III.4 Algorithme développé : Optimisation Mixte Découplée
III.4.5 Expression mathématique du problème du réglage optimal de la tension 74
∆P
∆Q
=
∂P
∂V
∂P
∂θ
∂Q
∂V
∂Q
∂θ
·
∆V
∆θ
(III.29)
La matrice jacobienne J du système s'écrivant alors :
J =
∂P
∂θ
∂P
∂V
∂Q
∂θ
∂Q
∂V
=
H N
M L
(III.30)
avecH,N,M etLles matrices de dimensionn×nrespectivement égales à
∂P
∂θ
,
∂P
∂V
,
∂Q
∂θ
et
∂Q
∂V
.
Une mise en ÷uvre directe de la méthode de Newton-Raphson peut poser des problèmes
de temps calcul. Les matrices Ybus et J sont, en eet, des matrices de taille conséquente
variant exponentiellement avec le nombre de n÷uds du réseau. Au cours du processus
itératif, leurs inversions répétées peut, suivant les performances des ordinateurs disponibles
et la taille du réseau considéré, prendre un temps très long, pénalisant pour l'application
en temps réel du réglage de tension.
Il existe heureusement des hypothèses simplicatrices et des méthodes de calculs et de
traitement de données qui permettent de réduire signicativement les temps de calculs.
Ces hypothèses et méthodes sont décrites dans le paragraphe III.5.5.
III.4.5 Expression mathématique du problème du réglage optimal de la
tension
La programmation de la méthode de l'optimisation mixte découplée nécessite
d'expri-mer mathématiquement le problème du réglage de tension, en respectant la mise en forme
mathématique propre aux problèmes d'optimisation, c'est-à-dire la dénition des variables
de décision, des contraintes et de la fonction objectif.
III.4.5.1 Variables de décision
Pour le réglage de tension il existe trois types de variables de décision.
Puissance réactive des GED Le premier type de variables de décision est la puissance
réactive des GED. Pour chaque GED i du réseau est dénie une variable Qi, continue
et dérivable sur un intervalle Qi, tel que Qi = [Qimin, Qimax]. Les bornes inférieures et
supérieures de chacun des intervallesQisont dénies en fonction des propriétés intrinsèques
de chaque GED et de contraintes telles que la réglementation (c.f. paragraphe III.4.3.5).
Prises des transformateurs régleurs en charge Le deuxième type de variables de
décision considéré est le numéro de prise des transformateurs régleurs en charge. Pour
chaque transformateur est dénie une variable discrèteTi, appartenant à un intervalle Ti,
tel que Ti= [[Timin, Timax]]. Les bornes inférieures et supérieures de chacun des intervalles
Tisont dénies pour chaque transformateur en fonction de leur nombre de prises respectifs.
En France, les transformateurs HTB/HTA standards possèdent en général 17 prises.
Prise des bancs de condensateurs Le troisième type de variables de décision est la
puissance réactive générée par les bancs de condensateurs, sachant que pour chaque prise
d'un banc de condensateurs, la production de puissance réactive est connue. Pour chaque
banc de condensateurs on dénie une variable discrète Bi appartenant à un intervalle Bi,
tel queBi = [[Bimin, Bimax]]. Les bornes inférieures et supérieures de chacun des intervalles
Bi sont dénies pour chaque banc de condensateurs, en fonction de leur nombre de prises
respectifs.
Discussion sur les variables de décision Trois types de variables de décision ont été
dénis dans les paragraphes précédents. Cependant, le principe de la méthode de l'OMD
est de traiter diéremment les variables continues et les variables discrètes. Ces dernières
sont exclues du c÷ur du processus d'optimisation numérique, l'algorithme d'optimisation.
Aussi, les prises des bancs de condensateurs et des transformateurs régleurs en charge
ne seront pas intégrées mathématiquement dans la fonction objectif. Seule la puissance
réactive des GED le sera.
III.4.5.2 Fonction objectif
La fonction objectif est la mesure du système considéré. L'algorithme d'optimisation
cherche à minimiser cette mesure, c'est-à-dire à trouver la solution optimale du problème.
Le but premier du réglage de tension est de maintenir la tension entre les limites
réglemen-taires. Cependant, ce but se retranscrit mathématiquement sous forme de contrainte, car
les limites en tension sont des limites strictes que le système ne peut dépasser et donc elles
ne peuvent être exprimées sous forme de fonction objectif.
