1 C 1247 336 35 12 x C 4x3=2C 44711 9072 C9271 504 C 65 182 x2 C 8191 672 583 24 x5=2 C 6643739519 69854400 C 16 3 2 1712 105 C 856 105ln .16x/ C 134543 7776 C 41 482 94403 3024 2 775 3243 x3C 16285 504 C214745 1728 C 193385 3024 2 x7=2C O.c 8/ ; (2.15)
où C D 0; 577 est la constante d’Euler-Mascheroni, et m1m2=m2
le rapport de masse symétrique, qui varie entre14dans le cas d’une binaire de masses égales, et ! 0 pour un système de rapport de masse extrême. Les termes en facteur d’une puissance demi-entière du paramètre xdans (2.15) correspondent aux effets de sillage d’onde (tails en anglais), i.e. résultant de la dif-fusion du rayonnement gravitationnel par la courbure de fond générée par la masse de la source. Lorsque l’on songe au fait que le premier terme dans l’expression (2.15) correspond à l’application de la seconde formule du quadrupôle d’Einstein (1.17) au cas d’un système de deux masses ponc-tuelles sur une orbite quasi-circulaire, on prend mieux conscience de la prouesse que constitue un tel calcul.
2.5 Équations du mouvement post-newtoniennes
Les équations du mouvement post-newtoniennes sont couramment écrites sous une forme quasi-newtonienne : pour chaque corps, on définit un centre de masseyA (A D 1; 2), et on exprime son accélération en fonction des positionsyAet des vitesses coordonnéesvA D dyA=dt. Pour le corps 1, le résultat prend la forme schématique10
dv1 dt D Gm2 r122 n12C A1PN c2 C A2PN c4 C A2.5PN c5 C A3PN c6 C A3.5PN c7 C O.c 8/ ; (2.16) où r12 D jr12j D jy1 y2j est la distance euclidienne entre les deux corps, et n12 D r12=r12 le vecteur unitaire pointant de 2 vers 1. L’équation du mouvement du corps 2 se déduit de (2.16) par l’opération de substitution 1 $ 2.
Le problème du mouvement en relativité générale a une très longue histoire (voir [133] pour une revue historique du problème du mouvement en gravitation newtonienne et relativiste). Les corrections 1PN au mouvement newtonien ont été calculées quelques années seulement après l’écriture des équations de champ de la relativité générale. La découverte du pulsar binaire PSR 1913+16 au cours de années 70 a renouvelé l’intérêt pour ce problème auparavant un peu
⁹Il est nécessaire d’utiliser les équations du mouvement du système binaire pour obtenir ce résultat (cf. § suivant). ¹⁰Voir l’équation (168) de la revue [61] pour les expressions explicites des coefficients vectorielsA1PN, , A3.5PN
32
académique : la comparaison de la décroissance de la période orbitale observée avec la prédic-tion de la relativité générale (voir chapitre1) a nécessité d’établir rigoureusement les corrections post-newtoniennes aux équations du mouvement jusqu’à l’ordre 2.5PN inclus [45,135,131,149,
132], ordre auquel apparaissent les effets dominants de la réaction au rayonnement gravitation-nel sur le mouvement orbital. Les corrections 1PN à cette réaction au rayonnement dominante ont depuis été calculées de nombreuses manières différentes [223,323,245,312,220].
Équations du mouvement à l’ordre 3PN
La détection et l’analyse des ondes gravitationnelles en provenance des systèmes binaires compacts requièrent toutefois les équations du mouvement à l’ordre 3PN au moins, et donc en particulier la connaissance des corrections 3PN au mouvement newtonien. Nous allons donner quelques détails sur leur calcul, car il s’agit d’un travail récent, de longue haleine, dont nous ferons en grande partie usage au chapitre4. Le calcul des corrections 3PN aux équations du mouvement d’un système de deux objets compacts en relativité générale a été mené à bien de manière indé-pendante par trois groupes :
• Jaranowski et Schäfer [229] puis Damour, Jaranowski et Schäfer [139,140] ont utilisé la formulation hamiltonienne de la relativité générale, afin de calculer l’hamiltonien de deux particules ponctuelles en jauge ADM. Le champ propre divergent des particules est soustrait à l’aide de la régularisation d’Hadamard [204].
