Etude probabiliste des ammes de diusion

L'evolution instantanee des grandeurs thermochimiques en fonction du scalaire passif

Z

et la fonction densite de probabilite qui lui est associee permettent la determination des valeurs moyennes et des moments statistiques d'ordre superieur associes a ces grandeurs.

Y

(

Z

)ⁿ=Z +1

Cette equation permet le calcul des moments statistiques d'ordre

n

autour de la valeur zero de la fonction

Y

(

Z

).



n

= 1 correspond a la moyenne.



n

= 2 correspond a la variance autour de zero de

Y

(

Z

).

La connaissance de la

pdf

associee au scalaire passif, evaluee en chaque point et a chaque instant, est donc necessaire a la fermeture du probleme de la combustion. Le probleme qui se pose maintenant est la determination des fonctions densite de probabilite.

Les

pdf

dependent de la forme de l'ecoulement et du degagement de chaleur associe a la combustion. Etant donnee la diversite des problemes a resoudre et sachant qu'une fonction de probabilite dierente doit ^etre denie a chaque instant et en chaque point du domaine du probleme, il est clair que le calcul des

pdf

n'est pas un travail aise. Dans le cas ou il est impossible de la determiner pour un probleme specique, la resolution a travers la methode des scalaires passifs est naturellement compromise.

Pour determiner une

pdf

, trois methodes peuvent ^etre utilisees. Soit la

pdf

est calculee experimentalement, soit elle est presumee a partir de distributions de probabilite connues, soit une equation de transport associee a la

pdf

jointe des dierentes grandeurs de l'ecoulement est ecrite et resolue.

Determination experimentale des pdf

Des

pdf

ont ete mesurees pour la fraction de melange, pour la temperature et pour d'autres grandeurs thermochimiques dans dierentes conditions experimentales et pour dierents ecoule-ments [16]. Une attention speciale a ete portee aux ecouleecoule-ments non reactifs car les congura-tions sont plus simples et les mesures experimentales plus faciles a eectuer. Pour ce qui est des ecoulements reactifs, jusqu'a aujourd'hui, peu de travaux experimentaux ont ete realises. Ils s'interessent plut^ot a des geometries simples et d'usage typique en problemes de combustion turbulente. Bilger [16] a fait des mesures de

pdf

dans des couches de melanges reactifs, dans des reacteurs et dans des congurations de jets de combustible qui penetrent dans une atmosphere oxydante. Kennedy et Kent [27] ont aussi obtenu des mesures de

pdf

sur des ammes de diu-sion turbulentes creees par des jets de combustible. Le co^ut et la diculte de realisation de ce type d'experiences ralentissent le developpement de cette voie comme moyen de determination des

pdf

.

La simulation numerique directe (DNS) peut ^etre vue comme une autre maniere de deter-miner experimentalement les

pdf

, en resolvant les equations de Navier-Stokes sans utilisation de modeles de turbulence. Toutes les echelles turbulentes sont donc calculees de facon exacte. Ce niveau de precision est utile a l'etablissement des

pdf

des dierentes grandeurs intervenant. En DNS, les proprietes et les caracteristiques de l'ecoulement peuvent ^etre completement changees, sans avoir a resoudre les dicultes liees aux changements de la geometrie. Les simulations sont alors orientees en fonction du type de

pdf

envisage.

Si le but du calcul est par exemple la determination d'une

pdf

pour une variable

a

generique d'un ecoulement quelconque, toutes les valeurs de

a

calculees a un instant donne sont ordonnees, en regardant la frequence avec laquelle chaque valeur tombe dans un intervalle predeni. Une

pdf

spatiale pour cet instant est alors determinee. Des

pdf

temporelles peuvent aussi ^etre calculees a chaque point du domaine. Pour cela, les valeurs de

a

a une certaine position de l'espace sont xees pendant un certain intervalle de temps qui depend de la precision envisagee. Il faut naturellement que l'ecoulement soit stationnaire.

Notons que mesurer des

pdf

dans une experience ou dans une DNS est cependant tres eloigne des besoins des modeles. Dans ce cas, il faut identier les parametres qui contr^olent la

pdf

et ensuite proposer des relations entre ces parametres et la

pdf

, comme decrit ci-dessous.

Calcul des pdf par les moments statistiques d'un scalaire passif: pdf presumees

Parfois, les mesures experimentales (ou en DNS) des

pdf

montrent que la distribution des variables aleatoires suit des lois mathematiques connues. Si les parametres qui denissent ces lois sont calculables ou mesurables a partir des donnees globales de l'ecoulement (donnees cinematiques ou thermodynamiques), alors ces

pdf

peuvent ^etre presumees partout dans l'ecoulement. Cette methode est donc fondee sur le choix de fonctions densite de probabilite connues, dont les parametres sont calcules en fonction des moments statistiques des grandeurs comme par exemple, les scalaires conserves. Le calcul de leurs moments est eectue soit a l'aide de formules algebriques simples (fonctions des moments d'ordre inferieur), soit a l'aide de leurs equations de transport a travers le champ turbulent.

