Fonction de répartition de la force ultime

En première approche, une fonction de répartition de la force ultime à partir des 188

poutres, a été établie. Deux lots de poutres ont été alors créés à partir de la médiane de

la force ultime, Fig.2.22. Les poutres présentant une force ultime inférieure à la médiane

(représentées par des triangles noirs) sont comprises dans la catégorie appelée "Classe

basse" et celles dont la valeur est supérieure à la médiane (représentées par des cercles

gris) sont situées dans la "Classe haute".

Figure 2.22:^{Fonction de répartition de la force ultime et définition des classes haute}

et basse.

Une régression linéaire ascendante pas à pas est alors réalisée pour définir les variables

explicatives de ces deux classes. Pour la "Classe basse", la seule variable explicative est le

M OE_dyn, avec unR² de 0.29. Concernant la "Classe haute", deux variables explicatives

ont été retenues, leM OE_dyn etAcrit

CT

(la surface du noeud critique sur le chant tendu)

avec un coefficient de détermination de 0.53 (alors que la régression linéaire simple entre

M OE_dyn etF_max donne unR² de 0.45).

Classement mécanique 84

d’améliorer la compréhension des comportements mécaniques à la rupture de ces éléments

de structure, puisque les méthodes de classement proposées précédemment permettent

d’obtenir de meilleures corrélations entre le MOE et le MOR. L’objectif est, à présent,

de comprendre les comportements mécaniques et donc de définir les variables

explica-tives agissant sur la force ultime. La prochaine partie propose donc deux pré-classements

dépendant du MOE (variable la plus significative).

2.4.3.2 Fonction de répartition de la force ultime par classe de module

d’élas-ticité dynamique sur la population de 188 poutres

Pour identifier les différents comportements mécaniques du bois de structure, quatre

classes de module d’élasticité dynamique ont été définies. Les différentes classes proposées

sont recensées dans le tableau suivant, Tab.2.6. Les deux dernières lignes du tableau

montrent la corrélation obtenue par régression linéaire simple entreM OEdyn etFmax et

le nombre d’échantillons par classe de module d’élasticité dynamique.

Table 2.6: ^{Classes de modules d’élasticité dynamique proposées dans cette étude}

⁴

Classe de M OE_dyn I II III IV

M OEdyn min(MPa) 6500 8500 10500 12500

M OE_dyn max (MPa) 8500 10500 12500 Max

R² M OEdyn vsFmax 0.12 0.26 0.20 0.3

Nbre d’échantillons 47 81 50 10

A partir de ces classes de module d’élasticité dynamique, des fonctions de répartition de

la force ultime ont été définies.

Pour chacune d’entre elles, les échantillons présentant des forces ultimes inférieures à la

force ultime médiane ont été placés dans la "Classe A". Par équivalence, les échantillons

présentant des forces ultimes supérieures à la valeur médiane ont été placés dans la

"Classe B", comme le montre la figure, Fig.2.23.

4. A noter que 3 et 5 classes de modules d’élasticité avaient également été proposées. Cependant, le

pré-classement en fonction de 3 classes de modules d’élasticité a donné de plus faibles corrélations et le

pré-classement en fonction de 5 classes de module d’élasticité n’améliore pas les corrélations.

Figure 2.23: ^{Fonction de répartition de la force ultime par classe deM OE}

dyn

Une régression linéaire simple entre le M OE_dyn et Fmax donne un coefficient de

dé-termination de 0.74 pour la "Classe A" et un R2 de 0.73 pour la "Classe B". Par ce

pré-classement, un gain de 24% est observé entre la régression linéaire simple faite sur

les 188 poutres (R² de 0.59 en Section 2.4.2) et celle faite sur les classes A et B (R²

de 0.73). De plus, en comparaison de la première fonction de répartition proposée,

sous-section2.4.3.1, qui présentait le même nombre d’échantillons par classe, il est obtenu un

gain de 155% de la "Classe A" comparé à la "Classe basse" et un gain de 67% de la

"Classe B" comparé à la "Classe haute". Ainsi pour un même nombre d’échantillons, un

pré-classement en fonction du module d’élasticité et de la force ultime (comparé à un

pré-classement de la force ultime uniquement) permet de mieux appréhender le

compor-tement mécanique avec des coefficients de détermination initiaux de l’ordre de 0.75.

