Exploitation des donn´ees exp´erimentales, cas des instruments `a simple

X

i=1

N

X

j=1

tan Ψe

pp,i,j−tan Ψc

pp,i,j(ϕi, φi)

δtan Ψe

pp,i,j

2

+

_{cos ∆}e

pp,i,j−cos ∆c

pp,i,j(ϕi, φi)

δcos ∆e

pp,i,j

2

+

_{tan Ψ}e

ps,i,j−tan Ψc

ps,i,j(ϕi, φi)

δtan Ψe

ps,i,j

2

+

_{cos ∆}e

ps,i,j −cos ∆c

ps,i,j(ϕi, φi)

δcos ∆e

ps,i,j

2

+

_{tan Ψ}e

sp,i,j−tan Ψc

sp,i,j(ϕi, φi)

δtan Ψe

sp,i,j

2

+

_{cos ∆}e

sp,i,j −cos ∆c

sp,i,j(ϕi, φi)

δcos ∆e

sp,i,j

2^!

,

(5.6)

o`u M repr´esente le nombre de couples {ϕi, φi} des angles d’orientation et d’incidence

pour lesquels on connaˆıt les param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es et N repr´esente le

nombre de points spectraux. Nous faisons porter la minimalisation sur les tangentes et

cosinus des angles ellipsom´etriques car ce sont, dans le cas particulier de notre montage,

ces grandeurs que nous ´evaluons exp´erimentalement mais il est ´egalement possible de la

faire porter directement sur les angles ellipsom´etriques g´en´eralis´es. La principale

diffi-cult´e dans ce processus r´eside dans le choix du mod`ele, de sa structure lamellaire et du

caract`ere isotrope ou anisotrope des diff´erentes couches. L’acc`es `a un ensemble de

para-m`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es exp´erimentaux en fonction de l’angle d’orientation ϕ

peuvent guider ce choix. Schubert conseille ainsi le passage par une ´etape pr´eliminaire de

simulation des matrices de Jones en fonction des angles d’incidence et d’orientation de

l’´echantillon afin de choisir une structure g´eom´etrique de mod`ele [111, 149, 150].

Notons que, dans le traitement de ce cas g´en´eral, nous n’avons parl´e que d’angles ou de

param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es. Les raisonnements expos´es ici s’appliquent

´ega-lement au formalisme de Stokes-M¨uller. La mod´elisation n´ecessite n´eanmoins de repasser

par les param`etres de Jones. Il existe donc une ambigu¨ıt´e dans le choix de la comparaison

des donn´ees calcul´ees aux donn´ees exp´erimentales. Il est possible, `a partir de la matrice

de Jones calcul´ee, de d´eterminer les ´el´ements de la matrice de M¨uller afin de la comparer

`a la matrice de M¨uller exp´erimentale. Il est ´egalement possible, `a partir de la matrice de

M¨uller exp´erimentale, d’extraire des param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es que l’on peut

comparer `a ceux directement g´en´er´es par le calcul.

5.1.4 Exploitation des donn´ees exp´erimentales, cas des

instru-ments `a simple modulation

Le cas g´en´eral pr´esent´e ci-dessus suppose qu’on connaisse exp´erimentalement la

ma-trice normalis´ee de Jones ou de M¨uller de l’´echantillon, ´eventuellement pour diff´erentes

positions de l’´echantillon ou diff´erents angles d’incidence. L’ellipsom`etre PRPSE se place

dans la cat´egorie des extensions d’ellipsom`etres conventionnels `a l’ellipsom´etrie

g´en´e-ralis´ee. Ces instruments, contrairement aux ellipsom`etres `a matrice de M¨uller, ne sont

constitu´es que d’un seul modulateur du flux lumineux. La d´etermination de la matrice

caract´eristique de l’´echantillon n´ecessite plusieurs mesures pour diff´erentes configurations

de l’instrument. Chaque mesure fournit alors une s´erie de deux ou quatre coefficients de

Fourier. Il faut ensuite exploiter l’ensemble des coefficients de Fourier r´esultant des

dif-f´erentes mesures pour extraire les param`etres physiques de l’´echantillon. Il existe deux

strat´egies d’exploitation de ces coefficients que nous allons discuter ici. La premi`ere

stra-t´egie consiste `a d’abord extraire les param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es pour ensuite

mod´eliser l’´echantillon comme d´ecrit dans le cas g´en´eral pr´ec´edent. La deuxi`eme

strat´e-gie consiste `a mod´eliser directement l’´echantillon `a partir des coefficients de Fourier sans

passer par les angles ellipsom´etriques g´en´eralis´es.

