à la présence de divergences logarithmiques UV en dimension 3, à l’origine des ambiguïtés qui interviennent dans les calculs faisant appel à la régularisation d’Hadamard.
Une fois la métrique régularisée (4.8) calculée à l’ordre 3PN, le résultat, valable pour une or-bite générique dans un référentiel quelconque, est inséré dans l’expression (4.4) de ut1. En passant dans le référentiel du centre de masse et en considérant la restriction au cas d’une orbite circu-laire, on a la satisfaction d’observer la simplification de tous les pôles / " 1, de sorte que l’on peut passer à la limite" ! 0 afin d’obtenir le résultat tridimensionnel. La simplification des pôles est attendue, car leur présence est spécifique au calcul en jauge harmonique, et le résultat ut
1./ est invariant de jauge pour une orbite circulaire. Dans le cas du calcul des équations du mouvement à l’ordre 3PN, il a été montré que les pôles peuvent être absorbés par une renormalisation de la trajectoire des corps [67], et doivent donc disparaitre des quantités physiques invariantes de coordonnées.
4.3 Comparaison avec le calcul perturbatif
Le calcul post-newtonien de la fonction ut1./ est valable pour un rapport de masse symé-trique D m1m2=m2 quelconque. À l’ordre 3PN, le résultat se présente donc sous la forme d’un développement du type4(cf. Éq. (4.77) pour l’expression explicite)
ut1.x/ D 1 C 3 X nD0
an./ xnC1C O.x5/ ; (4.9)
où le paramètre post-newtonien x, défini par l’Éq. (2.14), est d’ordre"PN v2=c2
, mais présente l’avantage d’être invariant de jauge, car relié à la fréquence orbitale de la binaire.
In fine, nous souhaitons toutefois comparer le résultat du calcul post-newtonien à celui du
calcul perturbatif, qui inclue l’effet de la force propre, et n’est donc valable qu’au premier ordre dans le rapport de masse q D m1=m2. Dans la limite q 1 qui convient pour un système binaire de rapport de masse extrême, il est donc commode de remplacer x au profit du paramètre post-newtonien y Gm 2 c3 2=3 D x .1 C q/ 2=3; (4.10)
et de remplacer le rapport de masse symétrique en faveur du rapport de masse q, en utilisant la relation D q=.1 C q/2. La fonction ut
1./ admet de manière générale un développement en puissances du rapport de masse q de la forme
ut1 D utSchwC q utSFC q2utPSFC O.q3/ ; (4.11) où utSchw D .1 3y/ 1=2 est le résultat exact obtenu pour une particule test en orbite circu-laire autour d’un trou noir de Schwarzschild, le terme q ut
SF est la contribution due à la force propre (théorie des perturbations du premier ordre), et q2utPSFest la correction post-self-force, calculable en principe à l’aide de la théorie des perturbations du second ordre.
⁴Nous verrons au cours du chapitre suivant qu’à partir de l’ordre 4PN apparaissent des termes logarithmiques, de sorte qu’en toute généralité la fonction ut
48
Le formalisme de la force propre permet de calculer exactement (modulo l’erreur numérique) la contribution ut
SF.y/ induite par la force propre. La comparaison du résultat ainsi obtenu à la prédiction post-newtonienne a été initiée par Steven Detweiler, à partir de l’expression connue de la métrique régularisée.g/1à l’ordre 2PN [79]. On trouve ainsi [151]
utSF.y/ D y 2y2
5y3C C3PNy4C O.y5/ ; (4.12)
où les coefficients newtonien, 1PN et 2PN se déduisent immédiatement des résultats connus à l’ordre 2PN. Le calcul sous forme analytique du coefficient inconnuC3PNrésulte de l’extension de ces résultats à l’ordre 3PN, et en particulier du calcul de la métrique régularisée (4.8) à l’ordre 3PN, à l’aide de la régularisation dimensionnelle. On trouve ainsi
C3PND 121
3 C 41
322
D 27;6879 : (4.13)
Par ailleurs, le calcul perturbatif fournit le résultat exact pour la contribution utSF./ due à la force propre. En ajustant cette fonction par une série post-newtonienne du type (4.12), on par-vient à estimer la valeur du coefficient 3PN :
CSF
3PND 27;677 ˙ 0;005 : (4.14)
L’accord entre les valeurs (4.13) et (4.14) pour le coefficient 3PN est très bon : les deux calculs sont compatibles à 2, avec 5 chiffres significatifs. Ce résultat est un test convaincant de la validité des différentes méthodes de régularisation utilisées afin de soustraire le champ propre divergent des particules (régularisation par somme de modes pour la force propre, et régularisation dimen-sionnelle pour le formalisme post-newtonien). La figure4.3illustre la convergence des approxi-mations post-newtoniennes successives vers le résultat exact. Au cours du chapitre suivant, nous verrons qu’il est possible d’améliorer cet accord en tenant compte du fait qu’à partir de l’ordre 4PN, le développement post-newtonien de la fonction utSF.y/ fait intervenir des contributions logarithmiques liées au sillage d’onde.
Post-Newtonian and Numerical Calculations of the Gravitational
Self-Force for Circular Orbits in the Schwarzschild Geometry
Luc Blanchet1, Steven Detweiler2, Alexandre Le Tiec1and Bernard F. Whiting2 1GR"CO, Institut d’Astrophysique de Paris — UMR 7095 du CNRS,
Université Pierre et Marie Curie, 98 boulevard Arago, 75014 Paris, France
2Institute for Fundamental eory, Department of Physics, University of Florida, Gainesville, FL 32611-8440, USA
Abstract
e problem of a compact binary system whose components move on circular orbits is addressed using two different approximation techniques in general relativity. e post-Newtonian (PN) approximation involves an expansion in powers ofv=c 1, and is most appropriate for small orbital velocitiesv. e perturbative self-force (SF) analysis requires an extreme mass ratio m1=m2 1 for the components of the binary. A partic-ular coordinate-invariant observable is determined as a function of the orbital frequency of the system using these two different approximations. e post-Newtonian calculation is pushed up to the third post-Newtonian (3PN) order. It involves the metric generated by two point particles and evaluated at the location of one of the particles. We regularize the divergent self-field of the particle by means of dimensional regularization. We show that the poles / .d 3/ 1appearing in dimensional regularization at the 3PN order can-cel out from the final gauge invariant observable. e 3PN analytical result, through first order in the mass ratio, and the numerical SF calculation are found to agree well. e con-sistency of this cross cultural comparison confirms the soundness of both approximations in describing compact binary systems. In particular, it provides an independent test of the very different regularization procedures invoked in the two approximation schemes.
50