Il est possible d'intégrer les contraintes dans la fonction objectif en leur associant un
poids élevé, ce qui force l'algorithme à converger vers une solutions où les contraintes
sont moins ou pas actives. Cette solution, si elle facilite la convergence de l'algorithme
d'optimisation, présente cependant deux inconvénients. Il est tout d'abord possible de
converger vers une solution optimale où les contraintes sont actives. Cette solution n'est
pas souhaitée dans le cas du réglage de tension : les limites de tension sont strictes. Cet
inconvénient peut être éviter en écartant a posteriori la solution non souhaitée ou en jouant
sur les poids des contraintes mais cela complique l'algorithme. Le second inconvénient
concerne la fonction objectif. Dans le cas du réglage de tension, les contraintes (la tension)
et l'objectif principal (les pertes) sont des grandeurs diérentes. Pour les associer dans une
même fonction objectif, il convient de les transformer en grandeurs sans dimension. Ce
processus, non trivial, complique inutilement la fonction objectif. Aussi, il apparaît plus
simple ici de garder les contraintes de tension en dehors de la fonction objectif.
L'objectif mathématique principal du réglage de tension est la minimisation des pertes
Joule des lignes HTA du réseau de distribution considéré. Pour le GRD, la minimisation
des pertes Joule permet en eet de diminuer ses coûts d'exploitation du réseau et permet,
plus généralement, de réaliser des économies d'énergie.
Les pertes Joule des lignes HTA sont directement fonction du niveau de tension du
réseau, plus celui-ci est élevé, plus les pertes Joule sont faibles (c.f. paragraphe II.2.2.1).
En conséquence, l'algorithme d'optimisation cherche à maximiser les tensions du réseau,
sans excéder les limites supérieures admissibles.
À partir de la méthode de calcul de répartition de charge explicitée dans le paragraphe
III.4.4.3, il est possible de dénir la fonction LFobj:Q1×. . .× Qq →R, telle que :
LFobj(Q1, . . . , Qq) =
l
X
j=1
Pj (III.31)
avec :
q le nombre de GED contrôlées,
Qi la consigne de la puissance réactive de la GED i,
l le nombre de lignes où sont calculées les pertes Joule,
Pj les pertes Joule dans la lignej.
La fonction LFobj est la fonction objectif de l'OMD.
Les pertes Joule des lignes HTA représente le phénomène dispersif prépondérant dans
les réseaux de distribution. Cependant, il est possible d'améliorer la précision du modèle
de réseau utilisé en considérant aussi les pertes Joule et les pertes ferromagnétiques dans
les transformateurs HTA/BT. Le principal intérêt de cette modélisation plus détaillée, est
d'avoir une simulation plus proche de la réalité. Ainsi pour les pertes ferromagnétiques, les
pertes sont directement proportionnelles à la tension.
L'expression des pertes Joule et ferromagnétiques dans les les transformateurs HTB/HTA
est donnée en annexe A.2.
Autrement dit, il apparaît dans le cas présent deux objectifs contradictoires : la
mini-misation des pertes Joule des lignes et des transformateurs HTB/HTA et la minimini-misation
des pertes ferromagnétiques HTB/HTA. La minimisation d'un des deux objectifs entraîne
une divergence au regard du second objectif. L'algorihtme converge donc vers une
solu-tion intermédiaire minimisant la somme des deux objectifs. Cette solusolu-tion est valable sous
l'hypothèse que les deux objectifs ont un impact similaire pour le GRD.
L'aspect nancier n'est pas directement pris en compte dans l'optimisation. Le GRD
diminue ses coûts de fonctionnement du réseau en diminuant ses pertes, mais dans le cadre
de cette thèse, les données nécessaires à l'évalutation de ces économies et plus largement
des coûts globaux de fonctionnement des réseaux de distribution, ne sont pas disponibles.
La fonction objectif développée ici constitue une première approche, qui, si l'OMD
est industrialisée, nécessitera certainement une redénition pour prendre en compte dans
l'optimisation l'aspect nancier de manière précise.
III.4.5.3 Contraintes
Les contraintes sont les limites que le système ne peut dépasser. Ce sont des fonctions
qui dépendent des variables de décisions. Deux types principaux de contraintes peuvent
être décrits.
Contraintes d'égalité Les contraintes d'égalité obligent l'algorithme à converger vers
une solution pour laquelle les fonctions contraintes d'égalité sont constantes. Elles
per-mettent, par exemple, de xer la tension en un n÷ud du réseau ou des ux de puissance
dans les transformateurs, c'est-à-dire, de manière générale, de xer un paramètre subi ou
calculé du réseau. Des deux types de contraintes, les contraintes d'égalité sont plus à même
de poser des problèmes de convergence car la marge de man÷uvre de l'algorithme est plus
réduite.
