riques tensorielles eA;`;m AD1; ;10selon3 h.t; r; ; '/ D 10 X AD1 C1 X `D2 ` X mD ` hA;`;m.t; r/ eA;`;m .; '/ : (3.3)
Injectant la décomposition (3.3) dans (3.2), on observe que les coordonnées angulaires.; '/ se découplent, de sorte que l’équation d’onde (3.2) se réduit à la résolution d’un système d’équations aux dérivées partielles par rapport aux variables.t; r/ pour les coefficients hA;`;m. Pour chaque mode.`; m/, il est possible de construire deux champs scalaires ‰`;m.e/ et‰`;m.o/ condensant toute l’information contenue dans les dix coefficients hA;`;m. Ces champs scalaires obéissent à une équation d’onde avec source dans un potentielV`.e/ouV`.o/respectivement,
@2 @t2 @2 @r2 C V`.e,o/ ‰`;m.e,o/D S`;m.e,o/; (3.4) oùS`;m.e,o/sont deux sources construites à partir des coefficients de la projection du tenseur énergie-impulsion Tsur la base d’harmoniques sphériques tensorielles, et rD r C 2M ln 2Mr 1 est la coordonnée radiale dite « tortue ». Loin de la source, il est possible de reconstruire les états de polarisation de l’onde gravitationnelle à partir de ces deux champs scalaires :
hC i h D 1 r C1 X `D2 ` X mD ` s .` C 2/! .` 2/! ‰`;m.e/ C i ‰`;m.o/ 2Y`;mC O.r 2/ ; (3.5)
où les fonctions angulaires 2Y`;msont les harmoniques sphériques de spin 2.
Dans le chapitre6, nous utiliserons ce formalisme afin d’étudier la dernière phase de l’évolution d’un système binaire compact coalescent, au cours de laquelle le trou noir résultant de la fu-sion se désexcite par émisfu-sion de modes quasi-normaux. Afin de calculer les ondes gravitation-nelles émises lors de cette phase de vibration, nous évoluerons les équations d’onde (3.4) sans source, en utilisant des conditions initiales calculées à partir de la métrique 2PN développée dans l’approximation dite de « limite proche », où l’on fait formellement tendre la distance entre les deux corps vers zéro.
3.3 Formalisme de la force propre gravitationnelle
Le formalisme de la force propre gravitationnelle est discuté en détails sous ses aspects théo-riques et calculatoires dans les revues [335,150,31]. Nous donnons ici un bref aperçu du pro-blème, ainsi que des méthodes employées afin de la résoudre.
³Afin d’étudier les perturbations d’un trou noir en rotation, le formalisme de Teukolsky [399], qui fait usage des scalaires de Newman-Penrose [309], autorise une décomposition similaire en exploitant la symétrie cylindrique résiduelle de la métrique de Kerr.
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L’équation MiSaTaQuWa
Une particule ponctuelle de masse est caractérisée par son action S D R d , où est le temps propre paramétrisant la ligne d’univers de la particule. Variant cette action par rapport à la métrique g, on obtient le tenseur énergie-impulsion de la particule, source du champ gravitationnel. Au premier ordre dans le paramètre perturbatif q =M , on trouve ainsi
T.x; t/ D uu ıŒx z.t/
p ı
g.x/ ut ; (3.6)
oùı est la distribution de Dirac usuelle, z.t/ la trajectoire spatiale de la particule dans le système de coordonnées ft; xi
g considéré, u sa quadrivitesse normalisée par rapport à la métrique de fond, etgıle déterminant de cette dernière.
La perturbation générée par le mouvement de la particule autour du trou noir via l’équation d’onde (3.2) se propage àJC, où l’on mesure les états de polarisation hCet hde l’onde gravi-tationnelle. Mais elle agit également localement sur la source elle-même, modifiant son état de mouvement. Celui-ci n’est plus géodésique par rapport à la métrique de fondgı, mais accéléré, dû à la présence d’une force : la force propre (self-force en anglais). L’expression explicite de la force propre a été établie de nombreuses manières différentes [296,344,200], en partant de l’équation d’onde (3.2) avec le tenseur énergie-impulsion (3.6). L’équation résultante, dite équation MiSa-TaQuWa en l’honneur de Misao, Sasaki, Tanaka, Quinn, et Wald, stipule que l’accélération de la particule est donnée par
du d D 1 2 ı gC uu 2rhR rhR uu: (3.7)
Le membre de droite de cette équation est une force agissant sur la particule, proportionnelle à la perturbation, et donc à la masse du corps perturbateur lui-même4. Dans la limite q ! 0, on retrouve bien évidemment l’équation des géodésiquesdu=d D 0 par rapport à la métrique de fond.
