Fig. 6.20 – Fr´equences de r´esonance correspondant aux seiches observ´ees par le capteur de pression dynamique, le mar´egraphe et l’extensom`etre. Notez le repliement de spectre qui touche les donn´ees du mar´egraphe, qui ne peut donc r´esoudre les seiches de courte p´eriode.
deux hypoth`eses limites : soit les mouvements de fluides ont eu le temps d’homog´en´eiser la pression, soit les mouvements de fluides ne se sont pas encore produits et des surpres- sions brusques peuvent survenir. On parle de conditions drain´ees dans le premier cas, et de conditions non drain´ees dans le cas inverse.
La description poro´elastique classique, telle que d´evelopp´ee par Biot [1941] est formu- l´ee dans le cadre de la m´ecanique des milieux continus [Coussy, 1991]. Elle pr´esuppose une ´echelle interm´ediaire entre la taille des pores et les h´et´erog´en´eit´es macroscopiques du milieu. C’est l’´echelle du volume ´el´ementaire repr´esentatif, suffisamment grand pour moyenner les contributions des pores, et dont on peut d´efinir des param`etres effectifs comme la pression, le champ de contraintes,...
Nous savons que dans le karst les cavit´es peuvent atteindre le m`etre. Dans ce cas, le volume repr´esentatif ´equivalent est donc d’environ 100 m, soit au moins un `a deux ordres de grandeur en dessous de la taille de l’aquif`ere, comme le sugg`ere par exemple la partie 3.5.2. La poro´elasticit´e est donc adapt´ee `a la description de la r´eponse du karst aux mar´ees. Param´etrisation de la r´eponse ´elastique d’un aquif`ere
La r´eponse ´elastique d’un solide ´elastique est usuellement caract´eris´ee par deux va- riables :
– le tenseur des contraintes : σij
– le tenseur des d´eformations : ǫij
Dans le cas d’un milieu poro´elastique, il convient d’ajouter deux variables d´ecrivant l’´evolution de la phase fluide contenue dans les pores :
– la pression du fluide : p
– la variation de teneur en fluide dans les pores : ζ. `
A l’´equation constitutive d’un milieu ´elastique homog`ene εij = 1 2G σij − ν 1 + νσkk (6.15) s’ajoute un terme de couplage poro´elastique :
εij = 1 2G σij− ν 1 + νσkk + 1 3Hp (6.16)
1/H est le coefficient d’expansion poro´elastique. Conform´ement aux relations de sym´e- trie d’Onsager, on retrouve ce coefficient dans l’´equation reliant les variables hydrauliques :
ζ = 1
3Hσkk + 1
Rp (6.17)
La variable S = 1/R est le coefficient d’emmagasinement non contraint du milieu. Elle s’exprime en Pa−1, mais les hydrog´eologues comme Giurgea et al. [2004] l’expriment aussi en m−1 en la multipliant par la quantit´e ρfg ∼ 104kg m s−2 pour se r´ef´erer `a des fluc-
tuations de niveau d’eau dans les puits. L’emmagasinement est l’´equivalent de la capacit´e calorifique dans un probl`eme thermodynamique. Alors que les probl`emes thermiques sont des probl`emes scalaires, la m´ecanique est tensorielle. Plusieurs coefficients d’emmagasine- ment diff´erent peuvent ˆetre d´efinis suivant les contraintes m´ecaniques pos´ees sur la roche poreuse :
– si les parois de la roche ne peuvent se d´eplacer, on parle de coefficient d’emmagasi- nement contraint (« constrained »), not´e Sǫ.
– si une contrainte constante est appliqu´ee sur le milieu, on parle donc de coefficient d’emmagasinement non contraint (« unconstrained »), not´e Sσ.
– si la contrainte n’est impos´ee que sur une seule direction, alors qu’aucune d´eforma- tion n’est tol´er´ee dans les directions perpendiculaires, on parle alors de coefficient d’emmagasinement « uniaxial », not´e Sυ.
Des deux nouveaux coefficients introduits, on peut d´eriver d’autres coefficients de si- gnification physique simple :
– le coefficient de Biot-Willis
α = K
H (6.18)
o`u K est le module de rigidit´e du solide poro´elastique K = λ + 2G3 . α est com- pris entre 0 (aucun couplage poro´elastique) et 1 (couplage poro´elastique maximal). Puisque α = 1 − KKs, il traduit la baisse de rigidit´e de la matrice solide introduite
par les pores.
– le coefficient de Skempton qui relie l’incr´ement de pression `a un incr´ement de la contrainte dans des conditions non drain´ees.
B = R
H (6.19)
Ce coefficient fait intervenir les propri´et´es du fluide, notamment son incompressibi- lit´e. B = 1 + φK−1f −Ks−1 K−1−K−1 s −1 146
6.4. ´EVALUATION DES COEFFICIENTS PORO ´ELASTIQUES DU KARST – le coefficient d’incompressibilit´e du milieu effectif dans des circonstances non drai-
n´ees.
Ku=
K
1 − αB (6.20)
La compressibilit´e du solide poro´elastique non drain´ee est sup´erieure `a celle du solide poro´elastique drain´ee `a cause de la faible compressibilit´e du fluide.
– On d´efinit de mˆeme le coefficient de Poisson en conditions non drain´ees : νu=
ν
1 − αB (6.21)
Il est int´eressant d’inverser l’´equation (6.17) : p = −B Kuεkk+
B Ku
α ζ (6.22)
Cette relation est essentielle pour comparer nos r´esultats `a des d´eformations, par exemple, les mar´ees terrestres, ou les d´eformations d’origine sismique.
