Critère de Tsai-Hill

Afin d’estimer la charge de ruine du tronçon de poutre, il est nécessaire d’utiliser un

critère de rupture adapté au cas du bois. Le critère qui semble le mieux à même de

décrire la rupture d’un matériau fibreux et orthotrope comme le bois est le critère de

Tsai-Hill habituellement utilisé dans les composites à fibres longues.

Le critère de Tsai-Hill est exprimé à partir des différentes composantes du tenseur des

contraintes lorsque ce dernier est exprimé dans le repère local de l’élément lt : σ_ll, σ_tt

etσ_lt. Il propose en outre une normalisation de ces contraintes à partir des contraintes

admissibles correspondantes f_t,//, ft,⊥ etfv. Sous un chargement de traction, σll>0, le

critère de Tsai-Hill prend la forme suivante, eq.3.6 :

σ_ll

f_t,//

2

+

σ_tt

ft,⊥

2

− ^σll.σtt

f_t,//²

!

+

σ_lt

fv

2

= 1 (3.6)

où le terme σ_ll.σ_tt

f_t,//^{2 représente le terme d’interaction entre les directionslett.}

Dans cette étude, les valeurs de résistances (ou contraintes admissibles) introduites dans

le critère s’inspirent du Tab.1.2représentatif du matériau bois sans défaut (oùf_t,//= 85

MPa, f_t,⊥ = 2.4 MPa etf_v = 9 MPa) à savoir Tab.3.8 :

Table 3.8:^{Résistances utilisées dans le critère de Tsai-Hill}

f_t,// MPa f_t,⊥ MPa f_v MPa

90 4 10

Le choix de majorer les données du Tab.1.2, vient du fait qu’il a été vu en conclusion du

chapitre introductif que les hypothèses mises en place dans les modélisations EF étaient

sécuritaires. Les résistances f_t,⊥ et f_v seront alors comprises entre celles du Tab.1.2

et celles Tab.1.9 (majorées par Bano et al.[42] pour faire correspondre leurs résultats

expérimentaux et numériques).

Modélisation du comportement mécanique en zone pré-nodale 116

A partir des valeurs de résistances données dans le Tab.3.8, il est possible de représenter

l’allure du critère de Tsai-Hill comme montré sur la Fig.3.12.

Figure 3.12: ^{Allure du critère de rupture Tsai-Hill}

Cependant au vu du rapport important entre les résistances longitudinale,f_t,//, et

trans-versale,f_t,⊥, la question se pose quant à l’effet du terme d’interaction entre les contraintes

longitudinales,σ_ll et transversales,σtt. Une étude de l’allure du critère de Tsai-Hill dans

le plan σllσtt a été réalisée afin d’observer l’effet de ce terme. Sur la Fig.3.13, la courbe

rouge, représente l’allure du critère lorsque le terme d’interaction est négligé, eq.3.7 :

σ_ll

f_t,//

2

+

σ_tt

ft,⊥

2

+

σ_lt

fv

2

= 1, (3.7)

tandis que la courbe bleue, correspond au critère complet définit par l’eq.3.6.

Figure 3.13: ^{Allure du critère de rupture Tsai-Hill}

On constate sur la Fig.3.13, que les deux courbes sont quasiment confondues et donc que

le terme d’interaction peut être négligé lorsque le rapport entre σll etσtt est important.

Dans la suite, l’équation du critère retenue est celle de l’équation3.7, i.e, sans le terme

d’interaction.

Les contraintes longitudinales, σ_ll, transversales, σ_tt, et de cisaillement, σ_lt, sont

déter-minées par la MEF au niveau des points de Gauss des éléments (soit 6 points de

Gauss/-élément dans le cas d’Gauss/-élément bidimensionnel triangulaire quadratique). Afin d’éviter de

travailler sur un trop grand nombre de données et d’optimiser le temps d’extraction de

ces contraintes, il a été fait le choix de travailler sur les centres de gravité des éléments.

Toutefois, les champs de contrainte obtenus nécessitent un post-traitement du fait des

perturbations engendrées par l’interface noeud/bois.