La premi`ere approche, qui constitue la d´emarche la plus g´en´eralement adopt´ee pour

l’exploitation des donn´ees exp´erimentales, consiste `a extraire les angles ellipsom´etriques

g´en´eralis´es `a partir de la mesure des coefficients de Fourier du montage. Bien que l’on

cherche `a d´eterminer 6 param`etres, il est pr´econis´e de collecter un nombre plus important

de spectres exp´erimentaux pour diff´erentes positions des ´el´ements optiques du montage

afin de r´eduire les effets des erreurs de mesure [111]. En effet les composantes anisotropes

´etant d’amplitude bien plus faibles que les composantes isotropes, elles peuvent ˆetre

for-tement parasit´ees par les bruits de mesure des composantes isotropes. Pour d´eterminer

les param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es associ´es `a une position de l’´echantillon, les

param`etres associ´es aux conditions de mesure que l’on peut faire varier sont les azimuts

des diff´erents ´el´ements polarisant fixes du montage. La technique g´en´eralement utilis´ee

pour extraire les param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es est de minimiser pour chacune

des longeurs d’onde du spectre ´etudi´e une fonction de test :

χ² =

M

X

i=1

N

X

j=1

_αe

i,j−αc

i,j(Ψpp,∆pp,Ψps,∆ps,Ψsp,∆sp)

δαe

i,j

2

. (5.7)

M repr´esente le nombre de coefficients de Fourier du montage (g´en´eralement 2 ou 4) et

N repr´esente le nombre de spectres acquis, correspondant `a autant de configurations de

l’instrument. Les coefficients αe

i sont les coefficients exp´erimentaux tandis que les

coeffi-cients αc

i sont les coefficients calcul´es. δαe

i est l’erreur exp´erimentale sur les coefficients de

Fourier. Ce processus d’inversion est `a r´ep´eter autant de fois qu’on souhaite de positions

d’orientation de l’´echantillon ou d’incidence. On est ensuite ramen´e au cas g´en´eral de

mo-d´elisation de l’´echantillon `a partir de diff´erents spectres des param`etres ellipsom´etriques

g´en´eralis´es pour diff´erentes valeurs des angles d’orientation et d’incidence.

5.1 - Ellipsom´etrie g´en´eralis´ee

La deuxi`eme approche consiste `a exploiter directement les coefficients de Fourier sans

passer par les angles ellipsom´etriques g´en´eralis´es. Dans ce cas, on compare directement

les coefficients de Fourier mesur´es aux coefficients de Fourier th´eoriques obtenus `a

par-tir d’un mod`ele dont on pourra ajuster certains param`etres. Il est possible d’utiliser et

de mod´eliser directement les coefficients de Fourier en fonction de l’angle d’incidence φ,

l’angle azimutal ϕ et ´egalement des azimuts des ´el´ements polarisant fixes du montage.

Cette approche a l’avantage d’´economiser l’´etape d’inversion num´erique de d´etermination

des param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es. Son principal inconv´enient est que les

coeffi-cients de Fourier utilis´es pour la mod´elisation caract´erisent l’´echantillon de mani`ere tr`es

indirecte. Cette approche n´ecessite donc une id´ee d´ej`a assez aboutie sur le mod`ele `a

uti-liser, c’est-`a-dire sur la structure lamellaire, sur la composition ainsi que sur le caract`ere

anisotrope uniaxe ou biaxe. Elle fonctionnera bien lors d’´etudes d’´echantillons `a g´eom´etrie

simple tels les substrats qui ne pr´esentent qu’une interface `a mod´eliser. Cette m´ethode a

´et´e pr´ec´edemment utilis´ee au laboratoire pour l’´etude de substrats d’iodure mercurique.

Dans le cas exp´erimental de l’iodure mercurique, l’axe optique est parall`ele `a la surface.

Les propri´et´es du mat´eriau ont ainsi pu ˆetre d´etermin´ees par l’analyse des spectres des 4

coefficients de Fourier en fonction de l’angle d’orientation ϕ [65].

En r´esum´e, dans le cas le plus g´en´eral d’un ´echantillon `a plusieurs interfaces, il est plus

commode de mod´eliser l’´echantillon `a partir des param`etres ellipsom´etriques g´en´eralis´es

plutˆot que des coefficients de Fourier. Les param`etres de Jones caract´erisent en effet

phy-siquement l’´echantillon directement et permettent de nous orienter sur le choix du mod`ele,

surtout dans le cas de structures complexes tels que les films minces ou les empilements

de couches n´ecessitant un gros travail de calcul `a partir du formalisme de Berreman. Dans

le cas d’un ´echantillon `a g´eom´etrie simple tel qu’un substrat, on pourra comparer

direc-tement les coefficients de Fourier exp´erimentaux `a des coefficients de Fourier calcul´es.

L’organigramme de la figure 5.1 repr´esente de mani`ere sch´ematique ce que nous avons

expos´e dans ce paragraphe. Il repr´esente de mani`ere g´en´erale une strat´egie d’exploitation

des mesures ellipsom´etriques g´en´eralis´ees effectu´ees `a partir des instruments `a simple

mo-dulation. Il n’existe ´evidemment pas de strat´egie id´eale ; ce sch´ema s’appuie sur diff´erents

constats et observations effectu´es au laboratoire ainsi que sur diff´erents travaux de la

litt´erature en ellipsom´etrie g´en´eralis´ee.

Fig. 5.1: Organigramme de la strat´egie d’exploitation des mesures des coefficients de

Fourier dans le cas d’un montage `a simple modulation. Cet organigramme est donn´e pour

le cas particulier du PRPSE :AetP sont les azimuts de l’analyseur et du polariseur fixe,

lesα_i sont les coefficients de Fourier.

Dans le document Caractérisation de couches minces nanostructurées par ellipsométrie spectroscopique : application aux propriétés optiques isotropes et anisotropes de nanoparticules sphériques et ovoïdes de cobalt (Page 109-113)