Etendue d’un objet par consid´eration de ses points singuliers

la position de certains de leurs points (par exemple leurs extr´emit´es) les caract´erise as-sez pr´ecis´ement. En particulier lorsque les trac´es sont rectilignes ou en arc de cercle, la connaissance de leurs extr´emit´es peut fournir une description satisfaisante de leur ´etendue.

L’avantage de se concentrer sur des points particuliers est que l’objet n’est plus vu comme un nuage de points projet´e ind´ependamment selon les points de vue. Au contraire, les points particuliers sont d´ecrits un `a un, selon tous les points de vue `a la fois. Pour ˆetre en bonne ad´equation avec le mod`ele d’´etendue, un mˆeme point de l’objet `a positionner devra donc ˆetre bien positionn´e selon tous les mod`eles partiels d’´etendue `a la fois (c’est-`a-dire selon tous les points de vue sur la relation). Cette diff´erence majeure par rapport `a la version pr´ec´edente permettra notamment de distinguer les cas de l’objet horizontal et vertical de la figure3.25.

Points singuliers et projection Pour des objets en-ligne, les lev´es et pos´es de stylo d´eterminent les points de d´ebut et de fin de trac´es qui constituent des points d’int´erˆet de l’objet manuscrit. Nous nous int´eressons ici uniquement au cas d’objets en-ligne, car il est particuli`erement ais´e de d´efinir des points d’int´erˆet pour ces objets. Cependant, d’autres strat´egies d’extraction de points pourraient ˆetre ´etudi´ees pour le cas d’objets hors-ligne (par exemple en appliquant une m´ethode de d´etection de points d’int´erˆet `a base de gradients directionnels).

Le principe propos´e consiste `a mod´eliser la position moyenne des points particuliers des objets au sein du nuage de points selon chaque point de vue consid´er´e pour la relation.

Comme pr´ec´edemment, la description de l’´etendue est normalis´ee par rapport `a la valeur centralec de la distribution des degr´es de l’objet (voir l’´equation (3.22)).

Pour un objet simple, constitu´e d’un seul trac´e comportant p points S = s₁..s_p, nous d´efinissons trois points particuliers s_a, s_b ets_m.s_a et s_b correspondent aux extr´emit´es du trac´e, tandis que s_m d´esigne le point de mi-parcours du trac´e. La correspondance entre s_a, s_b et les deux extr´emit´es s₁ et s_p se fait selon des crit`eres g´eom´etriques. s_a est d´efini

comme l’extr´emit´e la plus proche du coin haut gauche de la boˆıte englobante du trac´e et s_b est d´efini comme l’autre extr´emit´e du trac´e. En cas d’ambigu¨ıt´e, c’est-`a-dire lorsque les deux extr´emit´es sont presque ´equidistantes du coin haut gauche, c’est l’extr´emit´e la plus `a gauche qui est consid´er´ee poursa. Le point de mi-parcours du trac´e est le point qui partage au mieux la longueur du trac´e en deux parties de longueur ´egale.s_m est donc d´efini comme le premier points_i, i= 1..p tel que :

La figure 3.26 pr´esente deux exemples de trac´es simples en-ligne avec les points parti-culierss_a,s_b ets_m d´etermin´es pour chaque cas.

Figure3.26: Exemples de points particuliers extraits de deux trac´es simples.

Pour un point de vue, trois mod`eles sont construits, chacun mod´elisant la position atten-due pour l’un des points d’int´erˆet dans la distribution des degr´es. Cette position moyenne est `a nouveau d´ecrite par un histogramme, centr´e sur la valeur c d´efinie pr´ec´edemment.

Ainsi, la position du point particuliers_arelativement au centre de la distributionc des de-gr´es de l’objet selon le point de vueα est consid´er´ee pour chaque exemple d’apprentissage i.