• Blanchet et Faye ont utilisé une itération post-newtonienne des équations d’Einstein en jauge harmonique [74,75], et ont également modélisé les objets compacts par des parti-cules ponctuelles, dont le champ propre divergent est soustrait à l’aide d’une régularisation d’Hadamard étendue [73,76] visant, entre autres, à respecter l’invariance de Lorentz des équations du mouvement.
• Itoh et Futamase [221,219] (voir également [185] pour une revue) ont étendu la méthode d’intégrale de surface introduite par Einstein, Infeld et Hoffmann [161], combinée à une limite champ fort/particule test [184] adaptée à la description d’objets compacts.
Dans les deux premières méthodes, l’utilisation de particules ponctuelles est un artifice ma-thématique permettant de simplifier les calculs. Toutefois, cette simplification vient au prix de l’introduction d’une méthode de régularisation visant à soustraire le champ propre divergent de ces particules. Historiquement, la régularisation d’Hadamard [204] a été privilégiée, et s’est mon-trée parfaitement satisfaisante jusqu’à l’ordre 2.5PN [79].
Cependant, une ambiguïté est apparue à l’ordre 3PN dans le second calcul11, i.e. l’apparition d’une constante, notée par Blanchet et Faye, indépendante de la structure des corps (d’après le principe d’effacement de la structure interne), dont la valeur ne pouvait pas être calculée dans le cadre de leur schéma de régularisation. Par la suite, l’utilisation de la régularisation dimensionnelle a permis de lever cette ambiguïté, fixant sa valeur à [141,67]
D 1987
3080: (2.17)
Dans le chapitre4, nous ferons usage de la régularisation dimensionnelle dans le cadre de notre comparaison du formalisme de la force propre au formalisme post-newtonien à l’ordre 3PN.
¹¹Une ambiguïté équivalente est apparue dans le calcul de Jaranowski et Schäfer [229], notée!static par ces derniers. Les deux constantes sont reliées par la relation algébrique!static D 113 1987
33
Nous confirmerons au passage l’insuffisance de la régularisation d’Hadamard à des ordres post-newtoniens aussi élevés.
In fine, les résultats de ces trois calculs sont en parfait accord, confirmant la validité des
équa-tions du mouvement à l’ordre 3PN. En particulier, la méthode de Itoh et Futamase ne fait pas appel aux notions de particule ponctuelle et de régularisation, de sorte que leur résultat est non ambigu, confirmant ainsi de manière indépendante la valeur de la constante.
Énergie orbitale à l’ordre 3PN
Les équations du mouvement post-newtoniennes (2.16) permettent de calculer l’énergie or-bitale d’un système binaire d’objets compacts, nécessaire à l’obtention des patrons d’onde12. Les termesA1PN,A2PNetA3PNen facteur d’une puissance paire de 1=c dans (2.16) sont respective-ment les corrections conservatives 1PN, 2PN et 3PN à la dynamique newtonienne. Ces correc-tions étant conservatives, il existe une énergie conservée E à l’ordre 3PN, qui est une intégrale première du mouvement. Dans le cas d’une binaire sur une orbite quasi-circulaire, on trouve ainsi [74,75,139,140] E D c2 2 x 1 C 3 4 12 x C 27 8 C 19 8 2 24 x2 C 675 64 C 34445 576 205 96 2 155 96 2 35 51843 x3C O.c 8/ ; (2.18) où m1m2=m D m est la masse réduite, et x le paramètre post-newtonien défini pré-cédemment par (2.14). Le premier terme dans cette expression correspond tout simplement à l’énergie de liaison gravitationnelle newtonienne de deux corps sur une orbite circulaire.
