M´ethodes d’estimation

Dans cette sous-section, le mod`ele empirique (2.16) sera estim´e `a l’aide d’un estimateur ”within” (mod`ele `a effets fixes) et d’un estimateur GMM adapt´e au panel dynamique. L’estimateur ”within” est utilis´e `a titre indicatif comme base. Par construction, il n’est pas adapt´e pour l’estimation des panels dynamiques. J’y reviendrais dans la suite du document.

2.3.2.1 Panel dynamique avec des effets fixes individuels et temporels

Cette sp´ecification utilise la transformation ”within” pour contrˆoler h´et´erog´en´eit´e non

observ´ee et invariante dans le temps25_{. Toutefois, dans un mod`ele dynamique, la trans-}

formation ”within” cr´ee par construction un biais du coefficient de la variable endog`ene retard´ee puisqu’elle conduit `a une corr´elation syst´ematique entre tous les retards de la variable endog`ene et les erreurs retard´ees (Nickell, 1981). Lorsque le nombre de p´eriodes est tr`es grand et le nombre de pays est petit, les estim´es des coefficients des retards de la variable endog`ene et les autres coefficients sont consistants. Par contre, ils sont tous

biais´es lorsque le nombre de pays est tr`es large26 _{et le nombre de p´eriode pays (Smith et}

Fuertes, 2016) comme c’est le cas dans la pr´esente recherche. Donc dans cette recherche le mod`ele ”within” sert d’estimation de base et je m’appuierais sur les estimations de type GMM pour l’analyse.

25. Elle soustrait pour chaque individu la moyenne des variables des deux cˆot´es d’une ´equation `a estimer. Tous les facteurs fixes sont automatiquement supprim´es puisqu’ils sont ´egaux `a leur moyenne

26. Le biais de Nickell encore appel´e biais des conditions initiales demeure quelque soit la taille de l’´echantillon lorsque le nombre de p´eriode est petit. Ce biais d´ecroˆıt de mani`ere lin´eaire avec la dimension temporelle avec un ordre d’approximation inversement proportionnel au nombre de p´eriode.

2.3.2.2 Estimation par la m´ethode des moments g´en´eralis´es

Le biais le plus pr´eoccupant dans un mod`ele de panel dynamique est celui qui affecte le coefficient (ρ) de la variable endog`ene retard´ee (Judson et Owen, 1999). J’utilise les variables instrumentales internes (Blundell et S. Bond, 2000 ; Blundell, S. Bond et Wind- meijer, 2001 ; S. R. Bond, 2002) pour traiter les probl`emes d’endog´en´eit´e dans l’esti- mation du mod`ele 2.16. Deux variantes de cette approche, les M´ethodes des Moments

G´en´eralis´es en Diff´erence (GMM-Diff)27 _{(Arellano et S. Bond, 1991) et les M´ethodes}

des Moments G´en´eralis´es en Syst`eme (GMM-Sys) (Blundell et S. Bond, 1998) sont les plus popularis´ees, notamment en raison du fait qu’elles d´emontrent que les instruments dits internes sont capables de r´esoudre le probl`eme d’endog´en´eit´e dans les Mod`eles de Panel Dynamique (DPM) (Roodman, 2009). Les premi`eres diff´erences des retards de la variable endog`ene sont les instruments de l’´equation en diff´erence et les retards de la variable endog`ene sont les instruments de l’´equation en niveau (Arellano et Bover, 1995). Lorsque la variable endog`ene suit un processus autor´egressif stationnaire d’ordre 1, les retards de la variable endog`ene diff´erenci´ee deviennent des instruments faibles pour la variable endog`ene diff´erenci´ee retard´ee d’ordre 1 (Arellano et Bover, 1995). Dans ce cas, l’estimateur GMM-Diff est largement biais´e et tr`es impr´ecis (Blundell et S. Bond, 1998). L’approche GMM-Sys est une combinaison de l’approche GMM appliqu´ee `a l’´equation en diff´erence et la mˆeme approche appliqu´ee `a l’´equation en niveau. Elle permet de corri- ger la faiblesse des instruments de l’approche GMM-Diff lorsque les variables suivent un processus autor´egressif stationnaire d’ordre 1. Pour y parvenir, elle ajoute aux conditions 27. Le mod`ele en premi`ere diff´erence propos´e par Anderson et Hsiao, 1981 fait aussi disparaˆıtre les effets fixes individuels comme l’estimateur winthin. En plus, il permet d’´eviter la corr´elation syst´ematique g´en´er´ee entre les variables endog`enes retard´ees et les termes d’erreurs lorsque l’´equation 2.16 est estim´ee par la m´ethode des effets fixes. Toutefois, le terme d’erreurs qui en d´ecoule suit un processus autor´egressif stationnaire d’ordre 1 et est corr´el´e avec la variable endog`ene diff´erenci´ee retard´ee d’ordre 1. Pour r´esoudre cette endog´en´eit´e, les retards d’ordre 2 et plus de la variable endog`ene diff´erenci´ee retard´ee sont utilis´es comme instruments de la variable endog`ene retard´ee. Arellano et S. Bond, 1991 fournissent une extension de ce mod`ele en prenant en compte toutes les conditions potentielles d’orthogonalit´e. En effet, le vecteur des instruments peut int´egrer les valeurs retard´ees de la variable endog`ene diff´erenci´ee, des regr´esseurs endog`enes, des regresseurs pr´ed´etermines et des regresseurs exog`enes.