Pour une paire d’objets (R_i, A_i), consid´er´ee selon le point de vue α, (E_α,i^c ) repr´esente la distribution des degr´es atteints par les points deA, centr´ee par rapport `ac. Parmi ces points, le point particuliers<sub>a</sub> atteint un degr´e exprim´e par µ<sub>α</sub>(R<sub>i</sub>)(s<sub>a</sub>). Le mod`ele de position des pointss_aest construit en comptabilisant `a partir des exemples d’apprentissage le nombre de fois o`u le degr´eµα(Ri)(sa) tombe dans chaque section de l’histogramme (E_α,i^c ). Il en r´esulte un histogramme (h_a)_k qui est normalis´e par sa fr´equence maximale. Cet histogramme est ensuite utilis´e comme un mod`ele flou de la position du point s_a par rapport au point de normalisationc selon le point de vue port´e parα.

Exemples La figure 3.27 pr´esente quelques exemples des histogrammes appris pour po-sitionner les trois points particuliers sa, sm et sb selon le point de vue ˆetre `a droite de.

Chaque ligne du tableau pr´esente un cas de figure diff´erent, illustr´e dans la premi`ere co-lonne par une paire d’objets d’apprentissage. La r´ef´erence est en rouge et l’objet argument en bleu, avec ses points particuliers mis en ´evidence par des couleurs : orange pours<sub>a</sub>, vert pours<sub>m</sub> et marron pour s<sub>b</sub>. Les trois mod`eles d’´etendue associ´es sont repr´esent´es par leurs histogrammesh_a,h_m eth_b dans les trois colonnes de droite.

Dans les deux premiers cas, tous les points de l’objet argument ont le mˆeme degr´e (ils sont tous parfaitement `a droite de R pour la relation R1, et pas du tout `a droite dans le cas de R2). Les mod`eles d’´etendue imposent donc que les points particuliers s_a, s_b et s_m aient le mˆeme degr´e que le point central de la distribution des degr´es (c).

Pour les cas R3 et R4, les mod`eles sont plus informatifs. Ils d´ecrivent que le point s<sub>a</sub> doit avoir un degr´ed’ˆetre `a droite inf´erieur au centre de la distributionc, tandis ques_b doit ˆetre plus `a droite que c. Le point de mi-parcours doit quant `a lui co¨ıncider avec le degr´e central de la distribution.

Dans le dernier cas, les positions de points extr´emit´es sont comparables `a celles observ´ees pour les relations R3 et R4. Le mod`ele de position pour le point sm, en revanche, a la particularit´e d’ˆetre bimodal. Cela est dˆu au fait que, parmi les exemples d’apprentissage, les points des objets A_i s’´etendent entre les degr´es 0 et 1 (puisqu’ils s’´etendent de part et d’autre de l’objet de r´ef´erenceR_i associ´e). Dans ce cas ; le centre de la distribution vaut 0,5 pour tous les objets d’apprentissage. Le point de mi-parcours, en revanche, peut prendre les valeurs de 0 (si plus de la moiti´e du trac´e de l’objet est dans la partie sombre du paysage flou) ou de 1 (si plus de la moiti´e du trac´e est dans la partie claire du paysage). Le mod`ele appris tol`ere donc les deux possibilit´es pour le degr´e du point de mi-parcours par rapport

` ac.

Exploitation Le calcul d’un score d’ad´equation entre ce type de mod`eles d’´etendue et une paire d’objets met en œuvre une fusion point par point, consid´erant tous les points de vues pris en compte dans le mod`ele. La force de cette repr´esentation est en effet de consid´erer la position d’un mˆeme point s_a selon tous les points de vue `a la fois. Un score de bon positionnement peut donc ˆetre calcul´e pour chaque point particulier. Par exemple pour le point s<sub>a</sub>, son score de bon positionnement σ<sub>a</sub> par rapport au mod`ele appris pour une relation Rest d´efini par :

σ_a^R=t[ha(µ^c_a)_αi]_i=1..d avec µ^c_a=µαi(R)(sa)−c, (3.25) o`udest le nombre de points de vue consid´er´es dans le mod`ele et l’indiceirepr´esente chaque point de vue. Le mod`ele de position h<sub>a</sub> est appliqu´e comme une fonction floue sur µ<sup>c</sup><sub>a</sub>, qui repr´esente le degr´e des<sub>a</sub> dans le paysage flouµ<sub>αi</sub>(R) recentr´e par rapport `a c. L’op´erateur de t-norme utilis´e dans la combinaison traduit le fait ques_a doit ˆetre bien positionn´e par rapport au mod`ele d’´etendue h<sub>a</sub> selon chaque point de vue α<sub>i</sub>. On a donc une parfaite homog´en´eit´e avec l’´evaluation du positionnement d’un point de l’espace dans un mod`ele spatial, qui met en œuvre la conjonction floue de ses degr´es de positionnement par rapport

`

a tous les points de vue du m´eta-mod`ele (voir l’´equation (3.9)).