Régularisation de la perturbation
L’équation (3.7) ne fait pas intervenir la solution retardée hret
de l’équation d’onde (3.2), car celle-ci est singulière sur la ligne d’univers de la particule, tout comme son gradient, rendant ainsi l’évaluation de la force propre exprimée en termes de hret
impossible. Il s’agit là du problème induit par le champ propre divergent d’une particule ponctuelle, problème déjà rencontré au chapitre2dans le cadre du formalisme post-newtonien. La solution passe une fois encore par l’utilisation d’une méthode de régularisation visant à soustraire le champ propre divergent hS
de la particule. La perturbation responsable de la modification de l’état de mouvement de la particule est alors la perturbation dite « régulière »
hR D hret hS: (3.8)
⁴Il s’agit dans nos notations d’une force par unité de masse. Nous garderons toutefois la dénomination force propre par la suite.
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On montre qu’il est possible de construire la perturbation « singulière » hS
de sorte qu’elle soit également une solution de l’équation d’onde (3.2), et présente le même caractère singulier que la solution retardée hret
au voisinage de la ligne d’univers de la particule. Ainsi, la perturbation hR
est régulière sur la particule5, et se trouve être une solution de l’équation d’onde homogène associée à (3.2) [153].
Le mouvement de la particule peut donc être décrit de manière équivalente, soit comme ac-céléré par rapport à la métrique de fondgıà cause de la force propre dans (3.7), soit comme géodésique dans la métrique régulariséegıC hR. Dans ce dernier cas, l’espace-temps peut être vu comme la métrique de fond perturbée par une onde gravitationnelle (solution des équations d’Einstein linéarisées dans le vide) produite par le mouvement de la particule dans son passé. C’est cette dernière description que nous adopterons dans les chapitres4et5.
Dans le cadre du calcul de la force propre s’exerçant sur une particule ponctuelle en orbite autour d’un trou noir de Schwarzschild, la régularisation par somme de modes (mode-sum
regu-larization en anglais) [33,30,32] est la méthode de régularisation la plus couramment employée.
L’idée consiste une fois encore à exploiter la symétrie sphérique de la métrique de fond. Confor-mément à la décomposition (3.3), on écrit la perturbation singulière sous la forme d’une somme de modes d’harmoniques sphériques, i.e.
hS D C1 X `D2
hS.`/ ; (3.9)
et de même pour la solution retardée hret
. Une analyse détaillée de l’équation d’onde (3.2), et en particulier la connaissance de ses fonctions de Green retardée et avancée, permet de calculer sous forme analytique l’expression du mode` de la perturbation singulière dans un voisinage de la particule. Évaluant le résultat sur la ligne d’univers de la particule elle-même, on trouve ainsi
hS.`/ D BC C ` C 1 2 C D ` 1 2 ` C 3 2 C O.` 4/ ; (3.10)
où les « paramètres de régularisation » B, C, D, etc., sont des fonctions de la trajectoire de la particule calculables analytiquement [152]. Chaque mode hS.`/pris individuellement est fini lorsque évalué à la position de la particule, tandis que la sommeP
`hS.`/ diverge. Il en va de même pour la perturbation retardée hret
.
Pour chaque mode`, on peut calculer (sous forme numérique) la contribution hreg.`/ à la perturbation retardée hreten résolvant l’équation d’onde (3.2). Par construction, cette solution présente le même comportement divergent au voisinage de la particule que la solution singulière hS
, de sorte que le mode hret.`/ admet également le développement (3.10) à la position de la particule. La perturbation régularisée est alors donnée par la somme de différences
hR D C1 X `D2 hret.`/ hS.`/ : (3.11) ⁵La perturbation hR
est mêmeC1[150], ce qui permet de calculer son gradient, puis d’évaluer le résultat à la position de la particule afin de calculer la force propre dans (3.7).
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Afin de calculer la perturbation régularisée numériquement, cette dernière forme est bien plus commode que l’expression (3.8), car il s’agit d’ajouter un grand nombre de petites contributions plutôt que de soustraire deux fonctions divergentes dans un certaine limite. Les travaux détaillés dans les chapitres4et5font usage de cette méthode de régularisation. Le calcul de la force propre dans l’équation MiSaTaQuWa (3.7) nécessite d’appliquer cette régularisation au gradient de la perturbation plutôt qu’à la perturbation elle-même.
Notons enfin qu’il faut prendre garde au fait que la force propre n’est pas une grandeur inva-riante de jauge. En effet, on peut toujours se ramener àdu=d D 0 par un changement adéquat de système de coordonnées [34]. L’information contenue dans la force propre (3.7) est à com-biner avec de l’information provenant de la perturbation helle-même, afin de fabriquer une grandeur invariante de jauge, seule susceptible d’interprétation physique, comme par exemple les états de polarisations hCet hde l’onde gravitationnelle.