FF-OCM en lumière polarisée

4.3.2.1 Théorie et formalisme de Jones

La polarisation d’une onde lumineuse correspond à l’orientation de son champ électrique associé, autrement dit à l’orientation de ~E0 (voir équation1.1). Rappelons que le champ

situation. Modifié depuis [178].

électrique est toujours orthogonal à la direction de propagation de l’onde lumineuse, ainsi ~

E0 peut être représenté un vecteur en deux dimensions dans un plan orthogonal à la direction de propagation de la lumière. En considérant une propagation de la lumière selon z, on peut ainsi écrire :

~

E(z, t) = Ex Ey

!

e(i~k z−iωt), (4.16)

avec Ex= Axeiϕx et Ey = Ayeiϕy. On a ainsi E0 = q

A2 x+ A2y.

Ainsi, on peut décomposer le champ ~E(z, t) en deux champs (scalaires) orthogonaux, dans les directions x et y. Dans le cas où ces deux champs n’ont pas de variations aléatoires (relation de phase ϕ = ϕx−ϕyfixée, Axet Ay fixés), la lumière est dite purement polarisée.

En choisissant bien l’origine des phases, il est possible de noter : Ex Ey ! = E0 Ax E0 Ay E0e iϕ ! . (4.17) Le vecteur AEx0 Ay E0e iϕ !

(normalisé) est alors suffisant pour totalement décrire l’état de polarisation de l’onde lumineuse. Ce vecteur est appelé vecteur de Jones. On utilisera uniquement ces vecteurs pour étudier la polarisation dans des situations où la lumière est purement polarisée. Notons que dans le cas d’une imagerie en lumière cohérente (comme l’OCT), la lumière peut toujours être considérée purement polarisée.

La figure 4.17 représente le motif tracé par ~E au cours du temps pour différents dé- phasages et amplitudes des deux champs orthogonaux selon x et y, et donne les vecteurs de Jones associés à ces différentes polarisations.

Lorsque la lumière purement polarisée interagit avec un matériau (transmission, ré- flexion, rétrodiffusion . . .), le vecteur de Jones peut être modifié en sortie du matériau. Mathématiquement, l’effet du matériau sur la polarisation peut être défini par une ma- trice 2 × 2 agissant sur le vecteur de Jones incident. Cette matrice caractérisant l’effet du matériau est appelée matrice de Jones.

En considérant que la lumière en sortie du matériau reste purement polarisée (c’est à dire en négligeant la dépolarisation pouvant être due au matériau), le matériau peut uniquement avoir deux effets sur la polarisation incidente : déphaser les deux champs selon lesquels ~E peut être décomposé, ou atténuer leurs amplitudes. Un matériau déphasant les deux champs est dit biréfringent7_{, la biréfringence correspondant au déphasage η introduit}

par le matériau entre les deux champs. La propriété associée à une atténuation différente de l’amplitude pour les deux champs est appelée diatténuation. Cette propriété nous inté- ressera peu dans le contexte de l’imagerie d’échantillons biologiques, ceux-ci ne présentant généralement pas de diatténuation [110].

Les matériaux biréfringents déphasent les deux champs linéaires orthogonaux du fait que dans ces matériaux, l’indice vu par la lumière dépend de la polarisation de celle-ci, ainsi que de l’orientation du matériau par rapport à la direction de propagation de la lumière. Si l’indice vu par la lumière est le même pour des polarisations selon deux directions (orthogonales) de l’espace, et différent pour une polarisation dans la direction orthogonale au plan formé par les deux directions précédentes, le matériau est dit uniaxe, et l’axe pour lequel la lumière polarisée dans cette direction voit un indice différent est appelé axe optique du matériau. Dans le cas où les indices vus sont différents pour les polarisations dans les trois directions de l’espace, le matériau est dit biaxe. Les échantillons biologiques peuvent généralement être modélisés par des matériaux uniaxes [175].

Un échantillon biologique sera ainsi caractérisé par sa biréfringence η, mais aussi par la direction de son axe optique Θ, angle entre la direction x (dans la base (x,y) dans laquelle on écrivait le vecteur de Jones incident sur la matériau) et l’axe optique du matériau. Dans la base (x,y), la matrice de Jones générale d’un matériau uniaxe biréfringent linéairement (modélisant un échantillon biologique) peut ainsi s’écrire [175] :

Jech(η, Θ) = cos Θ − sin Θ sin Θ cos Θ ! eiη2 0 0 e−iη2 ! cos Θ sin Θ − sin Θ cos Θ ! . (4.18)

Dans le contexte de l’imagerie d’échantillons biologique, comme évoqué précédemment, on imagera généralement la biréfringence plutôt que l’axe optique.

