Plusieurs m´ethodes sont propos´ees pour la d´etection. Certaines recherchent un gabarit dans le signal temporel, d’autres combinent forme et fr´equence.
8.2 Les m´ethodes de d´etection 113
Mais aucune m´ethode efficace n’est bas´ee sur l’analyse de Fourier. En effet, les transits sont des ´ev´enements brefs, leur faible ´energie se r´epand donc dans une large gamme de fr´equences dont aucune n’a tendance `a ´emerger du bruit. Comme l’explique Bord´e (2003) seul ' 7% de l’´energie d’un transit de dur´ee analogue `a celui de HD 209458 b se trouve `a la fr´equence du fondamental.
La m´ethode de corr´elation est la m´ethode la plus classique. Elle est optimale au sens du maximum de vraisemblance pour un signal en pr´esence de bruit Gaussien additif non corr´el´e. Il s’agit de calculer la valeur de la corr´elation :
ρ =X
t
s(t)x(∆f, d, T, t + φ)
entre le signal observ´e s(t) o`u t est un temps discret, et un gabarit multi-transit de r´ef´erence de mˆeme longueur `a quatre param`etres x(∆f, d, T, φ), ∆f ´etant la profondeur, d la dur´ee, T la p´eriode et φ la phase `a tester. Il s’agit d’essayer toutes les valeurs possibles de ∆f, d, T, φ, le jeu le plus probable ´etant celui qui maximise ρ. On voit que le nombre des combinaisons est tr`es ´elev´e, mais on peut le r´eduire par les consid´erations suivantes :
– ∆f n’a pas besoin de varier, la multiplication par une constante ne change pas les valeurs optimales pour les autres param`etres, on choisit donc ∆f = 1, – On calcule la corr´elation pour toutes les valeurs de φ en une seule op´eration
`
a l’aide de la transform´ee de Fourier discr`ete (TFD). En effet, la TFD de la corr´elation vue comme une fonction de la variable φ peut s’´ecrire :
TF D " X t s(t), x(t + φ) # = S∗.X (8.1)
o`u S, resp. X sont les transform´ees de s, resp. x, et ∗ d´esigne le complexe conjugu´e. La phase optimale ˜φ est donc la phase qui maximise :
TF D−1(S∗.X).
– La quantit´e de calculs se trouve r´eduite pour les autres param`etres ce qui permet d’utiliser un maillage suffisamment serr´e pour d et T , apr`es avoir contrˆol´e que les pics de d´etection tol`erent la largeur de maille souhait´ee.
Cette m´ethode n’est optimale que dans le cas Gaussien, mais un filtrage pr´ealable des courbes de lumi`ere permet d’att´enuer les bruits trop ´eloign´es de cette hypoth`ese. Cette m´ethode est fr´equemment nomm´ee “filtre adapt´e”, duquel elle n’est en fait qu’un cas particulier (Defa¨y 2001).
114 Enonc´´ e des contraintes.
Dans le cas o`u chaque point poss`ede son propre ´ecart-type σ(t), le filtre adapt´e s’´ecrit :
ρ =X
t
s(t)x(t) σ2(t) .
Le cas le plus g´en´eral du filtre adapt´e est optimal pour les bruits corr´el´es. Une litt´erature abondante s’y rapporte (voir par ex. Kay (1998)). Il exploite les corr´elations internes du bruit et s’´ecrit :
ρ = x
tR−1s √
stR−1s
o`u R−1 est l’inverse de la matrice d’autocorr´elation du bruit (suppos´e centr´e). On suppose pour simplifier qu’on peut se ramener au cas o`u R est inversible. Pour percevoir le rˆole de R, pla¸cons-nous dans la base orthogonale de ses vecteurs propres (on a vu au §6.4.3 que R ´etait sym´etrique, d´efinie et positive). Dans ce cas R−1 est la matrice
R−1 = σ−21 0 · · · 0 0 σ2−2 ... .. . . .. ... .. . ... σ−2 n
o`u σi est `a pr´esent l’´ecart-type suivant le i`eme vecteur propre. L’expression de ρ ´equivaut alors `a : ρ = Pxisi σ2 i q P s2 i σ2 i
les xi, resp. si ´etant les coordonn´ees de x, resp. s dans cette base. C’est-`a-dire que les entit´es compar´ees ne sont plus les points de mesure (qui sont des quantit´es interd´ependantes), mais leurs combinaisons lin´eaires (qui elles, sont ind´ependantes). Dans notre cas, la difficult´e est de choisir une matrice R qui soit bien repr´esentative du bruit. On peut songer `a s’aider d’une classification des courbes de lumi`ere par types spectraux ou par similitudes du bruit.