Dans la partie suivante, les variables explicatives de la force ultime propre aux classes A

et B sont identifiées et des modèles descriptifs sont établis afin de déterminer l’influence

de ces variables sur la force ultime et ainsi identifier les différences de comportements

mécaniques entre ces deux classes.

Classe A :

La régression linéaire ascendante pas à pas a permis de définir les variables

explica-tives des forces ultimes, qui sont :

Classement mécanique 86

• Ycrit

F L

: la position selon y du noeud critique des faces latérales,

• AR_crit

_CT

: ratio entre l’axe principal et secondaire de l’ellipse du noeud critique,

Dans le cas de la régression linéaire multiple, un coefficient de détermination de 0.78

a été obtenu (soit un gain de 5% entre la régression linéaire simple et la régression

linéaire multiple). Si le gain entre ces deux régressions linéaires ne semble pas pertinent,

l’utilisation d’un modèle non linéaire permet, quant à lui, d’améliorer la "prédiction".

En effet, la classe A a été de nouveau séparée en deux sous-échantillons. Contrairement

à la partie propre au classement de ce manuscrit, section 2.4.2, le modèle permettant

d’étudier le comportement mécanique de cette classe A est une régression polynomiale

d’ordre 2. Les résultats pour cette classe sont illustrés dans la figure suivante, Fig.2.24

(AnnexeD).

Figure 2.24: Corrélation obtenue sur la classe A

Les corrélations par régression polynomiale d’ordre 2 donnent des coefficients de

détermi-nation,R², de 0.80 en apprentissage et de 0.85 en validation, ce qui mène à un coefficient

de détermination total (avec les 94 poutres de la classe A) de 0.81. La comparaison entre

ces résultats et ceux issus des réseaux de neurones avec les 188 poutres affiche un gain

de 14% (oùR² valait 0.71, section 2.4.2). Les résultats pour la classe A montrent que le

comportement mécanique est fonction du M OE_dyn,Y_crit

_{F L}

et de AR_crit

_{F L}

. Ainsi pour

les poutres de faibles qualités mécaniques par classe de module d’élasticité dynamique,

les caractéristiques qui pilotent la rupture sont le M OEdyn et des variables locales. Le

M OE_dyn fait toujours partie des variables explicatives. Nous pouvons en conclure que

les échantillons de faibles qualités mécaniques, par classe de module d’élasticité ont un

comportement mécanique "local" préjudiciable ou du moins qu’ils sont plus sujets aux

effets localisés des hétérogénéités. Ce comportement s’explique par la présence de noeuds

dans la zone tendue, à savoir les noeuds critiques sur les faces latérales et sur le chant

tendu.

Classe B :

Concernant la classe B (éléments dont la force ultime est supérieure à la médiane de

chaque classe de module d’élasticité dynamique, Fig.2.23), les variables explicatives

trou-vées par la régression linéaire ascendante pas à pas sont :

• M OE_dyn : le module d’élasticité dynamique,

• KAR_aj : Knot Area Ratio ajusté, qui correspond à la somme des surfaces des

noeudsAkdivisée par la surface étudiée, c’est-à-dire, la surface correspondant à la

hauteur de la poutre,h, multipliée par la longueur du tiers central, L_{T C}, eq.2.13:

KAR_aj =

P

A_k

h.L_{T C} ^(2.13)

Pour cette classe, la régression linéaire simple entre le M OE_dyn (variable la plus

expli-cative) etFmax, vaut comme mentionné précédemment, 0.73.

Après une partition de la classe B en deux lots distincts (apprentissage et validation), la

corrélation par régression polynomiale d’ordre 2 (Annexe E) est étudiée, Fig.2.25,.

Classement mécanique 88

Les corrélations affichent un coefficient de détermination de 0.75 en apprentissage et de

0.78 en validation pour une équation prédictive polynomiale d’ordre 2. Ces corrélations

sont obtenues à partir de deux informations, considérées comme globales : le M OE_dyn

qui est une caractéristique représentative de toute la poutre et le KARaj qui est une

caractéristique spécifique au tiers central des faces latérales. Ainsi contrairement à la

"Classe A" qui présentait un comportement mécanique à la rupture lié à la présence

des noeuds critiques, la "Classe B" répond à un comportement dépendant de l’effet de

groupe des noeuds.

Dans le document Une modélisation de la résistance en flexion du pin maritime utilisé en construction (Page 96-101)