également important de constater que si la pression au point A (voir Figure 2-31) est constante, une augmentation du débit engendre une baisse de la pression moyenne dans le
plénum d'équilibre et du fait même, un abaissement de la force. Normalement, si le rotor
s'approche du bas du dispositif, le débit engendré par le joint d'étanchéité augmentera. Bien que cette constatation soit triviale, elle peut mener à une problématique si elle est négligée. La Figure 2-33 illustre la variation du débit massique et de la force dans l'écoulement radial
secondaire. ).3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 gap (µp?) 0.7 0.65 0.6 0.55 - 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3
- Force due à la chute de pression ¦ Force pour pression uniforme (P . . )
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
gap nominal (µp?)
Figure 2-33 : Variation du débit massique et de la force dans l'écoulement radial
Lorsque le rotor s'abaisse (gap diminue), la force axiale provenant de la pression diminuera aussi ce qui portera le rotor à s'abaisser davantage. Pour la configuration actuelle, la variation de force illustrée à la Figure 2-33 ne peut être compensée si l'on considère seulement le palier axial (pour le cas extrême : petit gap et 1 MRPM). C'est donc dire que la rigidité négative illustrée est supérieure à la rigidité du palier axial. Cela implique qu'à haute vitesse et à faible gap d'opération, le rotor ne sera pas stable et sera attiré vers les composantes du bas et non repoussé.
En considérant la force produite dans le joint d'étanchéité, l'abaissement de la force dû à la variation du champ de pression dans le plénum est compensé. Par contre, une évaluation plus juste de la force produite par le joint d'étanchéité est à prévoir car le profil de pression dans le joint d'étanchéité est, dans la présente étude, une simple linéarisation de la différence de pression calculée. Ici, le lecteur doit se rappeler qu'à la base le plénum d'équilibre devait être alimenté par des orifices passant au travers du rotor qui n'ont pu être fabriqués. Ainsi, l'écoulement radial secondaire devait s'effectuer en sens inverse à la présente modélisation ce qui explique la problématique rencontrée précédemment.
2.6
Analyse dynamique du palier axial
Les analyses précédentes du palier axial supposent qu'un régime permanent de l'écoulement est atteint instantanément. Cela permet d'identifier les limites d'instabilité statique du palier axial à partir d'un état perturbé (en changeant le gap par exemple). Ainsi, il a été possible d'identifier l'évolution de la fréquence naturelle du palier axial en fonction de la pression
d'alimentation et du gap du palier. L'analyse dynamique du palier axial tient compte de
l'évolution temporelle des perturbations du système et elle permet d'identifier les instabilités dynamiques du système. L'analyse qui suit s'appuiera sur les travaux de Teo [Teo, 2006] et
permettra de vérifier la stabilité dynamique du palier axial en supposant que cette composante
2.6. 1 Le palier axial
L'analyse dynamique du palier axial est basée sur l'étude effectuée par Teo [Teo, 2006] en l'adaptant pour la géométrie annulaire de la présente étude. Les bases et hypothèses de
l'analyse sont les mêmes et il faut bien définir et considérer les écoulements entrant et sortant
du volume de contrôle. Ce dernier est défini entre le palier axial et le rotor tel qu'illustré à la Figure 2-34. L'espacement h entre le rotor et le palier axial, la pression statique P à la sortie de l'orifice ainsi que les débits massiques entrant et sortant sont les variables dynamiques.
palier radial mS(
?
volume de contrôle rotorî
^entrée m.sortie palier axialFigure 2-34 : Volume de contrôle de l'analyse dynamique du palier axial.
Le changement de masse du fluide dans le volume de contrôle ("VC") provient de la différence entre les débits massiques perturbés entrant et sortant du palier axial tel que le
stipule l'équation 2-291. L'indice 0 représente les états d'équilibres (avant perturbation) et
l'apostrophe ' indique l'état perturbé.dm,,1VC _ dt = ^W - m'= -(-C1 + C2) -F -C,- h' ou 2-29 C1 = dm„ dP r = Jo dmsortie dP Jo et C3 = dm„ dh
En régime permanent, la masse de gaz entre les surfaces du palier dans le volume de contrôle (mvc) peut être calculée une fois la pression connue en tout point du palier.
