Expérience de Stern-Gerlach et filtres de Stern-Gerlachde Stern-Gerlach

L’expérience réalisée par Stern et Gerlach en 1921 est schématisée sur la figure 3.8. Un jet d’atomes d’argent sort d’un four et est collimaté par deux fentes, avant de passer dans l’entrefer d’un aimant où règne un champ magnétique dirigé suivant⁹ Oz. Le champ magnétique est inhomogène : Bz

est une fonction dez. L’atome d’argent porte un moment magnétique qui est en fait le moment magnétique de son électron de valence. Du point de vue des forces magnétiques, tout se passe comme si un électron traversait l’entrefer de l’aimant. Cependant on doit utiliser dans la dynamique la masse de l’atome et non celle de l’électron et noter l’absence de force de Lorentz, l’atome d’argent étant électriquement neutre. L’énergie potentielleUd’un moment magnétique dansB est U =−μ·B, et la force correspondante

F =−∇U Fz=μz

∂Bz

∂z (3.32)

En réalité B ne peut pas être strictement parallèle à Oz : si B = (0,0, B),

∂B/∂z = 0 est incompatible avec l’équation de Maxwell ∇ · B = 0. Une justification complète de (3.32) se trouve dans l’exercice 9.6.12, où l’on montre que la force effective sur l’atome est bien donnée par (3.32). Lorsque le champ magnétique est nul, les atomes arrivent au voisinage d’un point de l’écran et forment une tache de dimension finie en raison de la dispersion des vitesses, car la collimation n’est pas parfaite. L’orientation des moments magnétiques

9. Le lecteur prendra garde au fait que l’orientation des axes est différente de celle de la section précédente : la direction de propagation est maintenantOy. Ce nouveau choix est dicté par le souhait de respecter les conventions usuelles.

aimant four

fentes collimatrices N

S ∇Bz

z x y

Fig. 3.8 –Expérience de Stern-Gerlach.

à la sortie du four esta priorialéatoire, et en présence du champ magnétique, on s’attendrait à un élargissement de la tache : les atomes dont le moment magnétique μ est antiparallèle à Oz subissent une déviation maximale vers le haut pour (∂Bz/∂z) < 0, ceux dont μ est parallèle à Oz une déviation maximale vers le bas, toutes les déviations intermédiaires étant possibles.

En fait on observe expérimentalement deux taches symétriques par rapport au point d’arrivée en l’absence de champ magnétique. Tout se passe comme si μz, et donc sz, ne pouvait prendre que deux valeurs, et deux seulement, dont on constate¹⁰ qu’elles correspondent à sz = ±/2 : sz est quantifié.

On remarquera que comme le facteur gyromagnétique est négatif (γ <0), la déviation vers le haut (resp. bas) correspond à sz>0 (resp.<0). L’appareil de Stern-Gerlach agit comme la lame biréfringente de la figure 3.2 : à la sortie de l’appareil, l’électron suit une trajectoire¹¹où son spin est orienté soit vers le haut :sz= +/2, soit vers le bas :sz=−/2. L’analogie avec la polarisation des photons nous suggère de prendre comme espace des états de spin 1/2 un espace vectoriel à deux dimensions, ce qui s’avèrera être le bon choix. Une base possible de cet espace est formée des deux vecteurs|+ et|− , décrivant les états physiques obtenus en sélectionnant les atomes déviés vers le haut ou vers le bas par l’appareil de Stern-Gerlach, et correspondant respectivement aux valeurs +/2 et −/2 de sz. Les états |+ et |− sont souvent appelés

« spin up » et « spin down ». Ces états de spin sont l’analogue de deux états de polarisation orthogonale|Φ et|Φ_⊥ dans le cas des photons¹².

Le dispositif schématisé sur la figure 3.9 permet de recombiner les atomes déviés vers le haut ou vers le bas sur une trajectoire unique, de même que

10. La connaissance de∂Bz/∂zet deγpermet en principe de remonter à la valeur de sz à partir de la déviation : exercice 9.6.12.

11. On peut montrer (exercice 9.6.12) que les trajectoires peuvent être traitées classi-quement.

12. Toutefois il ne faut pas pousser trop loin cette analogie ; comme nous le verrons au chapitre 10, le photon a un spin, et non /2. Un spina normalement trois états de polarisation possibles. Il y en a seulement deux dans le cas du photon parce que le photon a une masse nulle.

N

S

S

N

N

S z

|+

|−

Fig.3.9 –Filtre de Stern-Gerlach.

la combinaison de deux lames biréfringentes de la figure 3.3 permettait de recombiner les trajectoires des photons polarisés suivant Ox et suivant Oy.

Ce dispositif, que nous appellerons « filtre de Stern-Gerlach » n’a pas été réalisé expérimentalement par Stern et Gerlach. Il a été imaginé 40 ans plus tard par Wigner pour les besoins d’une discussion théorique. Si l’on place deux filtres de Stern-Gerlach à la suite l’un de l’autre avec la même orientation de B en bloquant par exemple les deux voies du bas (figure 3.10a), on constate que 100 % des atomes qui passent le premier filtre sont aussi transmis par le second, de même qu’un photon sélectionné par un polariseur orienté suivant Ox est transmis avec une probabilité de 100 % par un analyseur de même orientation. Si au contraire la voie du bas est bloquée sur le premier filtre et la voie du haut sur le second (figure 3.10b), alors aucun atome n’est transmis, de même qu’aucun photon n’est transmis si l’analyseur et le polariseur sont croisés. Comme dans la section précédente, on rend compte de ces résultats en écrivant les amplitudes de probabilité a(+→+)eta(+→ −)comme des produits scalaires de vecteurs de base¹³

a(+→+) =+|+ = 1 a(− → −) =−|− = 1 a(+→ −) =−|+ = 0 (3.33) Si l’on représente les vecteurs|+ et |− sous la forme de vecteurs colonnes

|+ = 1

0

|− = 0

1

(3.34) le vecteur d’état (unitaire) le plus général|χ ∈ Hs’écrira

|χ =λ|+ +μ|− ou |χ = λ

μ

|λ|²+|μ|²= 1 (3.35)

13. En toute rigueur on sait seulement que|a(+→+)|=|a(− → −)|= 1, mais un choix de phase convenable permet toujours de se ramener à (3.33).

(a)

(b)

E

E

|+

|+

|+

Fig. 3.10 – Filtres de Stern-Gerlach en série. En (b), aucun atome n’arrive sur l’écran E.

Avec les vecteurs|+ et|− on peut construire un opérateur hermitienSztel que ces vecteurs soient vecteurs propres deSz avec les valeurs propres±/2

Sz= 1 2

|+ +| − |− −| = 1 2

P+− P− =1 2

1 0 0 −1

(3.36) où P+ et P₋ sont les projecteurs sur les états |+ et |− . À la propriété physiqueSz, composante suivantzdu spin, on associe un opérateur hermitien Szagissant dans l’espace des étatsH. Les vecteurs|+ et|− sont aussi appelés états propres de Sz, et forment la base où Sz est diagonal: dans cette base Sz est représenté par la matrice diagonale (3.36). La propriété physique : composante suivantzdu spin, a une valeur bien déterminée+/2ou−/2si le vecteur d’état|χ est égal à|+ ou|− .