- Élimination du nœud

Pour des raisons de simplification, l’interface entre le bois et le noeud a été considérée

comme parfaite dans la MEF. Toutefois, du fait du contraste des propriétés mécanique du

bois et du noeud, on constate que l’interface est une zone de fort gradient de contrainte,

certainement non justifiée par rapport au cas réel. En effet, l’adhérence d’un noeud n’est

jamais parfaite et de ce fait les contraintes réelles prenant place à l’interface bois/noeud

sont très probablement beaucoup plus faibles que celles constatées par la MEF. Ainsi,

afin d’éviter de prendre en compte le fort gradient de contrainte provoqué par l’interface

(parfaite), les éléments appartenant à une couronne équivalente à 1,05r, où r correspond

au rayon du noeud sont éliminés lors du post-traitement Fig.3.14:

Figure 3.14: ^{Élimination du nœud et de l’interface bois/nœud pour un nœud de}

diamètre 20 mm

Modélisation du comportement mécanique en zone pré-nodale 118

En dépit du soin apporté au maillage autour du noeud, on a pu constater que

cer-taines zones étaient sujettes à des singularités de contrainte liées au maillage (différence

d’angles d’orthotropie trop importante entre deux éléments voisins). Afin de remédier à

ces singularités de contrainte, il a été décidé de moyenner les champs de contraintes en

utilisant une fenêtre glissante. Le choix de la taille de la fenêtre dépend de la précision

et donc de l’approximation finale que l’on souhaite obtenir. Une trop grande fenêtre

en-trainerait une perte d’informations tandis qu’une taille de fenêtre trop petite n’aurait

quasiment aucun effet. Les tailles des mailles EF étant proportionnelles à la taille du

noeud, la taille des fenêtres sera homothétique à la taille du noeud, Tab.3.9.

Table 3.9: ^{Taille de la fenêtre pour la moyenne mobile pour les différents diamètres}

de nœud

Fenêtre (en mm)

Φ_N = 10 mm 1,5x1,5

ΦN = 20 mm 3x3

Φ_N = 40 mm 6x6

Notons que cette taille de fenêtre a été définie de manière arbitraire (les résultats obtenus

pour deux autres tailles de fenêtres ont été analysées et sont proposées en Annexe H).

D’un point de vue pratique, les tronçons de poutre sont recouverts d’une grille régulière

de maille 1x1 mm² sur laquelle se déplace la fenêtre. Les contraintes des éléments du

maillages situées à l’intérieur de la fenêtre sont moyennées σ_ll

_moy

,σ_tt

_moy

etσ_lt

_moy

et ces

moyennes sont affectées au centre géométrique de la fenêtre (grille de 1x1 mm²).

Détermination de la contrainte équivalente

A partir des contraintes longitudinales, transversales et de cisaillement moyennées il

est possible d’estimer la valeur du critère de Tsai-Hill. Cependant, la contrainte initiale

appliquée, σi, vaut 1 MPa (traction : chargement unitaire, flexion : chargement linéaire

seuillée à +/-1MPa) entrainant une valeur du critère inférieure à 1. La méthodologie

pour déterminer la contrainte équivalente, σ_eq, c’est-à-dire la contrainte entrainant une

valeur de 1 pour le critère de Tsai-Hill est la suivante :

En tout point M(l,t) du tronçon de poutre modélisé, le critère de Tsai-Hill est calculé,

donnant ainsi une valeur C fonction de la position (l,t) (3.8).

C_(l,t)=

σ_ll

_(l,t)

f_t,//

2

+

σ_tt

_(l,t)

f_t,⊥

2

+

σ_lt

_(l,t)

f_v

2

<1 (3.8)

rechercher dans le tronçon de poutre la valeur du critèreC_(l,t)maximale, notéeCmax qui

a pour coordonnées (l_m, t_m) (3.9) :

Cmax =

σll

_(lm,tm)

f_t,//

2

+

σtt

_(lm,tm)

f_t,⊥

2

+

σlt

_(lm,tm)

fv

2

(3.9)

En ce point Mcrit(lm, tm), un facteur d’amplification, K, est calculé et permet de passer

de la valeurCmax à 1 (3.10) :

K²

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