ETUDE DE LA CAPTURE ELECTRONIQUE

des nucléons et des ieptons

2) ETUDE DE LA CAPTURE ELECTRONIQUE

a) PROBABILITE DE TRANSITION.

Nous écrirons les relations II-14a et II-14b [4l] sous la forme sui vante:

^ 3>^(R^ «P* (11 O^ O^ I (!■, Fp 4>.(R) dR (190’)

avec

l(R,r^) = j (p*£ (F^)<P • (F^, Ri dr^ (l9l)

Le facteur p représente la densité des états d'énergie du neutrino que nous allons représenter par une onde plane.

Soit donc:

cp^(Rl~exp. (i P ^ R) (192) et

W = P c . V V

-de désintégration, dans l'état initial (proton)et dans l'état final (neutron). Les énergies correspondantes sont et respectivement.

Dans l'établissement de la relation (190'), il a été considéré un atome de nombre atomique Z dans l'état initial. Les coordonnées d'espace et de

spin des Z électrons de la couronne ont été désignées par r , r , r _ X 2 /Il f

F désigne l'ensemble de toutes ces coordonnées. Il a été de plus supposé que l'électron atomique de coordonnées r^^ a subi la transformation électron—► neutrino.

Ainsi, les opérateurs et Oi qui entrent dans la constitution de l'Hamiltonien d'^interaction 8 opèrent sur les fonctions d'onde du nucléon et de l'électron 1 .

La fonction tp^(F) représente l'état des Z électrons gravitant dans le champ du noyau de l'atome initial, dont l'énergie (fondamentale) est égale à . Les coordonnées y ont été remplacées par celles du nucléon con sidéré . r^ désigne l'ensemble des coordonnées des Z - 1 autres électrons de l'atome.

(p f(F^) représente l'état des (Z - l) électrons gravitant dans le champ du noyau résiduel. Nous désignerons leur énergie par . Du fait de la captu re, il y a une vacance dans une couche profonde du cortege électronique et tous les aufres électrons se trouvent après désintégration dans le même état quantique si le phénomène d'autoionisation ne s'est pas manifesté. Si, par contre, le phénomène d'autoionisation s'est manifesté, l'un de ces électrons

a été projeté dans une couche plus extérieure ou hors de l'atome.

L'expression (190*) de la probabilité de transition n'’est valable que si la relation suivante est satisfaite:

ou W . + W . = W , + W*. + W ni ei nf ef V W = W + (W , - W . + m c® ) - m c® + (W*^, nf V ' ef ei ' ' ef ■(193) W^^(194)

Wef représente l'énergie de (Z - 1) électrons de l'atome résiduel dans l'état fondamental. Le second terme du second membre de (194) est égal, à l’énergie de liaison du Z® électron près, à la différence des énergies fondamentales du cortège électronique dans l'état initial et dans l'atome rési duel. La différence (W^£ - W^^) que nous désignerons par ÛWg£ représente l'énergie d'ionisation de l'atome résultant de la capture électronique.

D'où, en désignant par la quantité d'énergie disponible que l'on re trouve sous forme d'énergie cinétique du neutrino et d'énergie d'ionisation de l'atome résiduel:

-= W + aW . (195)

O V ei

Si l'on envisage la capture d^qn électron particulier de l'atome initiai, cette relation doit être satisfaite pour tout état f tel que reste positif.

1 *) Détermination d'une forme approchée de I(R r()

La détermination des fonctions d'onde représentatives d'un ensemble d’électrons interagissant ensemble dans le champ du noyau étant un problème pratiquement insoluble, on adopte généralement l'approximation qui consiste à remplacer ces fonctions par une somme (antisymétrique) des produits de fonctions d'ondes individuelles. Celles-ci décrivent chaque électron considé ré dans le champ moyen du noyau et des autres électrons de la couronne.