initiales d’identification28_{, les conditions de moments suppl´ementaires n´ecessaires pour}

garantir la stationnarit´e en moyenne du processus g´en´erateur de la variable d´ependante (Blundell et S. Bond, 2000 ; Blundell, S. Bond et Windmeijer, 2001).

Pour rendre compatible mon analyse avec les processus g´en´erateurs des donn´ees des

variables d’int´erˆet, j’utilise la m´ethode29 _{GMM-Sys pour estimer les r´egressions de la}

mortalit´e infantile et de l’incidence du VIH et la m´ethode GMM-Diff pour la r´egression de la mortalit´e maternelle. En effet, la table A.5 montre qu’au seuil de 10%, on ne peut pas rejeter que la mortalit´e des enfants de moins de 5 ans et l’incidence du VIH suivent

un processus autor´egressif stationnaire30 _{d’ordre 1. Pour les mˆemes raisons, Mishra et}

Newhouse (2009) utilisent ´egalement l’estimateur GMM-Sys pour la mortalit´e des en- fants de moins de 5 ans. Puisque les conditions initiales n´ecessaires pour la validation des instruments des approches GMM-Diff et GMM-Sys reposent sur l’hypoth`ese d’absence d’autocorr´elation s´erielle d’ordre 2, j’utilise comme instruments, les 3`eme_{, 4}`eme<sub>, et 5</sub>eme`

retards de la variable endog`ene et le second retard des autres variables cl´es du mod`ele et teste ensuite cette hypoth`ese de mˆeme que la validit´e des restrictions de suridentifica- tion. Finalement, j’estime l’´equation 2.16 grˆace `a la proc´edure en deux ´etapes ”two-step” d´evelopp´ee par Windmeijer (2005) qui corrige les erreurs de variance pour les ´echantillons de petites tailles.

28. voir Arellano et Bover, 1995 ; Blundell, S. Bond et Windmeijer, 2001 pour plus de pr´ecision. 29. Pour quelques ´etudes utilisant l’approche GMM-Sys avec plusieurs indicateurs de mesure de la sant´e, voir par exemple Afridi et Ventelou, 2013 ; Mishra et Newhouse, 2009 ; Yogo et Mallaye, 2015 ; Ziesemer, 2016

30. La table A.5 (annexe A) pr´esente les estimations du mod`ele ARIMA(1,1,0) de la moyenne des variables cl´es. Le premier argument de ce mod`ele repr´esente la composante autoregressive, le deuxi`eme argument repr´esente l’ordre d’int´egration et le troisi`eme argument repr´esente la composante moyenne mobile. Une variable al´eatoire ytest g´en´er´ee par un processus ARIMA(1,1,0) si et seulement si sa premi`ere

diff´erence ∆yt= yt− yt−1 suit un processus autoregressif d’ordre 1, c’est `a dire ∆yt= constante +