Les termesA2.5PNetA3.5PN, en facteur de 1=c5et 1=c7respectivement dans (2.16), ne sont pas symétriques par renversement du temps t ! t, et sont donc directement associés à la perte d’énergie orbitale par émission d’ondes gravitationnelles. Cette séparation nette entre termes conservatifs pairs (en puissances de 1=c) et termes dissipatifs impairs disparait à partir de l’ordre 4PN, à cause de l’apparition de termes dissipatifs dus au sillage d’onde (effet relatif d’ordre 1=c3
) de la force de réaction au rayonnement dominante (effet d’ordre 1=c5
) [66].
Nous verrons au chapitre5, dans le cadre de notre comparaison à la force propre, qu’à partir de l’ordre 4PN les équations du mouvement, ainsi que l’énergie associée à leur partie conservative, n’admettent plus un développement sous forme de série entière (en puissances de x), mais qu’à cet ordre apparaissent des termes logarithmiques du type xnln x, avec n > 5, dus à ces effets de sillage d’ondes.
�
¹²Elles présentent par ailleurs un intérêt intrinsèque, et sont par exemple utilisées pour modéliser la dynamique des trous noirs super-massifs lors de la fusion de galaxies [48], ou plus proche de nous, pour calculer le mouvement des planètes dans le système solaire [173].
C
3
P
L
’ objet compact de masse stellaire est en orbite autour d’un trou noir super-massif, les méthodes perturbatives sont particulièrement bien adaptées à l’étude des ondes gravita-tionnelles émises, le corps de petite masse induisant une perturbation de la métrique de fond générée par le corps de grande masse. Cette perturbation conduit elle-même à une modifica-tion de la trajectoire du corps perturbateur, qui ne suit plus une géodésique de la métrique de fond. L’état de l’art consiste à calculer cet effet dit de force propre gravitationnelle. Les compa-raisons avec le formalisme post-newtonien démontrent un très bon accord entre les deux schémas d’approximation.3.1 Calculs de patrons d’ondes
La détection et l’analyse des ondes gravitationnelles en provenance de nombreuses sources as-trophysiques requièrent des patrons d’ondes très précis, qui doivent rester en phase avec le signal physique pendant toute la durée d’intégration par le détecteur. Nous avons vu que le formalisme post-newtonien est particulièrement bien adapté à la description de la phase spiralante des sys-tèmes binaires compacts coalescents. La théorie des perturbations d’un trou noir est l’outil idéal pour calculer ces patrons d’ondes dans les deux autres situations suivantes :
• Lorsque le trou noir résultant de la fusion de deux objets compacts de masses comparables se désexcite en émettant des ondes gravitationnelles sous forme de modes quasi-normaux, dont la fréquence et le temps d’amortissement portent l’empreinte de la masse et du spin du trou noir de Kerr final.
• Lorsqu’un objet compact de masse stellaire (une étoile à neutrons ou un trou noir) orbite autour d’un trou noir super-massif au cœur d’une galaxie. Pour ces EMRIs, le rapport de masse extrême 10 9 10 5autorise un traitement perturbatif avec grande précision.
36
F. 3.1:Une illustration de la complexité de la forme d’onde générique émise par les EMRIs : un mode de l’état de polarisation hC, normalisé par le rapport D=, où D est la distance à la source et la masse du corps perturbateur, est tracé en fonction du temps coordonnée t , lui-même normalisé par la masse M du trou noir super-massif. Ce dernier est en rotation, avec un paramètre de Kerr a D 0;5M . L’orbite initiale de la particule est caractérisée par une excentricité e D 0;5, un semi-latus rectum p D 10M , et un angle D 0;5 rad par rapport au plan équatorial. Le rapport de masse du système vaut q =M D 0;016. Figure tirée de [387].
La forme d’onde émise dans le premier cas de figure est désormais bien connue grâce à de très nombreux travaux, depuis l’article fondateur de Regge et Wheeler sur la stabilité d’un trou noir de Schwarzschild [347], jusqu’aux simulations de coalescence de trous noirs en relativité numérique, qui reproduisent les modes quasi-normaux du trou noir de Kerr final.