Nous écrirons donc la fonction d'onde <p.(R , r' ) sous la forme suivan te [41]:

-i- 2 u^(r)U^(F')

s s (

196

)

Z Z

U ^ , U , ... U représentent les fonctions d'onde attachées aux divers

élec-2 /a

trons de l'atome initial dans l’état fondamental. Elles sont normées à l'unité. U. U représentent les mineurs, multipliés par le facteur 1

donc normés à l'unité, des fonctions d'onde u^ minant suivant: D. = 1 u^(R) U, U dans le déter- Z (197)

On peut aussi écrire:

<P . = D. (198)

-une vacance dans l'état représenté initialement par la fonction d'onde , D'autre part, nous supposerons que le phénomène d'autoionisation, s'il se manifeste, fera subir à l'électron initialem.ent dans l'état représenté par la

fonction d'onde u , une transition vers un état représenté par la fonction

Z _ 1 Z Z

d'onde Ug de nombre quantique n différent. Aux états initiaux u^, u^.,

Z J . 1 Z-i Z-i Z-i ,

U correspondront les états finaux u , u , ... u caractérisés par les mêmes nombres quantiques correspondants.

Construisons un déterminant analogue à celui écrit en (197), au moyen des fonctions d'onde finales;

D, Z -1 ,— > u u ,Z-i 2 ,Z-1,-(R) . (Fg) Z - 1 u„ (R) Z - 1 V ^^z^ (199) Z -1 —

La fonction d'onde 9£(r^) de (191) s'identifie avec (r^ ) dé fini comme ci-dessus.

D'où:

I (5-,? ) = ^ (R) j (Fp . (T') dF' (200)

Arrivé à ce stade du développement, nous examinerons deux cas sé parément.

2*) Seul le phénomène de capture électronique se manifeste. Z Z -1

On pourrait montrer, en explicitant les mineurs U et U et en ^ 1 ® ^

négligeant des termes au plus de l'ordre de — , que les intégrales Z

r ■ z-i*" Z

-92

r Z ^ Z —

et à \u g ' (rg) U J (Fg ) drg .que nous représenterons par < s | 1 >, lors

que s 1 (202)

Dans ce dernier cas, elles sont de l'ordre ou nulles si les

nom-^ Z -1

bres quantiques , m et o (spin) qui caractérisent les fonctions u et

Z , ®

u^ sont tous égaux ou non.

En ne retenant pour l'instant que le premier terme de (200). l(R,rJ) se réduit à :

l(R,r ) = u^(R) " Vz "

(203)

à des termes en — près. En introduisant I (î?, r^ ) dans (190*), nous obte>

nons: Z

\ 2 U 2

<Pif>c " TT 8 ^ n 1 ^t.-TO^8R ⁽²⁰⁴⁾

que nous écrirons plus simplement:

< V I O I 1 > (204)

(l'indice c indique que seul le phénomène de capture électronique s'est manifesté).

Les termes négligés dans (200) expriment les effets d'échange les plus importants. Nous les estimerons plus loin (paragraphe c").

3*) Cas où le phénomène d'autoionisation se manifeste.

Z -1 Z Nous supposerons les fonctions d'onde individuelles u'g et Ug définies par des nombres quantiques n différents et des nombres quantiques

, m et a tous égaxix. On peut montrer, en explicitant les mineurs

(^') et que les intégrales | (r ' ) dr' qui figurent dans (200) sont égales à

(fa) «3 < 2' i 2 > ^{pour s = 1} ⁽²⁰⁵⁾

et à

-<2*1 2 > . < s 1 1 > + < s I 2>< 2 ' I 1 > pour s 1

et 8^ 2 (207) à des termes de l'ordre de l/Z près.

D'où, en ne retenant que le terme pour lequel s = 1 dans (200), nous obtenons:

^ ^ c+a n ^O1 1 ' ' i' '^U^{CR)4>.(ÏÏ^ dR} c+a

(r ) dr

' 3 ' 3 ⁽²⁰⁸⁾

que nous écrirons simplement: 2 n

'^if>c+a

C+a

< V i O I 1> 1^ .

