Discrétisation des variables angulaire et spatiale

Contrairement au traitement de la variable d’énergie, les discrétisations des variables d’espace, ~r et ~Ω dépendent du choix de la méthode retenue pour le calcul du flux multigroupe [CRI-32]. Les méthodes des ordonnées discrètes, utilisant la forme intégro-différentielle de l’équation du transport consistent ainsi à discrétiser la variable angulaire du flux, la discrétisation spatiale pouvant alors être menée en utilisant différentes sous-méthodes (méthodes du type éléments finis, nodales ou des caractéris- tiques). Ces méthodes consistent à résoudre l’équation vérifiée par le flux angulaire uniquement dans un nombre fini de directions et approche les intégrales angulaires par une formule de quadrature de type Gauss. Parmi elles, nous nous intéresserons plus particulièrement à la méthode des caractéris- tiques. La méthode des probabilités de première collision (ou méthode Pi j), basée sur la forme in-

tégrale de l’équation du transport, ne traite pas explicitement la dépendance en angle du flux et se contente d’une discrétisation spatiale de l’équation. APOLLO2 permet d’utiliser indifféremment l’une ou l’autre de ces deux méthodes que nous allons à présent évoquer.

1.4.2.4.1 Méthode des probabilités de collision (Pi j) pour un groupe d’énergie donné

Les notations de ce paragraphe sont en majorité tirées de [CRI-2]. Cette méthode est basée sur la dis- crétisation par rapport à l’espace de l’équation du transport sous sa forme intégrale. Chacune des zones homogènes de la géométrie (contenant un seul milieu) est discrétisée en petits volumes élémentaire Vi. En faisant l’hypothèse de sources et de chocs isotropes, l’équation du transport

φ(r) = Z ∞ e− ˜Σt|~r−~r′| 4π|~r − ~r′_|2[Σs(~r′)φ(~r′) + S (~r′)]d 3_r′

peut s’écrire en tenant compte de la discrétisation et en intégrant sur le volume Vi:

ViΣti¯φi =

X

j

avec : Σtiet Σsiexpression des sections efficaces dans Vi, Si = 1 Vi Z Vi S(~r)d3r

source moyenne dans Vi;

φi = 1 Vi Z Vi φ(~r)d3r

flux moyen dans Vi;

˜P_ji= R VjΣt(~r ′_)d3_r′R ViQ(~r) e− ˜ΣtR 4πR2d3r R ViQ(~r)d 3_r

probabilité pour un neutron émis selon la densité Q(~r′_{) = Σ(~r}′_)Φ(~r′_{) + S (~r}′_{) de façon isotrope dans}

Vi de subir sa première collision dans Vj. Cette expression exacte de ˜Pji n’étant pas utilisable en

pratique puisque Φ(~r′_{) est inconnu car recherché, elle est remplacée par sa valeur moyenne dans}

chaque volume élémentaire. Dans chacun des volumes Vi, de dimensions suffisamment faibles, en fai-

sant l’hypothèse d’un choc isotrope, on approxime alors la densité d’émission par sa valeur moyenne ¯ Qi = 1 Vi Z i

Q(~r′_)d3_r′_{On obtient ainsi l’expression}

ViΣti¯φi = X j PjiVj(Σs j¯φj+ Sj) avec Pji= Σ_{t j} Vi Z d3r′ Z e− ˜ΣtR 4πR2d 3_r

La méthode consiste alors à :

• calculer numériquement grâce à une méthode de quadrature dans chaque groupe d’énergie les Pjig;

P_jig = Σig Vj Z i d3r Z j e−τg 4πR2d 3 r′;

• effectuer une itération « externe » pour initialiser les sources de fission ;

• calculer le flux dans chaque groupe d’énergie en fonction de la densité d’émission en résolvant le système linéaire ViΣi,g¯Φi,g =

N

X

j=1

VjQ¯j,gP_jig en partant du groupe g=1 ;

