Le formalisme de la force propre permet de calculer la fonction ut
SF.y/ de manière exacte (modulo l’erreur numérique). Nous souhaitons ajuster ce résultat par une série post-newtonienne de la forme2 utSF.y/ DX k>0 ˛nykC1C ln yX k>4 ˇnykC1; (5.5)
afin de déterminer les valeurs de nombreux coefficients post-newtoniens inconnus (en particulier les coefficients˛4et˛5). D’après le résultat (5.4) issu de calculs post-newtoniens détaillés dans [151,72,71], les coefficients polynomiaux˛ksont connus jusqu’à l’ordre 3PN, et les coefficients logarithmiquesˇk aux ordres 4PN et 5PN. Nous allons voir que l’ajustement du résultat exact issu du calcul perturbatif permet de calculer les coefficients polynomiaux jusqu’à l’ordre 7PN, ainsi que le coefficient logarithmique 6PN.
Mais dans un premier temps, nous souhaitons vérifier que la connaissance préalable des contri-butions logarithmiques aux ordres 4PN et 5PN permet d’améliorer considérablement (par rap-port au résultat présenté au chapitre4) l’accord sur la valeur du coefficient 3PN. Le résultat exact, issu du calcul de la métrique régularisée à l’ordre 3PN, est
˛3 D 121
3 C41
322
D 27;6879026 : (5.6)
En utilisant les valeurs exactes des coefficients polynomiaux newtonien˛0, 1PN˛1et 2PN˛2, ainsi que les contributions logarithmiques dominantes 4PNˇ4 et 5PNˇ5, l’ajustement de la fonction utSF.y/ par une série post-newtonienne du type (5.5) permet d’estimer la valeur du co-efficient polynomial 3PN, avec pour résultat
˛SF
3 D 27;6879034 ˙ 0;0000004 : (5.7)
L’accord entre les deux calculs est particulièrement impressionnant : les deux résultats sont com-patibles à 2 avec 9 chiffres significatifs.
La valeur du coefficient 3PN désormais confirmée avec grande précision, nous l’incluons dans la formule (5.5) afin d’obtenir le meilleur ajustement possible du résultat numérique issu du calcul perturbatif de utSF.y/. Les valeurs des coefficients post-newtoniens inconnus ˛4,˛5, etc. ainsi calculés sont résumées dans le tableau5.1ci-après. On notera la très grande précision obtenue dans la détermination de certains coefficients, comme par exemple le coefficient polynomial 4PN ˛4, obtenu avec 8 chiffres significatifs. La convergence des approximations post-newtoniennes successives vers le résultat exact est apparente sur la figure5.2.
Ce travail illustre clairement la complémentarité des approches post-newtonienne et pertur-bative, la comparaison des deux formalismes dans leur domaine de validité commun permettant d’obtenir des informations sur l’un des schémas d’approximation qu’il serait très difficile, voire impossible, d’obtenir autrement.
²L’analyse détaillée de la structure de la métrique zone proche permet d’établir que les contributions logarith-miques du type.ln y/2n’apparaissent pas avant l’ordre 5.5PN. De telles contributions aux ordres 5.5PN et 6.5PN seraient toutefois associées à la partie dissipative de la dynamique. La première contribution conservative du type .ln y/2n’apparait probablement pas avant l’ordre 7PN. Nous n’incluons pas de puissances de logarithmes dans la formule (5.5), car la séparation des contributions polynomiale˛7et logarithmiqueˇ7à l’ordre 7PN est déjà difficile.
88 Coefficient Valeur ˛4 114;34747.5/ ˛5 245;53.1/ ˛6 695.2/ ˇ6 C339;3.5/ ˛7 5837.16/
T. 5.1:Les valeurs des coefficients˛ketˇkdu développement post-newtonien (5.5) de la fonction ut SF.y/, obtenues jusqu’à l’ordre 7PN en ajustant le résultat exact issu du calcul perturbatif. Les chiffres entre parenthèses indiquent l’incertitude sur la ou les dernière(s) décimale(s). Le coefficient˛7inclut très probablement une contri-bution due au terme logarithmique 7PN.
La suite de ce chapitre est un article publié dans le journal Physical Review D [71]. Un résumé des travaux présentés dans ce chapitre, ainsi que dans le chapitre précédent, a été publié dans le livre Mass and Motion in General Relativity [70].
High-Order Post-Newtonian Fit of the Gravitational Self-Force
for Circular Orbits in the Schwarzschild Geometry
Luc Blanchet1, Steven Detweiler2, Alexandre Le Tiec1and Bernard F. Whiting2 1GR"CO, Institut d’Astrophysique de Paris — UMR 7095 du CNRS,
Université Pierre et Marie Curie, 98 boulevard Arago, 75014 Paris, France
2Institute for Fundamental eory, Department of Physics, University of Florida, Gainesville, FL 32611-8440, USA
Abstract
We continue a previous work on the comparison between the post-Newtonian (PN) approximation and the gravitational self-force (SF) analysis of circular orbits in a Schwarz-schild background. We show that the numerical SF data contain physical information cor-responding to extremely high PN approximations. We find that knowing analytically deter-mined appropriate PN parameters helps tremendously in allowing the numerical data to be used to obtain higher order PN coefficients. Using standard PN theory we compute analyt-ically the leading 4PN and the next-to-leading 5PN logarithmic terms in the conservative part of the dynamics of a compact binary system. e numerical perturbative SF results sup-port well the analytic PN calculations through first order in the mass ratio, and are used to accurately measure the 4PN and 5PN non-logarithmic coefficients in a particular gauge in-variant observable. Furthermore we are able to give estimates of higher order contributions up to the 7PN level. We also confirm with high precision the value of the 3PN coefficient. is interplay between PN and SF efforts is important for the synthesis of template wave-forms of extreme mass ratio inspirals to be analysed by the space-based gravitational wave instrument LISA. Our work will also have an impact on efforts that combine numerical re-sults in a quantitative analytical framework so as to generate complete inspiral waveforms for the ground-based detection of gravitational waves by instruments such as LIGO and Virgo.
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