1<

1

2>|® C+a

(L'indice c + a indique que le phénomène d'autoionisation s'est mani festé avec la capture électronique).

Par la présence du dernier facteur dans le second membre de (208), (Pj£)^^^g^ est de l'ordre de l/Z par rapport à •

Pour être complet, nous devrions considérer les cas de capture élec tronique où le phénomène d'autoionisation intéresse au moins deux électrons atomiques. Compte tenu des considérations p^j,é^^ntes, on voit aisément que les probabilités correspondantes sont au ^us'»^ l/Z^ par rapport à (P^^)^^^ (208), Il est ainsi sans intérêt de les considérer ici.

b) PROBABILITE DU PHENOMENE D'AUTOIONISATION PAR CAPTURE ELECTRONIQUE.

La prpbabilité totale de désintégration avec capture d'un électron par ticulier du cortège de l'atome instable est égale à la somme 1) de la proba bilité (Pif)c pour laquelle tous les autres électrons du cortège sont restés dans le même état quantique que dans l'état initial 2) des probabilités

(Pj£)^_j^^ pour lesquelles un de ces électrons a subi une transition de l’état initial u^ vers l'état final \i'J^ ^ , la relation d'énergie (195) étant satis faite, et 3) des probabilités pour lesquelles l'autoionisation intéresse au ^moins deux électrons atomiques.

-A des termes de l'ordre de l/Z près, la probabilité totale de cap ture électronique se confond avec la probabilité (P.,) (204).

IX c

La probabilité d'autoionisation, par désintégratmn. correspondant à la transition u. U, Z. -1

est ainsi égale au rapport

wi

^c+a _{que nous dé}

signerons par . En reprenant les notations du Chapitre II, nous dési gnerons. < 2' I 2 > par < n | k > ou D'où, de (204) et de (208): r f i 1 U U, J n K ^dT ^(209). c+a ^<v ^1> c+a kn 1< V I 0 I 1 > < n I k > I (210) P étant égal à W O J, 3 3 2 IX h c (211) la teiation (210) devient; (W )*'^ ' V 'c+a ^{< V j 0 1 1 >} c+a kn

(WJJ I < .V I 0 I 1 >

^{n I k >} ⁽²¹²⁾

Dans la relation d'énergie (195) le terme est égal à l'énergie de liai son (- Ej) (non relativiste) de l'électron capturé, lorsqu'il n'y a pas autoio nisation.

On a donc:

(Wjc=^o + ^i

Lorsqu'il y a autoionisation, vaut:

(- E^) + (E^ - E^) (214)

et l'on a, de (195) et de (213):

(W ) ^ = (W ) - (E - E, ) V c+a V c n x

E^^ et Eli; étant les énergies des états représentés par les fonctions ,Z-i,f. Z-i,fv

U3 3 respectivement.

Dans le cas des transitions permises, la contribution essentielle à la probabilité de capture électronique vient du premier terme du développe ment en série de puissances de (p^ R^) de la fonction d'onde (192) soit 1 ;

^ ''

I ® 1 ^ ^ I

ç.^a, alors avec 1 ^ | 0 j 1 >

1

et nous avons: kn

E " E, 2

= - -7ur -J—) I 1

_TW (216)

V c

Si conformément aux règles de sélections régissant le phénomène de capture électronique, le second terme du développement de la fonctiond’on de (192) donne la contribution principale, j < v | 0 | 1 > |^ sera proportion-nel à et* l'on aura dans le cas d'une transition premièrement interdi te:

£j • E

et ainsi de suite pour les différents degrés d'interdiction.

Au Chapitre II, nous avions obtenu pour expression de la probabilité d'autoionisation:

ou I < n I k > I . (218)

Dans le second membre de (7C^, le terme du à l'effet de recul est né gligeable et le troisième terme n'est pas à considérer dans le cas de la capture électronique.

f ♦ 1 ,

U U, dx n k

Le résultat obtenu ci-dessus pour une transition permise (216) diffè re de

En - Ej^ 3 .

re de (218) par la présence du facteur (l--- TüTI—^ * lequel, étant < 1, a pour effet de réduire la probabilité d'autoionisation établie par la théorie simplifiée.