Mathématiquement, en respectant le formalisme du paragraphe III.2.3, les contraintes
d'égalité s'écrivent, par exemple pour une tension xée en un n÷ud donné :
Vi−Videf = 0 (III.32)
avec
Vi la tension calculée au n÷udi,
Videf la consigne de tension pour le n÷ud i.
Dans un premier temps, pour faciliter l'interprétation des résultats et donc la validation
de l'OMD, seules les contraintes d'inégalité seront prises en compte.
Contraintes d'inégalité Les contraintes d'inégalité obligent l'algorithme à converger
vers une solution pour laquelle les fonctions contraintes d'inégalité sont inférieures ou
égales à une constante, la plupart du temps égale à 0 (c.f. paragraphe III.2.3). Dans le
cas du réglage de tension, la contrainte principale est la limite d'évolution du plan de
tension du réseau de distribution considéré : la tension de chaque n÷ud du réseau doit être
comprise, dans le cas général, entre plus et moins cinq pourcent de la tension nominale.
Il est possible de dénir des contraintes de tension particulières en certains n÷uds, les
contraintes maximales et minimales sont donc individualisées pour chacun des n÷uds.
D'autres types de contraintes d'inégalité peuvent être aussi envisagés. Par exemple la
limitation des ux de puissance réactive dans un départ. Cependant pour ne pas
alour-dir inutilement l'optimisation, dans un premier temps, seules seront considérées les deux
contraintes d'inégalités de tension maximale et minimale. Ce sont les deux contraintes
prépondérantes du réglage de tension.
Mathématiquement, en respectant le formalisme du paragraphe III.2.3, les contraintes
d'inégalité s'écrivent :
(Vimin−Vi) (Vimax−Vi)≤0 (III.33)
avec
Vi la tension calculée au n÷udi,
Vimin la valeur limite minimale que peut atteindre la tension du n÷udi,
Vimax la valeur limite maximale que peut atteindre la tension du n÷ud i.
Les tensions en chacun des n÷uds sont calculées lors du processus d'optimisation par
l'algorithme de répartition de charges déni au paragraphe III.4.4.3.
À partir de la fonction LFobj (équation (III.31)), il est possible de dénir la fonction
LFconi :Q1×. . .× Qq →R, telle que :
LFconi(Q1, . . . , Qq) =Vi (III.34)
avec :
q le nombre de GED contrôlées,
Qj la consigne de la puissance réactive de la GEDj,
Vi la tension du n÷ud i.
Cette fonction, construite à partir de la méthode de calcul de répartition de charge dénie
au paragraphe III.4.4.3, permet d'obtenir les tensions en chacun des n÷uds en fonction
des consignes de puissance réactive des GED. Elle permet donc d'exprimer les contraintes
d'égalité et d'inégalité portant sur les tensions, en fonction des consignes de puissance
réactive des GED.
Contraintes sur les variables de décision Il existe un troisième type de contraintes :
il s'agit des contraintes portant sur les variables de décision. Ces contraintes sont dénies
dans le paragraphe III.4.5.1. L'algorithme d'optimisation cherche un minimum local dans
l'intervalle image des intervalles de dénition des variables de décisions.
III.4.5.4 Formulation mathématique du problème d'optimisation
Suivant les objectifs et les contraintes retenus, plusieurs formulations mathématiques
du problème d'optimisation, respectant le formalisme du paragraphe III.2.3, sont possibles.
Une première formulation peut être donnée. Cette formulation ne tient compte que d'un
seul objectif, la minimisation des pertes Joule, et de deux types de contraintes portant sur
les tensions des n÷uds du réseau. Mathématiquement, cette première formulation s'écrit :
minLFobj(Q1, . . . , Qq)
(Q
1,...,Q
q)∈Q
1×...×Q
q, avec
(
LFconi(Q1, . . . , Qq) = 0, i∈ E,
LFconi(Q1, . . . , Qq)≤0, i∈ I. (III.35)
avec
E ensemble des indices des contraintes d'égalités,
I ensemble des indices des contraintes d'inégalités.
La formulation (III.35) est équivalente à la formulation suivante :
min
l
X
j=1
Pj, avec
(
Vi−Videf
= 0, i∈ E,
(Vimin−Vi) (Vimax−Vi)≤0, i∈ I. (III.36)
C'est cette première formulation qui sera utilisée, dans un premier temps, dans les tests
de validation de l'OMD (c.f. paragraphe III.6). Par la suite, la modication et l'ajout de
contraintes et d'objectifs, nécessitera une nouvelle formulation mathématique du problème
d'optimisation.
III.5 Réalisation logicielle
Dans le document
Réglage de la tension dans les réseaux de distribution du futur
(Page 91-95)