• initialiser le flux thermique par un flux maxwellien à la température du problème par itération « in- ternes » pour recalculer la source de fission dans les groupes thermiques ;

• lorsque le critère de convergence du calcul est atteint, les itérations « externes » s’arrêtent. Pour le calcul de problèmes concernant les REP, il existe essentiellement deux variantes utilisables de la méthode des probabilités de première collision :

• la méthode dite « 2D exacte », basée sur un calcul des matrices des probabilités Pi j dans les dif-

férentes zones constituant la géométrie par intégration des noyaux de transport correspondants sur des cordes ;

• la seconde, dite « multicellule », basée sur le couplage par le biais de courants d’interface de l’en- semble des régions formant la géométrie permettant de ne calculer que les matrices pour lesquelles les indices i et j sont relatifs à la même cellule. Celle-ci, moins précise, est cependant plus couram- ment utilisée car moins coûteuse en temps de calcul.

Le code APOLLO2 permet d’employer différentes options pour le calcul des probabilités de première collision selon le degré de précision souhaité. Citons ici celles couramment mises en œuvre pour les études de sûreté-criticité :

• modèle ROTH : la cellule réelle est cylindrisée pour le calcul des probabilités de collision à l’inté- rieur de celle-ci et pour celui des probabilités de transmission ;

• modèle UP0 : différencie les faces de la cellule réelle pour respecter la nullité de la probabilité de transmission d’une face de la cellule avec elle-même. Il offre deux possibilités pour effectuer le calcul des probabilités de collision à l’intérieur de la cellule : calcul sur la cellule cylindrisée (modèle de ROTH généralisé correspondant aux données &UP0 &ROTH) ou sur la cellule carrée ou hexagonale (options &UP0 &HETE). Les flux angulaires sont considérés comme étant uniformes par face et isotropes en angle ;

1.4.2.4.2 Méthode des caractéristiques (MOC)

La méthode des caractéristiques permet le traitement de l’anisotropie de diffusion ainsi qu’une descrip- tion hétérogène de la géométrie considérée sans pour autant nécessiter des temps de calculs excessifs. Il s’agit d’une méthode aux ordonnées discrètes. Le développement de cette méthode remonte aux années 50 (Vladimirov, 1959) [CRI-33] mais son utilisation pour le traitement de géométries 2D com- plexes n’a commencé qu’au cours des années 70 (Askew, 1972) [CRI-34], [CRI-35]. Cette méthode de résolution de l’équation du transport a été pour la première fois utilisée par le code CACTUS (Halsall, 1980) [CRI-36] et est largement utilisée aujourd’hui dans le monde par les codes de transport dont par exemple CASMO5 (Smith, 2000)[CRI-37] et APOLLO2 (solveur TDT) (Sanchez & Chetaine, 2000) [CRI-38], [CRI-39]. Le Tableau 1.4 présente la comparaison des performances des solveurs Pi j

et MOC [CRI-40] pour deux applications :

UO2 MOX Temps CPU (s) TRIPOLI4 JEFF-3.1 kinf 1.32053 1.16102

σ(pcm) 23 20

PIJ kinf 1.31973 1.16118 0.3

∆ρ(pcm) -46 12

MOC_s kinf 1.31968 1.16166 8

∆ρ(pcm) -49 47

Tableau 1.4– Comparaison solveurs APOLLO2 Pij et MOC (CEA2005)

La méthode des caractéristiques repose sur une discrétisation spatiale dans laquelle un domaine D est décomposé en N régions homogènes formant un maillage non structuré. Sur ce domaine D, une procédure dite « procédure de tracking » permet de générer un ensemble de lignes d’intégration ou caractéristiques dans ce domaine de direction ~Ω(Figure 1.16).