Un calcul similaire peut ˆetre fait pour chaque point particulier. Un score global d’´eva-luation de l’´etendue d’un objet par rapport `a un mod`ele peut ˆetre d´efini en combinant les scores des diff´erents points particuliers :

σ_M^R(R)(A) = (σ_a^R)¹³ ∗(σ_m^R)¹³ ∗(σ_b^R)¹³. (3.26) Tout comme pour la mesure d’´etendue par nuages de points (voir au paragraphe pr´ec´e-dent), le score σ_M^R(R)(A) peut ˆetre combin´e `a un score de positionnement pour une tˆache d’´evaluation du positionnement relatif de deux objets par rapport `a un mod`ele appris.

(a)R1

Figure 3.27: Exemples d’apprentissage du mod`ele d’´etendue pour diff´erentes configura-tions.

Discussion Comme nous l’avons pr´ecis´e, le fait de consid´erer les points `a travers tous les points de vue `a la fois, plutˆot que de projeter ind´ependamment les objets comme des nuages de points selon chaque point de vue, permet une plus grande pr´ecision de la description de l’´etendue. Nous illustrons cet avantage au moyen de la figure3.28, o`u les deux exemples de la figure 3.25 sont repris. Pour chacun des deux cas, les trois mod`eles d’´etendue li´es aux trois points particuliers sont repr´esent´es pour les quatre points de vue (un point de vue par colonne). La comparaison des mod`eles obtenus pour les points s_a entre le cas R1 (objet

horizontal) et le casR2 (objet vertical) montre qu’ils diff`erent grandement selon le point de vuebas. Il est donc possible de distinguer ais´ement les deux cas de figure au moyen de ces mod`eles d’´etendue plus ´elabor´es, grˆace `a l’information plus pr´ecise qu’ils contiennent sur l’occupation de l’espace par l’objet argument.

Figure 3.28: La mod´elisation de l’´etendue par prise en compte des points particuliers des objets permet de distinguer le cas d’un objet horizontal (a) et d’un objet vertical (b), selon la directionen bas (deuxi`eme colonne d’histogrammes).

3.5.4 Synth`ese

Deux mod`eles diff´erents ont ´et´e pr´esent´es pour d´ecrire l’´etendue de l’objet argument en compl´ement du mod`ele de positionnement pur expos´e dans les sections pr´ec´edentes. Par d´efinition, ces mod`eles ne peuvent ˆetre utilis´es que pour la tˆache d’´evaluation de position-nement relatif de deux objets. Le principe de ces mod`eles est de v´erifier le positionposition-nement simultan´e de l’objet cible dans diff´erentes r´egions de l’espace, les r´egions ´etant d´ecrites par les points de vue directionnels par rapport `a l’objet de r´ef´erence. Ces mod`eles permettent de favoriser les objets dont l’´etendue, ou la fa¸con de couvrir l’espace autour de la r´ef´erence,

est similaire `a celle constat´ee sur les objets d’apprentissage. Leur apport se traduit par la capacit´e `a distinguer des relations spatiales qui offrent des zones d’acceptabilit´e similaires avec des objets `a l’´etendue diff´erente, mais aussi de mod´eliser une contrainte de nature topologique dans le cas de d’une situation d’intersection (positionnement de l’objet de part et d’autre de la r´ef´erence).

Le premier mod`ele, dit par projection de nuage de points, pourra ˆetre utilis´e notamment dans le cas o`u les objets `a positionner sont de forme complexe, comportent des trac´es multiples, ou lorsqu’il est difficile d’en extraire des points particuliers (par exemple dans le cas d’objets hors-ligne). Le second mod`ele, qui d´ecrit plus pr´ecis´ement l’´etendue des objets, pourra ˆetre utilis´e lorsque les objets sont de simples trac´es manuscrits en-ligne (notamment s’ils sont assimilables `a des segments ou arcs de cercle).