Le signe " - " devant le coefficient C1 n'apparait pas dans les travaux de Teo [Teo, 2006] mais, après discussion avec l'auteur, cette différence provient de la définition du coefficient C1. Ce changement est effectué pour chacune des équations subséquentes tirées des travaux de Teo contenant le coefficient C1.
mVC
= jjphordrd0 = -^-jjPrdrd0
La variation temporelle de la masse du fluide perturbé devient alors :
dm dt
^- = C4-P'+C5-h'
ou C4 = dmvc dP Jo et C5 = dmvc dh Jo 2-30La seconde loi de Newton gouvernant le mouvement axial du rotor ( mrotor ·??;=??; où a
représente l'accélération du rotor) permet d'ajouter une équation supplémentaire au système.
m -K=C P'
'"¦rotor " V 6 ^ OU C6 =
BFp ^
dP Jo- (C6-C4)K 2-31
La variable Fp représente la force produite par le profil de pression dans le palier axial et la
définition de la masse dans le volume de contrôle (myc) permet de relier les coefficients C4 et Ce tel que présenté à l'équation 2-31. Les équations 2-29, 2-30 et 2-31 permettent d'obtenir l'équation différentielle qui gouverne le mouvement axial perturbé du rotor :
h'+
rzc1 + c1s
¦h'+f C5C6 ?
V mrotor C4¦h'+( C C ?
\mrotor ' C4 J
h'=0 2-32
Fait intéressant à noter, si l'on considère l'écoulement incompressible, le coefficient C4 prend la valeur de 0 et le modèle dynamique peut alors être représenté par un système masse-ressort-
amortisseur ayant comme constante de rigidité C3-C6/(-Ci+C2) et comme coefficient d'amortissement C5-Cö/(-Ci+C2).
Critères de stabilité dynamique
Pour une équation différentielle de la forme de l'équation 2-32, les critères de stabilité de Routh-Hurwitz permettent de prédire les instabilités dynamiques. En utilisant le dénominateur
de la fonction de transfert obtenue en effectuant une transformée de Laplace de l'équation différentielle, on obtient une équation polynomiale cubique :
s3 +
r- C1 + C2 ?
s2 +(C5C6
\\mrotor ' C4 J
S + ^3 ' Ce \mrotor ' ^AJ -0(de la forme : a0 -s3 + O1 ¦ s2 + a2 -s + a3 = 0 )
Les coefficients de l'équation ainsi transformée doivent respecter deux critères de base afin d'avoir un système dynamiquement stable. Le premier critère de stabilité de Routh-Hurwitz stipule que les coefficients a¡ doivent être tous positifs (a¡ > 0) ce qui implique donc :
1>0,
i-c1+c1^
C >o, C5C6 ? V mrotor ' C4 J>o, Cj 'C(> V mrotor ' C4 J >0L'étude des équations 2-29, 2-30 et 2-31 définissant les coefficients Cj démontre que Ci < 0 et que C2 à Co sont tous > 0. Ce fait vient démontrer que le premier critère de stabilité sera
respecté.
C1 < 0 et C2 6 > 0 (1er critère)
Le second critère de stabilité stipule que " ai· a2 - ao-a3 > 0 " ce qui revient à " ay &i > ao-a3 ". En
exprimant cette relation en utilisant les coefficients Q, la relation suivante est obtenue :
C +C C
^
2 >^- (2e critère)
C,'3 ^5 2-33
Le critère décrit dans l'équation 2-33 peut être modifié de façon à ce que ce dernier soit supérieur à l'unité pour que le système soit dynamiquement stable. Ainsi, lorsque le critère modifié est supérieur à l'unité, l'écoulement dans le palier axial réagit assez rapidement et s'adapte au mouvement du rotor.
(-C1+Q)-C5 ^1
C C
Les valeurs des coefficients Ci à C5 sont déterminées à l'aide du modèle du palier axial défini à la section 2.4.1 qui permet de varier la géométrie et les conditions d'opération du palier axial. En variant les pressions d'alimentation et l'espacement entre le palier et le rotor, il est possible d'évaluer la présence d'instabilités dynamiques lors de l'opération de la microturbine.
La Figure 2-35 présente l'évaluation du critère de stabilité dynamique en fonction de la pression d'alimentation et du gap du palier axial.
Pression d'alimentation relative (kPa) :
275, 414, 551, 689 et 827
zone d'instabilité dynamique
Pression d'alimentation relative (kPa) :
275, 414, 551, 689 et 827
1.5
gap (µ m)
275 kPa
827 kPa
zone d instabilité dynamique
gap (µp?)
Figure 2-35 : Délimitation de la zone d'instabilité dynamique du palier axial.
La limite de stabilité dynamique (lorsque le critère n'est plus respecté) varie en fonction de la pression d'alimentation et du gap d'opération du palier axial (pour une géométrie fixe et un