La d´ependance de la pression `a la contrainte appliqu´ee est aussi int´eressante `a calculer : γ = B (1 + νu)
3 (1 − νu)
(6.23) Nous allons r´einterpr´eter les coefficients du tableau 6.11 :
mar´ees terrestres pression atmosph´erique B Ku = 17 ± 1 GPa γ = 0.3 ± 0.1
Tab.6.14 – Coefficients poro´elastiques d´eriv´es de l’´etude de la r´eponse du karst aux mar´ees et aux charges barom´etriques.
Nous avons vu ici quelques coefficients permettant de quantifier l’alt´eration du com- portement m´ecanique de la roche poreuse.
6.4.2 Couplage entre diffusion des fluides et r´eponse m´ecanique
Les propri´et´es de milieux poro´elastiques ne sont pas seulement m´ecaniques. Les fluides remplissant les pores peuvent se mouvoir au sein du milieu poro´elastique. Le flux volumique ~q par unit´e de surface et de temps est reli´e aux h´et´erog´en´eit´es de pression par la loi de Darcy :
~q = K η
−−→
grad P. (6.24)
En introduisant cette relation dans l’´equation 6.17, on obtient la relation de diffusion suivante : ∂p ∂t − B ∂σ ∂t = K η S ∂2p ∂x2 + Q S
On peut charger le syst`eme de deux mani`eres : soit par l’introduction d’une contrainte σ, soit par l’injection de fluide, donn´ee par le d´ebit volumique Q.
Cette ´equation d´ecrit le chargement m´ecanique et la relaxation par diffusion de fluide. Elle induit de multiples ph´enom`enes de couplage, d´ecrits dans l’article de Rice and Cleary [1976] et le livre de Wang [2000]. Le facteur D = η SK est une diffusivit´e hydraulique, n´eces- saire `a toute exploitation de l’´equation 6.25 pour mod´eliser la relaxation poro´elastique. Or,
nous ne connaissons pas la valeur de l’emmagasinement de l’aquif`ere inf´erieur, dont nous avons vu le rˆole pr´edominant dans la pression mesur´ee au paragraphe 5.2.2. Ce facteur ´etant purement associ´e `a la m´ecanique poro´elastique, il peut ˆetre d´etermin´e `a l’aide de la r´eponse aux mar´ees, ce qui est fait dans le paragraphe 6.4.5.
Notons que de multiples conventions existent pour d´ecrire la facilit´e des ´ecoulements de fluides dans un milieu poreux. Les physiciens ´evoquent volontiers la perm´eabilit´e K en [m2], qui apparaˆıt dans les ´equations fondamentales, comme l’´equation 6.24. Les hydro-
g´eologues, qui raisonnent en hauteur d’eau plutˆot qu’en pression ont tendance `a discuter de conductivit´e hydraulique C en [m/s], li´ee `a la perm´eabilit´e par la relation C = ρK
fg η.
De plus, l’´equation 6.25 est souvent int´egr´ee sur la hauteur h de l’aquif`ere. Le facteur T =Rz+h
z C dz est appel´e la transmissivit´e. Si la conductivit´e de l’aquif`ere est uniforme,
on a tout simplement T = C × h. On obtient alors l’´equation : H S ∂(P − Bσkk/3) ∂t − T ∂2P ∂x2 + ∂2P ∂y2 = (6.25)
Notons qu’alors la diffusivit´e hydraulique est identique quelque soit le choix des unit´es pris pour la conductivit´e et le coefficient d’emmagasinement.
6.4.3 V´erification de la pertinence des param`etres obtenus
Les exp´eriences de VSP (Vertical Seismic Profile) de l’automne 2002, ont permis `a Naville et al. [2004] d’estimer la vitesse des ondes P dans les calcaires recoup´es par le forage AIG10 `a 5 km/s. Cette valeur est aussi confirm´ee par la diagraphie DSI (Dipole Shear Sonic Imager ) de Prioul et al. [2004].
Or, la vitesse sismique est li´ee au module de rigidit´e `a d´eplacement transverse nul : ρVP = ∂σkk ∂ǫ33 ǫ11=0,ǫ22 = B Ku γ (6.26)
On en d´eduit donc la valeur de la masse volumique de la roche poreuse ρ = 2600 ± 1000 kg/m3. La r´esolution n’est pas tr`es bonne, mais la valeur ainsi obtenue est d’un ordre de grandeur raisonnable.
On peut aller plus loin, en reprenant aussi les valeurs de la vitesse des ondes S, VS ∼
2000 m/s. En effet, on peut utiliser la relation VP2/VS2 = 2 (1 − νu)
1 − 2 νu pour obtenir le coefficient
de Poisson non drain´e du milieu νu ∼ 0.4. Cette valeur est consid´erablement ´elev´ee, ce qui
tient sans doute du fait que Naville et al. [2004] a extrapol´e cette valeur de diagraphie de puits. En r´einjectant cette valeur dans l’´equation 6.23, on estime B ∼ 0.38, qui est aussi `a prendre avec les mˆemes r´eserves que pour le coefficient de Poisson.
6.4.4 Hypoth`ese de matrice rocheuse incompressible
Les ´equations donnant l’expression de B Ku et de γ en fonction des propri´et´es de la
roche se simplifient en : B Ku = Kf φ (6.27) γ = Kf Kf + φKυ (6.28) D’apr`es les tables de [Banton and Bangoy, 1997], le module d’incompressibilit´e de l’eau vaut Kf = 2.2 GPa `a 300C.
6.5. INTERPR ´ETATION DU D ´EPHASAGE VIS `A VIS DE LA MAR ´EE OC ´EANIQUE