4.3.2.2 FF-OCM polarimétrique (PS-FF-OCM)

Afin d’obtenir une image de biréfringence en FF-OCM, il est nécessaire d’introduire des éléments polarisants dans le montage de FF-OCM conventionnel. Le montage de FF- OCM modifié pour pouvoir imager la biréfringence (ou l’axe optique) est présenté en figure 4.18. La lumière incidente est polarisée linéairement à 0° (k), tandis que deux lames quart d’onde sont placées dans les deux bras de l’interféromètre. Les lames quart d’onde sont 7. On notera bien que ~E peut être décomposé dans n’importe quelle « base d’états de polarisation », le déphasage dû à certains matériaux peut ainsi être fait entre deux champs n’étant pas polarisés linéairement. Par exemple, ~E peut être décomposé dans la base des polarisations circulaires (droite et gauche). Certains matériaux déphasent ainsi les deux champs polarisés circulairement sur lesquels ~E peut être décomposé. On parle de biréfringence circulaire. D’un point de vue mathématique, les vecteurs propres de leur matrice de Jones associée sont les vecteurs de Jones correspondant aux polarisations circulaires droite et gauche,

1 i ! et 1 −i !

, tandis que pour un matériau déphasant les champs selon x et y (biréfringence linéaire), les

vecteurs propres sont simplement 1 0 !

et 0 1 !

. On considérera ici uniquement des échantillons linéairement biréfringents.

Figure 4.18 – Montage de PS-FF-OCM conventionnel [110]. BS : cube séparateur, PBS : cube séparateur de polarisation, MO : objectif de microscope.

des éléments biréfrigents linéaires, de biréfringence π

2. En plaçant leurs axes optiques à 22.5° dans le bras de référence et à 45° dans le bras de référence, on montre facilement que la lumière incidente sur l’échantillon et la lumière revenant du bras de référence sont polarisées circulairement. Les composantes de la polarisation selon 0° (k) et 90° (⊥) sont finalement mesurées en sortie de l’interféromètre (nous présentons ici un montage effectuant cette mesure à partir de deux caméras. Comme expliqué précédemment, d’autres schémas d’acquisition sont possibles).

Comme en FF-OCM conventionnelle, un décalage de phase est appliqué de manière à obtenir plusieurs images interférométriques déphasées dans les deux directions d’analyse de l’état de polarisation en sortie de l’interféromètre. A partir de ces images interférométriques (Ik

1...N et I1...N⊥ ), on peut alors reconstruire la biréfringence ou l’axe optique, selon les algorithmes suivants, en considérant ainsi un décalage de phase pas à pas tel que décrit à la section2.3.1.2 : η = arctan   s (I₁k− I₃k)2_{+ (I}k 2 − I k 4)2 (I₁⊥− I₃⊥)2_{+ (I}⊥ 2 − I4⊥)2  , (4.19) Θ = 1 2   arctan   (I₂k− I₄k)2 (I₁k− I₃k)2  − arctan " (I₂⊥− I⊥ 4 )2 (I₁⊥− I₃⊥)2 #   . (4.20)

Notons bien que la biréfringence mesurée à une profondeur donnée ne correspond en fait pas à la biréfringence de l’échantillon à cette profondeur, mais à la biréfringence accumulée au cours de la traversée de l’échantillon pour atteindre cette profondeur (aller et retour).

Figure 4.19 – Montage de PS-OCT dans le cas le plus général [175], en fonction des matrices de Jones associées aux éléments polarisants dans les bras de l’interféromètre. BS : cube séparateur.

La disposition des éléments polarisants dans le montage de FF-OCM pour la mesure de la biréfringence est identique à celle utilisée dans la quasi-totalité des montages de PS-OCT. Cependant, il a été montré que d’autres montages peuvent aussi mesurer la biréfringence, avec d’autres éléments polarisants, placés différemment dans le montage [175].

On peut ainsi décrire un montage « généralisé » de PS-OCT (valable aussi en PS-FF- OCM), en considérant des éléments polarisants quelconques (caractérisés par des matrices de Jones) dans les différents bras de l’interféromètre. Ce montage généralisé est présenté en figure4.19.

Une étude théorique montre que l’intensité mesurée en sortie de l’interféromètre selon les deux composantes (k et ⊥) de la polarisation vaut, en fonction des matrices de Jones des composants dans les différents bras (voir figure4.19), de la polarisation initiale de la lumière ~Esrc et du signal OCT à la position sondée [175] :

Ik I⊥

!

= K + 2<[JrefJdetJTsampJechJsampE~srcSOCT], (4.21) avec K une constante.

Ce résultat sera fondamental pour toutes les études théoriques sur des montages diffé- rents du montage de PS-OCT conventionnel.