1 iteration : P3 = IP2 ¦ —
( orifice
En comparant la relation pour la première itération à l'équation 2-14, une simple substitution permet de remarquer que les deux premiers termes contenus dans la racine sont équivalent. Connaissant maintenant la pression au point 3, l'équation de continuité et la loi des gaz
parfaits permettent de calculer la vitesse moyenne à ce point. La pression totale en 3 s'obtient
en utilisant sa définition :
P =P
1Ti *3
1 +Í£z!);- ^Vl
¦Machi,2 3
Entre les points 3 et 4, l'écoulement doit changer de direction et également d'aire de section. Ces changements entraînent une perte de pression supplémentaire qui peut être définie selon
les relations suivantes établies par Vohr [Vohr, 1966] :
KMT¡ -0.31· ReDhA 2000 -0.122 ReDhA 2000 + 0.282· ReDhA 2000 + 0.179 2-16
La détermination du coefficient ??t? (équation 2-16) est empirique et provient des résultats
expérimentaux de Vohr qui a étudié les pertes de pression subites dans un écoulement sortant
d'un orifice et impactant sur une plaque. Cette relation est valide pour un rapport entre le gap du palier axial et le rayon de l'orifice beaucoup plus petit que l'unité (gappaaer axial /l'orifice « 1). Pour les dimensions nominales, ce rapport varie entre 0.1 et 0.3 dans le présent cas. Bien que
plusieurs travaux antérieurs ainsi que les présents travaux utilisent cette relation [Deux, 2001;
Lee, 2006; Teo, 2006], une vérification des pertes de pression réelles au passage de l'orifice au palier radial (de 3 à 4) serait à prévoir. En fait, Vohr indique une forte dépendance de la perte de pression face au rapport entre le gap et le rayon de l'orifice sans pour autant en modifier sa
modélisation.
Le nombre de Reynolds en 4 se défini selon le diamètre hydraulique qui, pour un écoulement entre deux plaques planes, est équivalent à 2h où h est l'espacement entre les deux plaques (le gap entre le palier axial et le rotor). En substituant le terme p-V à l'aide de l'équation de
continuité, le nombre de Reynolds peut être calculé selon :
_ P4-V4- Dhyd _m-(2h)_
2-m
ReDhA
2-17
µ
A- µ
p-?0^-µ
Connaissant le débit massique, le nombre de Reynolds peut être calculé et la pression totale est
obtenue par l'équation 2-15. Il suffit ensuite d'itérer sur la vitesse de l'écoulement en 4 à
l'aide des deux relations suivantes.
m orifice
AT
RT4 P =P 1TA L 4 2 Mach, ?-?Globalement, pour l'écoulement radial, il y aura itération sur les débits massiques vers le rayon intérieur (4-^6) et vers le rayon extérieur (4->8) jusqu'à ce que la différence des pressions de sortie (Po-Ps) soit égale à celle désirée. Afin d'obtenir ces pressions, de sortie, il
faut déterminer les pertes de pressions entre l'orifice et les points 5 et 7 et également les pertes de pressions dues aux expansions de sortie. L'écoulement entre l'orifice et les points 5 et 7
sera d'abord traité comme un écoulement radial entre deux disques puis un facteur de
correction fcorr sera calculé pour tenir compte de la géométrie réelle du palier axial (l'écoulement provient d'un orifice). La solution de l'écoulement radial a déjà été développée
à la section 2.3 (équation 2-6), il est donc possible de calculer les pressions à la sortie des deux écoulements soient l'écoulement vers l'intérieur (4->5) et celui vers l'extérieur (4->7).
12-µ-?, -R-T^
p-h f ..\ \r5j ou m'4-5 _™4-5 /„ 7C ¦ h r..\ \r4j ou m, 7 = —±J-4-7 , J corr 2-18 2-19Il est à noter que le rapport des rayons est inversé afin de tenir compte du sens de l'écoulement (équation 2-18) et que la somme des débits doit être égale au débit dans l'orifice
(tn^7+mA_5=rhorifice).
Dans une première itération, les débits massiques sont imposés ce qui permet de calculer les pressions statiques en 5 et en 7 à l'aide des équations 2-18 et 2-19. Les pressions totales peuvent être déterminées à l'aide des relations suivantes :
.y LT5 ¦p,-
2
Mach. ?-ì où Mach5 =
4r-RT5
til. e -R-Te ¦ et V5=-A=Â L A5P5 Tl=,(M
?-?MaCh1 où Mach, = V7
-Jr-R-T7
QtV7m4_7 R T1 A1 P1
Les pertes de pression dues aux expansions de sortie sont définies par les équations 2-20 et
2-21 selon le cas.
*T5 ~ "t? = ^expansion ' VT5 ~ *.5 / 2-20 "t6 "tS ~ ^-expansion ' \"t6 *6 ) 1-1\
Lee [Lee, 2006] a déterminé le facteur Kexpansion à partir d'une étude numérique menée sur les pertes de pressions associées à la contraction et l'expansion d'un écoulement rencontrant une
microrestriction.