Cependant, dans la grande majorité des cas pratiques, la réduction de la probabilité totale d'autoionisation exprimée par l'intégrale

( <'^v)c+Ek

J ^kn insignifiante. En effet, l’énergie* (W^ ) est générale-O

ment grande par rapport aux énergies E et D. et le facteur ci-dessous est pratiquement égal à l'unité pour des valeurs de E^ de l'ordre de E^ . Ainsi que le montre la figure 1 de la réf. [2] , le spectre des électrons K éjectés par autoionisation (il en est de même des autres électrons

atomi_ 96

-que s) qui se détermine par le second facteur de (216) possède une intensité négligeable dès que l'énergie En devient supérieure à un petit multiple de Ej^ . Il en résulte que le facteur (1 ^{n k ^ ^}

Tw T’ '_{' V c} ^{ne modifiera pas la forme} du spectre d'une façon sensible et la probabilité totale d'autoionisation sera pratiquement conservée.

Si par contre, l'énergie (W^ est du meme ordre de grandeur que E et E{^ , la réduction de la probabilité d'autoionisation n'est plus né gligeable et est d’autant plus accusée que l'énergie est faible.

La figure 16 montre dans le cas de la capture K (transition permise), par la courbe en pointillés, comment il modifie le spectre défini par le se

cond facteur de (216) (courbe en trait plein)* (W^ )^. ^ été choisi égal à 3 Ej^. Nous voyons que dans ce cas, la probabilité totale d'autoionisation repré sentée par l'intégrale de la courbe en pointillés est fortement réduite par'rap port à celle qui correspond à la courbe en trait plein.

c) ESTIMATION DES EFFETS D’ECHANGE.

Nous avons négligé plus haut les effets d'échange en remplaçant dans (190') l(1Tï^ ) par le premier terme de (200). Nous allons les estimer ici dans le cas des transitions permises.

1*) Seul le phénomène de capture électronique se manifeste.

Nous introduisent l'expression complète de I ( R„ r') (200) dans ^ *

(l9Cf). Tenant compte de (201) et (202), nous obtenons, à des termes de l'or dre de -g- près;

<vl0ri>+2 <v

i ^{0|i> . } ⁽²¹⁹⁾

Le premier terme de (219) est identique à (204). Les termes suivants expriment les effets d'échange les plus importants. Ils correspondent cha cun à la capture d'un électrdn initialement dans l'état u? et à la transition

, , Z ^ Z -1

simultanée d'un second électron de l'état initial u vers l'état u. de l'atome résiduel.

De (219):

i<v|oii>i". i<i| i>i% termes croisés I (220)

-Lorsque les règles de sélection sont satisfaites, j < v j Oj i> est proportionnel à la prohabilité de présence dans le noyau, de l'électron qui

se trouve dans l'état u. . Considérons alors la capture d'un électron K .

^ Z

Dans ce cas, la fonction d'onde u^^ représente un état 1 s . Dans la som me 2.. de (Z20), figure le terme correspondant au second état 1 s de

^ ^ ^ 2

l'atome. Il est nul par le facteur j | , du fait de l'orthogonalité des fonctions d'onde qui le déterminent.

Les facteurs [ < v | 0 [ i > |^ correspondant à des états i caracté risés par n > 1 , par -^ = 0 et par la même valeur de spin que Pétat 1 s représenté par u^^ , sont tous inférieurs à | < v [ 0 j 1> (8 fois plus petit environ lorsque i représente un état 2 s) et de plus sont multipliés par le facteur j 1^ » lequel est dans ce cas de l'ordre de — . Les autres termes de la somme 2 sont tous nuis par le fait de ce dernier fac teur.