Pour les plan`etes tournant autour d’´etoiles doubles analogues `a CM draconi, les conformations de gabarits d´ecrivant les trois corps sont tr`es nombreuses. Jenkins et al. (1996) a ´etudi´e dans ce cas l’usage du filtre adapt´e.
De leur cˆot´e, Deeg et al. (1998) ont pris en compte la variabilit´e atmosph´ e-rique suivant la quantit´e d’atmosph`ere travers´ee en construisant un profil de
8.2 Les m´ethodes de d´etection 115
pond´eration estim´e `a partir de nombreuses observations.
Suivant une approche diff´erente, la m´ethode Bay´esienne de Defa¨y et al. (2001) estime la forme du transit `a partir de 7 harmoniques. Le fondamental le plus probable est obtenu par le maximum de vraisemblance. Aigrain & Favata (2002) utilisent ´egalement une approche Bay´esienne du probl`eme.
Une autre classe de m´ethodes combinent de mani`ere constructive le facteur de forme et de p´eriode. Le “Box Least Square” (BLS) propos´e par Kov´acs et al. (2002) commence par replier la courbe de lumi`ere sur elle mˆeme `a une p´eriode arbitraire T puis calcule la ressemblance entre la courbe repli´ee et un transit de r´ef´erence choisi rectangulaire. La nouvelle courbe x(t), i = 1, 2, . . . , n est constitu´ee de super-points regroupant les points initiaux en co¨ıncidence. Un super-point xi est affect´e du poids :
w(t) = " σ2(t) Pn j=1σ2(j) #−1 .
o`u σ(t) est l’´ecart-type des points constitutifs du super-point t. L’utilisation d’un gabarit rectangulaire permet de calculer ˜L la profondeur optimale du transit, directement `a partir des donn´ees ce qui fige l’un des param`etres libres, les autres ´
etant d, T et φ. ˜L est calcul´ee avec les points internes au transit par :
˜
L = P wixi P wi
On reconnaˆıt l’expression de leur barycentre. L’algorithme explore l’espace des param`etres apr`es avoir d´etermin´e le maillage optimal. La ressemblance avec le gabarit est ´evalu´ee par un test de χ2. Cette m´ethode `a ´et´e employ´ee avec succ`es dans le cadre de l’exp´erience OGLE. Tingley (2003b) note une correspondance de formulation entre le BLS `a base de χ2 et le filtre adapt´e.
Pour leur part, Aigrain & Irwin (2004) utilisent une approche similaire avec un gabarit en cr´eneau dont ils calculent le χ2 aux courbes repli´ees. Ils effectuent un lissage pr´ealable destin´e `a uniformiser le niveau moyen local de la courbe avant repliement et utilisent une pond´eration ad´equate des points dont la mesure ne tombe ni enti`erement dans le transit, ni enti`erement en dehors.
D’une mani`ere g´en´erale, quand les transits deviennent faibles il faut pousser la sensibilit´e en modifiant un seuil, pour continuer de les d´etecter. Mais cette op´eration s’accompagne d’une croissance rapide des fausses d´etections. Les m´ethodes ´evoqu´ees sont d’autant plus efficaces qu’elles op`erent sur des courbes d´ebruit´ees. Par exemple les variations `a long terme dues `a l’activit´e stellaire
116 Enonc´´ e des contraintes.
peuvent avoir une amplitude sup´erieure `a celle des transits, risquant d’oblit´erer les donn´ees dans les courbes repli´ees.