100 > ReDh > 2 :
¦11.5711 3.9264 4.8215 1.6422
^expansion n ? /r> \ ? /V. \2 , /V. \3 "*" 0-009.3 · Reoh
ReDh
In(Re0J In(Re0J In(Re0J3
^
Re <2 · K
Dh * expansion-33·1458
-*-*Re
=?±±.1±
et
Re
-*±l1±
DK5 A5 µ
Ke™'7 - A1 µ
Finalement, puisque l'espacement entre le rotor et la structure statique devient beaucoup plus grand après l'expansion (de ?µp? à 100 µ??), les pressions statiques y sont considérées comme
étant de valeurs équivalentes aux pressions totales.
La modélisation des pertes de pression au travers de la géométrie du palier axial permet de prédire le comportement de ce dernier (force et débit massique) en fonction de la pression
d'alimentation et de la position axiale du rotor.
Détermination du facteur de correction de l'écoulement radial
Tel que défini par les équations 2-18 et 2-19, l'écoulement radial dans le palier axial est l'équivalent d'un écoulement (ID) provenant d'une fente circonférentielle sortant de part et d'autre d'un plan radial (voir Figure 2-18). Pour tenir compte du fait que l'écoulement est bidimensionnel (2D) et provient en réalité d'un orifice au lieu d'une fente circonférentielle, une étude numérique sera effectuée. Lee a déjà effectué une étude similaire, mais en considérant les pressions de part et d'autre du palier axial comme étant égales. Il a construit une charte sur le facteur de correction à apporter au débit massique et à la force qui sont
calculés par la théorie d'un écoulement radial. Pour notre géométrie, ces facteurs sont de 0.44 pour le débit massique (fCOrr) et de 0.69 pour la force.
}
palier
axial
solution connue calcul numérique
Figure 2-18 : Approche retenue pour résoudre l'écoulement radial du palier axial. Les calculs numériques permettent de déterminer un facteur de correction à appliquer à la
solution connue de l'écoulement radial dans le palier axial.
Afin d'explorer l'impact de la variation, de façon indépendante, des pressions aux extrémités du palier axial, une nouvelle étude sera effectuée. L'écoulement radial peut être considéré comme un écoulement de couche mince (théorie de lubrification) qui peut être défini par les équations de Reynolds. Hamrock [Hamrock, 1994] dérive les équations de Reynolds en
négligeant les termes des équations de Navier-Stokes qui sont d'ordre (h/L), (h/L)2, (h/b) et
(h/b)2 où h représente l'espacement entre les surfaces, b la largeur de l'écoulement considéré
et L la longueur sur laquelle l'écoulement est considéré. De plus, il considère la viscosité du fluide comme étant constante sur l'épaisseur de la couche mince. Dans le présent cas, h ~ ?µ??, b ~ 100 µp? et L ~ 100 µp? ce qui propose que les termes peuvent être négligés. Toutefois, il est à noter que les rapports h/L et h/b sont tout de même près de deux ordres de
grandeur plus grand que leur équivalent macroscopique. Cette simplification des équations de
Navier-Stokes mène à l'équation de Reynolds généralisée.
o-i-
dxph3 dP
12// dx + ¦ + · ay dyPh(va-vb)
ph3 dP
??µ dy +d ( ph{ua-ub)
a* ? dh ? s un dh . dp+ p{wa-wb)-p-ua — -p-vay + h—
2-23La Figure 2-19 présente la nomenclature du palier axial ainsi que le système d'axe qui est utilisé dans l'équation 2-23. Les variables u, ? et w représentent les vitesses des parois (a et b)
selon l'axe des x, y et ? respectivement. rotor
h
1I
;î
t
palier axial
Figure 2-19 : Nomenclature du palier axial pour l'équation de Reynolds généralisée. En négligeant toute variation temporelle, toute variation sur l'épaisseur et tout mouvement
relatif des parois [Teo, 2006], l'équation 2-23 prend alors la forme suivante :
( dx
ph3 dP
12µ dx + ¦ph3 dP
= 0dy { 12// dy
En utilisant la loi des gaz parfaits et en prenant un écoulement isotherme, la forme simplifiée de l'équation généralisée de Reynolds prend la forme présentée à l'équation 2-24 pour un écoulement forcé de couche mince confiné entre des parois stationnaires. Le terme V
représente le gradient.
— P — + —
dx\ dx J dy
P^
dy= 0 -> V(PVP) = O
2-24Les effets de rotation de la surface du rotor sont négligés car ils induisent peu de variation sur le profil de pression en comparaison de l'écoulement radial dans le palier axial [Teo, 2006]. L'équation définissant le profil de pression dans l'écoulement radial du palier axial (équation 2-24) sera résolue, pour notre géométrie, à l'aide du logiciel COMSOL (extension de Matlab). Ce dernier est un outil de simulation numérique multiphysique permettant l'utilisation d'équations différentielles partielles (EDP) [COMSOL, 2007]. La forme de l'équation 2-24 est obtenue, dans le logiciel, en utilisant l'équation de Laplace en deux dimensions et en assignant les valeurs adéquates aux différentes variables. La substitution de la variable c par P permet,
d'une façon détournée, d'obtenir l'équation qui définit notre problème et qui permet la
considération d'un gaz comme fluide de travail (densité variable).