Il en résultera donc que la somme z , de même que les termes croisés dans (220) seront négligeables à côté de j < v j 0 | 1 > | et l'ex pression (220) de (Pf)j. se réduit à celle que nous avions écrite en (204).

re K

Les ^ffets d'échange sont ainsi négli;,^eables dans le cas de la

captu-Pour des valeurs de Z suffisamment élevées, ils le sont également dans le cas de la capture des électrons L , donc dans le cas où la fonction

d'onde u ^ décrit un état 2 s ou un état 2 p ,

Lorsque u^ décrit un état 2 s (contribution essentielle à une transi tion permise), les termes de la somme 2 dans (220) pour i

correspon-i> 1

dant à des états caractérisés par n > 2 et par la même valeur de ^ » de m et du spin, sont négligeables pour les mêmes raisons que ci-dessus. Les autres (avec n ;^2) sont tous nuis. Pour i correspondant aux deux états

1 s , le facteur | < v | Oj i > j3 est environ 8 fois plus grand que

j < V 1 0 I 1 > I , maïs il est multiplié par le facteur | | ® lequel est nul si l'état 1 s a le spin opposé àmelui de l'état 2 s considéré, ou de l'ordre de -i— si ces deux états ont le même spin. Dans ce cas donc, la

Z® somme E

i>i

dans (220) peut être négligée pour des valeurs de Z pas trop •J

petites (Mme Benoist [4l]aétabli dans le cas du Be (Z = 4) que les effets d'échange sont négligeables pour la capture K mais non pour la capture L. Dans ce dernier cas, ils s'élèveraient à environ 50 % de la probabilité d'au toionisation exprimée par (Z04_), ce qui est en accord avec nos conclusions:

. 98

-(8 — = 0, 50) . Z®

Remarquons qu'il n'y a dans le Be que les deux électrons 1-s donner des effets d'échange appréciables),

Z , , *

Lorsque u décrit un état 2 p , les termes de la somme i désignant les états 1 s sont nuis. Les autres termes de cette sont tous négligeables comme ci-dessus et l'expression (220) de

2 pour i>l ^

somme (Pif) se réduit à celle que nous avons écrite en (204) où il n'a pas été tenu compte des effets d'échange.

Le cas de la capture d'électrons plus extérieurs ne sera pas examiné ici, étant donné que la probabilité correspondante est négligeable à côté de la probabilité de capture des électrons K et L ,

2 •) Cas où le phénomène d'autoionisation se manifeste.

Introduisons l'expression complète de l(R,r^ ) (200) dans (190‘). Compte tenu de (205) et de (206), nous obtenons, à des termes de l'ordre de 1/Z près: (en remplaçant 2 par k et 2* par n pour reprendre les notations du Chapitre II).

^^if^c+a Pc+a 1 < ''l 0 llX n]k> + < vlOjk X njl > + (221)

Z 3

ila <v|0|i> [<ijl>< njk>+<n|l><ijk>]j

Le premier terme entre les barres verticales correspond à la capture Z

de l'électron dans l'état u et à la transition simultanée d'un second élec tron de l'état u^ (uf ) vers l'état u'_^ ^ (u^ ) .

Le second terme correspond à la capture de l'électron dans l'état

i. Z !Zi X f

u_ (u, ) et à la transition simultanée de l'état u vers l'état u' (u ) . Les termes suivants correspondent à une capture et à deux transitions simul tanées, Ils sont de ce fait négligeables à côté des deux premiers.

Aux termes croisés près, nous écrirons donc:

[|< “loi 1> 1° l< r + l<v|0|k>|"|< n|l>|=](222)

Les effets d'échange se traduisent essentiellement par le second terme entre crochets de (22 2).

-Envisageons le cas de la capture K et autoionisation dans la couche K, Les deux ternnes de (222) ne peuvent être sinnultanément différents de zéro. Dans ce cas donc, les effets d'échange sont négligeables.

