçant le flux de structure fine dans les régions de calcul i par le flux moyen dans la région α, ϕα, on obtient :

X Σ_i(u)V_iϕ0α(u) = X i∈β X β X j∈β Pi j(u)VjN0 jr0βϕ0β(u) + X i∈α X j Pi j(u)VjΣs1, j(u) (1.29)

et en définissant la matrice C(u) et le vecteur S(u) respectivement par : Cαβ(u) =

P i∈αPj∈βPi j(u)VjN0 j P i∈αΣiVi et Cα(u) = P i∈αPjPi j(u)VjΣs1, j(u) P i∈αΣiVi

l’équation (1.29) peut finalement s’écrire dans chaque région d’autoprotection sous la forme :

ϕ0(u) = C(u)r0ϕ0(u) + S (u) (1.30)

Cette équation est la base du formalisme d’autoprotection, cependant, elle est difficile à résoudre car couplée en espace et en énergie et on peut avoir à traiter un cas de mélange d’isotopes résonnants. Le couplage en espace peut être traité de deux manières, soit par la méthode PIC consistant en une diagonalisation artificielle de la matrice C(u), soit par la méthode de la matrice de dilution [CRI-47], soit (ce qui est retenu dans APOLLO2) par la méthode directe qui calcule par un produit matrice- vecteur le flux en substituant dans (1.30) r0par sa valeur approchée issue des différents modèles NR,

WR, ST et TR. Le couplage en énergie est traité grâce à ces mêmes modèles. Concernant le traitement des mélanges, il existe deux méthodes : soit chaque noyau résonnant est traité individuellement, les noyaux résonnants non-traités étant considérés comme des noyaux modérateurs, soit le mélange est directement traité comme une seule entité résonnante. Le calcul s’effectue alors par couplage ou ité- ration sur les groupes énergétiques. Dans le premier cas, à chacune des itérations, les autres noyaux résonnants sont pris en compte soit avec leurs sections autoprotégées si celles-ci ont été calculées lors de l’itération précédente soit avec leurs sections non-autoprotégées dans le cas contraire. Cependant, cette méthode est inadaptée lorsque deux isotopes résonnants possèdent des résonances à l’intérieur d’un même groupe : il y a interférence entre résonances. Ainsi, on peut obtenir dans chaque région d’autoprotection les taux de réaction correspondant à ce flux ponctuel en léthargie calculé de façon approchée en géométrie hétérogène. Ces taux seront notés Ta∗. A partir de ces taux Ta∗, on peut remon-

ter à la valeur de la dilution σe à employer dans le calcul des taux de référence en milieu homogène

infini Thomen réalisant une équivalence entre ces taux Ta∗approchés en milieu hétérogènes et les taux

Figure 1.18– Principe d’homogénéisation dans le code de transport APOLLO2

Cette deuxième étape a pour but de calculer, pour chaque isotope résonnant x et dans le groupe éner- gétique g, pour toutes les réactions et toutes les régions d’autoprotection α, les sections multigroupes qui garantissent la conservation des taux de réaction exacts issus de l’étape d’homogénéisation, soit le système d’ordre α :

Tρ,x,αg = ∆ugσρ, x, αgϕg0α (1.31)

ϕg_0α, le flux multigroupe moyen par unité de léthargie dans le groupe g et la région d’autoprotection α dépend de la distribution des sections efficaces totales dans toutes les régions d’autoprotection. Or, les sections efficaces totales des isotopes non résonnants sont connues donc ϕg

0αne dépend que de celle

de l’isotope résonnant x. On peut alors ne résoudre (1.31) que pour la section efficace totale :

Tx,αg = ∆ugσx, αgϕg0α(~σgx) (1.32)

avec ~σg

xle vecteur de composante α égale à la section efficace totale de x dans la région α et le groupe

g. Le flux de structure fine obtenu alors permet d’accéder aux sections efficaces pour toutes les autres réactions. Ce flux ϕg

0α(σ g

x) est solution de l’équation de structure fine en géométrie hétérogène intégrée

sur un groupe énergétique g. Le système (1.32) se résout alors de la façon suivante en notant n l’indice d’itération, σα

x la section efficace microscopique totale de l’isotope x, Nix sa concentration et Σg_1x la

Figure 1.19– Obtention par itération des sections efficaces autoprotégées multigroupes

De part la non prise en compte des réactions inélastiques discrètes ainsi que de l’anisotropie du trans- fert, le domaine énergétique de cette méthode est réduit. De plus, elle n’est adaptée que pour des mélanges contenant des isotopes très diffusants non-résonnants et des isotopes lourds résonnants du fait de l’approximation sur l’opérateur de ralentissement R0Φ.

En résumé, l’organigramme de la méthode est donné par la Figure 1.20 [CRI-43] :

Figure 1.20– Implémentation de la méthode de Livolant-Jeanpierre dans APOLLO2

Dans le document Le Crédit Burnup des combustibles REP-MOx français : méthodologie et conservatismes associés à l'évaluation JEFF-3.1.1. (Page 60-67)