Le calcul des patrons d’ondes pour les EMRIs est un travail toujours en cours ; voir par exemple [156] pour une revue des différentes méthodes utilisées. La forme d’onde typique est extrême-ment complexe (cf. Fig.3.1 pour une illustration), et ce par opposition à celle émise par les binaires compactes de masses comparables. Toutes deux doivent cependant être connues avec grande précision [126]. Le détecteur spatial LISA intégrera le signal en provenance des EMRIs sur une durée de trois à cinq ans. Cela représente quelques 105périodes de l’onde dans la bande passante de ce détecteur interférométrique [107].
L’approximation consistant à traiter le corps perturbateur comme une particule test, et à cal-culer la forme d’onde résultant de son mouvement géodésique dans la métrique du trou noir super-massif ne permet pas d’atteindre la précision de 10 5requise. Il est nécessaire d’aller au-delà de cette approximation, et de calculer l’effet de la perturbation sur le mouvement du corps perturbateur lui-même, puis de tenir compte de cette information pour déterminer la correc-tion induite sur la forme d’onde. Il s’agit du programme de calcul de la force propre, dont nous décrirons les grandes lignes au §3.3.
37
3.2 éorie des perturbations d’un trou noir
Afin d’exploiter l’idée selon laquelle l’espace-temps est « proche » de celui décrivant un trou noir, on décompose la métrique sous la forme
g DgıC h; (3.1)
oùgı est une solution supposée connue des équations d’Einstein décrivant un trou noir, par exemple la solution de Schwarzschild ou celle de Kerr, et hune perturbation de cette solution. Cette perturbation peut être générée par un objet compact de masse stellaire orbitant un trou noir super-massif, ou encore représenter l’écart à la solution de Kerr faisant suite à la coalescence de deux objets compacts de masses comparables.
De manière similaire au cas d’une perturbation linéaire de l’espace-temps de Minkowski traité dans le chapitre1, en introduisant l’expression (3.1) de la métrique dans les équations de champs (1.2), en ne gardant que les termes linéaires dans la perturbation h, en exprimant le résultat en termes de la perturbation à trace renversée h h 12
ı
gh(avec h D gı˛ˇh˛ˇ), et en imposant la condition de jauge harmonique1rh D 0, on trouve que la perturbation obéit à l’équation d’onde2
hC 2R˛ ˇ h˛ˇ D 16T: (3.2)
Cette équation fait intervenir l’opérateur des ondes ı
grren espace courbe, où rest la dérivée covariante compatible avec la métrique de fond, i.e. rgı D 0. On observe également un couplage de la perturbation au tenseur de Riemann R˛ˇ associé à la métrique de fond. L’équation d’onde (3.2) se réduit bien évidemment à (1.8) dans le cas où la métrique de fond est minkowskienne, c’est-à-dire lorsquegı D .
Perturbations d’un trou noir de Schwarzschild
Afin de résoudre cette équation, il est possible d’exploiter les éventuelles symétries de la mé-trique de fond. Dans la suite de cette thèse, nous allons nous restreindre à l’étude de perturbations d’un trou noir de Schwarzschild, de sorte que la métrique de fond est à symétrie sphérique. Ré-sumons les grandes lignes du formalisme de la théorie des perturbations (du premier ordre) d’un trou noir de Schwarzschild ; voir les §6.6.1et6.8.1du chapitre6, ainsi que les références qui s’y trouvent, pour plus de détails.
Considérons un trou noir de Schwarzschild de masse M , et travaillons dans un système de coordonnées ft; r; ; 'g, où r est la coordonnée radiale de Schwarzschild. La symétrie sphérique de la métrique de fond permet de décomposer la perturbation sur une base d’harmoniques
sphé-¹On notera que la classe de systèmes de coordonnées ainsi définie diffère de celle introduite au chapitre1, car cette condition de jauge harmonique fait intervenir la métrique de fond courbe dans la dérivée covariante, ainsi que dans la définition de la perturbation à trace renversée.