La façon selon laquelle le problème de la capture K avec éjection du second électron K de l'atome radioactif a été traité par Primakoff et Por ter [17] se justifie ainsi. Ces auteurs ont négligé les effets d'échange en ne tenant pas compte dans le système entier participant à la désintégration de la présence des autres électrons du cortège. Seuls étaient considérés l'en semble des nucléons du noyau et les deux leptons: les deux électrons 1 s dans l'état initial et l'un de ces électrons et le neutrino émis dans l'état fi nal, Les deux électrons étaient représentés par une fonction d'onde dépen dant de leurs coordonnées et tenant compte d'une façon approximative de leur interaction coulombienne de l'effet d'écran qu'ils exercent mutuel lement l'un sur l'autre.

Les auteurs cités ont déterminé la probabilité totale de trouver une vacance dans la couche K comme étant la somme des probabilités de tou tes les transitions possibles conduisant à des états finaux dans lesquels existe au moins une vacance K . Nous ferons remarquer à ce sujet que le passage de la relation (12) aux relations (l3a) de leur travail [l?] implique nécessairement que l’élément de matrice [ M.E )] (leurs notations), qui est à comparer avec celui qui intervient dans (204) et qui contient le fac teur cp* ou exp (i r) dépend peu de p^ , ce qui ne peut s'admettre que dans le cas d*une transition permise. L'exponentielle ci-dessus se rempla ce alors par l'unité.

Si nous négligeons les effets d’écran et d'interaction mutuelle pour les électrons K ( y=0 dans réf. [l?] ),la probabilité totale, par capture K , d'avoir une double vacance dans la couche K , exprimée par la relation (17a) de la référence [l7] est équivalente, à l’approximation 1/Z , à cel le exprimée ci-dessus par la relation (216), applicable au cas des transi tions permises.

Dans les autres cas, d'une manière générale, les deux termes de (222) seront différents de zéro lorsque l'électron capturé est caractérisé par les mêmes valeurs des nombres quantiques m , -f et a que l'élec tron éjecté par autoionisation.

Prenons l'exemple de la capture K avec autoionisation dans la cou che L . Les effets d'échange ne seront pas négligeables pour l'électron 2 s caractérisé par la même valeur de spin que l'électron capturé. Les deux termes de (222) sont en effet du même ordre de grandeur.

Si, du point de vue expérimental l'on ne fait pas la distinction entre les électrons 2 s et les électrons 2 p , la probabilité de capture K avec autoionisation dans la couche L s'obtiendra en faisant la somme sur tou tes les quantités considérées non observables.

- 100-v|0 | ls>|^ + 4|<vlo |ls>l®

+|<v|ol

ks>|^ 1 < ns I ks > I * 1 < np Ikp > I ^ 1 < ns 1 1 s > (223) trons ge.

Le résultat est à multiplier par 2 pour tenir compte des deux élec- 1 s . Le dernier terme entre parenthèses exprime les effets

d'échan-La probabilité, par capture K , d'autoionisation dans la couche L , sera obtenue en divisant membre à membre la relation (223) par la relation (204), Ce qui donne: kn (p) ( ■ (p j 2|<ns(ks>l'^ + 4 l<np|kp>l^ j^l<v|0|2s>l^ ,, 1 < V I 0 1 1 s > I ' (224) 4

(Rappelons que ks et kp sont mis pour 2 s et 2 p respectivement). Dans le dernier terme entre parenthèses, le facteur | ^ ^ | 0 [ 2 s > j—

1< v| 0 jl s >

égal au rapport des probabilités de présence des électrons 2 s et 1 s dans le noyau. Il vaut approximativement l/8 . Nous basant alors sur les résul tats des calculs effectués dans le cas de l'émission p par Levinger [2] , l'importance relative du troisième terme entre parenthèses de (224), qui ex prime les effets d'échange, est de l'ordre de 0,02 par rapport aux deux_pre- miers. Dans ce cas, les effets d'échange sont petits, de l''ordre du pourcent.

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 88-100)