Figure 1.16– Génération de caractéristique sur le domaine : procédure de tracking

Dans une région de section efficace Σ et de terme source S, l’équation du transport stationnaire sans collision peut s’écrire :

~

Ω~_{∇Φ(~r) = −Σφ(~r) + S, ∀~r ∈ D}

On note ur~0(t)=φ (r0+ tΩ). Pour tout ~r0, ur~0(t)vérifie l’équation différentielle :

dur~0 dt (t) = ~Ω~∇φ  ~ r0+ t ~Ω  =_−Σur~0(t) + S (1.6)

qu’on peut intégrer pour obtenir : φ~r0+ t ~Ω  =φ "~r0
e−Σt1 − e −Σt Σ S , ∀r0, ∀t tels que ~r0+ t ~Ω∈ D (1.7) De 1.7 on déduit l’équation dite de transmission pour ~r0 le point d’entrée de la caractéristique et

~r1 =~r0+ t ~Ωcelui de sortie le long de la trajectoire Γ :

φ+(Γ) = φ−(Γ) e−Σl(Γ)1 − e

−Σl(Γ)

Σ S (1.8)

Entre deux points d’une ligne caractéristique, on peut calculer un flux moyen à l’intérieur d’une région homogène t1=k~r1− ~r0k étant la distance entre ces deux points :

φ (r1, r2) = 1 t1 Z t1 0 φ (r0+ tΩ) dt = φ (r0) − φ (rr) Σt1 + S Σ′ (1.9)

L’équation est appelée équation de bilan. Du fait que les équations de bilan et de transmission ne permettent de calculer le flux qu’à l’intérieur d’une région homogène, la méthode MOC nécessite de faire l’hypothèse que termes sources et sections efficaces sont constants à l’intérieur de chaque région du maillage [CRI-39].

Chaque caractéristique interceptant le domaine D peut être décomposée en une suite de segments, définis par les intersections de la caractéristique avec les frontières des régions. On obtient ainsi un ensemble discret de points entre lesquels l’approximation de région homogène permet d’appliquer les équations de bilan et de transmission. Le flux angulaire moyen peut ainsi être calculé sur chacun des segments le long de la caractéristique en utilisant les conditions aux limites de la région d’entrée par application successive de ces équations : c’est l’opération de balayage de la caractéristique, nécessitant peu d’informations sur la géométrie. Cependant, pour obtenir le flux angulaire moyen dans chaque région, il faut utiliser une formule d’intégration transverse. Dans la région Ri, le flux angulaire moyen

s’écrit : ¯φi= 1 Vi Z r− d~r_⊥ Z t φΩ~_⊥+ t ~Ωdt = 1 Vi Z r− li"Γrbot
¯φ "Γ r⊥

Avec Γr_⊥ la droite caractéristique associée à la coordonnée transverse ; Vile volume associé à la région

Ri; li"Γr_⊥
la longueur de corde et ¯φ "Γr_⊥
le flux moyen, associés à la trajectoire.

L’intégrale est approximée à l’aide d’une formule de quadrature obtenue en considérant que la région étudiée est recouverte d’un ensemble de trajectoires parallèles (Figure 1.17), la section ∆k du tube entourant fictivement chacune de ces trajectoires étant associé comme poids à celle-ci d’où

Z r− li"Γr⊥
¯φ i"Γr⊥
= X k ∆kli_kφi_k (1.10)

ce qui conduit à l’expression du flux angulaire moyen dans Ri:

¯φi= P k∆klikφik P k∆kli_k (1.11)

Figure 1.17– Traçage pour le calcul du flux angulaire moyen à l’intérieur d’une région

Contrairement aux frontières des régions qui définissent de façon naturelle la discrétisation des carac- téristiques permettant facilement d’appliquer les équations de bilan et de transmission, le découpage du domaine en région n’induit pas de discrétisation immédiate concernant la coordonnée transverse

~

r_⊥. Il faut donc, pour chaque angle de la formule de quadrature, définir un maillage dans la direction transverse. L’ensemble des trajectoires de direction ~Ωet passant par le centre des mailles transverses est appelé traçage. Le traçage contient toutes les données géométriques nécessaires au solveur de flux.