L'equation pour le transport de la valeur moyenne de la fraction de melange (evaluee au sens de Favre) est,

@

@t

 

Z

^~ +

@

@x

k  

u

~k

Z

~ =

@

@x

k " 

D @_@x^Z

^~_k ?





u

g00 k

Z

00 # (2.27) Cette equation est obtenue de facon classique, en ecrivant chaque variable comme la somme de sa valeur moyenne plus une uctuation et ensuite, moyenner l'equation 2.10. Le dernier terme du c^ote droit est une correlation entre les uctuations de vitesse et de fraction de melange. Son origine est denie au mieux pour traiter la turbulence. Comme pour les equations de transport de la quantite de mouvement et de l'energie, il faut le modeliser en fonction de grandeurs connues. Une hypothese classique du type gradient, valable pour des nombres de Reynolds susamment eleves est utilisee,

?





u

g00

k

Z

00= 

D

t

@Z

^~

@x

k (2.28)

La variance de la fraction de melange (

Z

g002) peut sur certaines hypotheses ^etre evaluee a partir de la valeur moyenne ~

Z

. C'est le cas des modeles du type EBU qui supposent que la chimie est inniment rapide devant la turbulence (cf. section 2.4). Cependant, ces hypotheses ne sont pas valables pendant l'auto-in ammation ou le temps chimique caracteristique n'est pas susamment petit par rapport aux echelles de turbulence. Une equation de transport de la variance de la fraction de melange doit ^etre resolue,

@

@t^

^

Z

g002+

@

@x

k





u

~k

Z

g002=

@

@x

k

D@



Z

g002

@x

k ! ?2

u

g00 k

Z

00

@Z

^~

@x

k ?

@

@x

k





u

00g k

Z

002 ?2

D@Z

g00

@x

k

@Z

00

@x

k (2.29) Les trois correlations qui apparaissent du c^ote droit de l'equation doivent ^etre aussi modelisees. ?





u

g00

k

Z

00et?





u

00g

k

Z

002sont a nouveau traitees par des modeles du type gradient (equation 2.28), ?





u

g00 k

Z

00=

D

t

@Z

^~

@x

k (2.30) ?





u

00g k

Z

002=

D

t

@Z

g002

@x

k (2.31)

Le dernier terme de droite traduit le taux de dissipation scalaire moyen ~



, grandeur tres importante a cause de sa signication physique. Le taux de dissipation scalaire peut ^etre interprete comme l'inverse d'un temps caracteristique de diusion. Ce terme est souvent modelise a partir de de l'etirement turbulent

=k

[22],

~



= 2

D@Z

g00

@x

k

@Z

00

@x

k =

C

D



kZ

g002 (2.32)

etant

C

D une constante du modele.

Des moments statistiques d'ordre superieur a deux peuvent ^etre calcules de la m^eme facon en etablissant leurs equations de transport respectives. Cependant, le calcul s'alourdit au fur et a mesure que l'on avance dans le nombre de parametres a determiner. Evidemment, en augmentant le nombre de parametres calcules, les

pdf

ainsi obtenues gagnent en generalite.

Quelques distributions utilisees habituellement dans les calculs de combustion sont par exemple:

 Des Gaussiennes tronquees a deux ou a quatre parametres,

P

(

Z

) =



(

Z

) +



(1?

Z

) +

e

?(Z?)

2=(22) _(2.33)

ou



,



,



et



sont des constantes positives ou nulles a determiner a partir des dierents moments statistiques de

Z

.

est une constante qui vaut zero hors de l'intervalle 0

< Z <

1, pouvant autrement s'exprimer en fonction des quatre premiers parametres [18].



(

Z

) et



(1?

Z

) representent des fonctions de Dirac centrees sur les points

Z

= 0 et

Z

= 1 respectivement.  Des fonction



,

P

(

Z

) = ( 0 si

Z <

0 ou

Z >

1 ?(a+b) ?(a)?(b)

Z

a?1(1?

Z

)^b?1 autrement ^(2.34)

La distribution



n'a besoin que de deux parametres,

a

et

b

qui sont determines en fonction de la valeur moyenne de

Z

et de sa variance. ?(

a

) est la fonction ? (factorielle generalisee).

a

=

Z

^~ g

Z

002  ~

Z

?

Z

~2 ? g

Z

002  (2.35)

b

=

Z

^~?2 ~

Z

2+ ~

Z

3 ? g

Z

002+ ~

ZZ

g002 g

Z

002 (2.36)

Determination des pdf a travers leurs equations de transport

Avec l'augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs actuels, un autre moyen de determiner les

pdf

est envisageable. Il s'agit de la resolution des equations de transport des

pdf

jointes de toutes les variables de l'ecoulement dans le champ turbulent.

Pope [28] a etudie les bases de la resolution d'un probleme de combustion a l'aide de cette methode. Il s'agit d'un probleme mathematique et physique assez lourd que Vervisch [29] et Haworth et Pope [30, 31] ont aussi traite. L'idee est de determiner la

pdf

associee a la vitesse et a la composition en chaque point et a chaque instant de l'ecoulement reactif turbulent a l'aide de son equation de transport. Cette approche permet de resoudre le probleme sans avoir besoin de modeliser les correlations d'ordre superieur qui resultent de l'utilisation des moyennes de Reynolds ou de Favre. Les eets de la convection, des reactions chimiques, des forces massiques et du gradient de la pression moyenne sont obtenus directement sans approximations. Il ne reste qu'a modeliser les termes de diusion moleculaire (qui font intervenir la dissipation scalaire) et du gradient de pression uctuante. Le prix a payer est le formalisme lourd de l'ecriture des equations et le temps de calcul necessaire pour les resoudre.

Dans le document Modélisation de l'auto-inflammation et de la combustion pour les moteurs Diesel (Page 42-47)