Apprentissage

L’apprentissage d’un point de vue directionnel consiste `a d´eterminer la forme de sa fonction de composition H (voir l’´equation (3.4)). Comme la forme de la fonction H est inconnue a priori, nous proposons de l’approximer par un histogramme. Cela permet de ne pas faire d’hypoth`eses et donc de ne pas contraindre sa forme.

Consid´erons un ensemble de paires d’objets d’apprentissage (R_i, A_i)_i=1..N, qui sont po-sitionn´es relativement selon une relation spatiale R dont nous souhaitons construire un m´eta-mod`ele. Dans chaque paire, l’objet R<sub>i</sub> constitue la r´ef´erence de positionnement et l’objet A<sub>i</sub> l’objet argument (ou objet cible). Pour un point de vue d´etermin´e par la direc-tionα, nous cherchons `a d´ecriredans quelle mesure les objetsAi sont dans la directionαpar rapport `a leur r´ef´erenceR<sub>i</sub>. Pour cela, nous consid´erons la distribution des degr´es d’ad´equa-tion des points des objets A<sub>i</sub> avec les mod`eles spatiaux directionnelsˆetre dans la direction α par rapport `a Ri. Ces mod`eles spatiaux µ^R_αⁱ sont obtenus par dilatation morphologique de l’objet R_i par l’´el´ement structurant flou de direction α : ν_α. C’est cette distribution que nous cherchons `a approximer par un histogramme H. La figure3.4 illustre ce principe d’apprentissage.

L’illustration (a) montre des exemples d’objets de r´ef´erence R_i (en rouge) et d’objets cibleA_i (en bleu) qui sont positionn´es selon une relation spatialeRque l’on veut mod´eliser.

Figure3.4: Apprentissage `a partir d’exemples (a) de la fonctionH<sup>R</sup> normalis´ee (d) mod´e-lisant la relationRselon le point de vue`a droite de. Les objets d’apprentissage sont d’abord d´ecrits selon la relation ˆetre `a droite (b) et les degr´es atteints dans ces mod`eles spatiaux par les points des objets cibles A_i (en bleu) sont comptabilis´es dans un histogramme de fr´equencesh (c). Cet histogramme est normalis´e et seuill´e pour former le mod`ele flou H<sup>R</sup> (d). Ce mod`ele d´ecrit les degr´es admissibles des objets cibles pour la relation mod´elis´ee, selon le point de vue`a droite. Il exprime notamment que les points tr`es `a droite deR<sub>i</sub> sont parfaitement admis par le mod`ele :H_α^R(x) = 1 pourx≥0,8.

Le mod`ele spatialˆetre `a droite de est d´evelopp´e sur la r´ef´erence de chaque exemple d’ap-prentissage (b). L’histogrammeh repr´esent´e en (c) comptabilise la distribution des points des objets Ai d’apprentissage (en bleu) par rapport `a leur degr´e d’ad´equation avec la re-lation ˆetre `a droite de R_i dans les mod`eles spatiaux µ<sub>α</sub>(R<sub>i</sub>). Cet histogramme h mesure donc la fr´equence de points des objets d’apprentissage atteignant les diff´erents niveaux de gris dans les images (b). Il doit ensuite ˆetre normalis´e et seuill´e pour d´efinir le mod`eleH^R (d) sous la forme d’un ensemble flou.H^R associe aux diff´erentes valeurs deµ_α(R_i) (degr´es d’ˆetre `a droite) leur degr´e de repr´esentativit´e de la relation spatiale apprise.

La figure 3.5rappelle le principe d’exploitation de ce mod`ele H<sup>R</sup>, formalis´e pr´ec´edem-ment par l’´equation (3.4). Pour un objet de r´ef´erenceR, la descriptionˆetre `a droite (µα(R)) (image (a)) est compos´ee avec le mod`ele apprisH<sup>R</sup>(image (b)) pour former un mod`ele spa-tial transform´eµ^R_α (image (c)). Ce mod`ele spatial d´ecrit les zones admises pour l’objet cible par rapport `a la r´ef´erence selon la relationRapprise en consid´erant le point de vue`a droite.

Nous pr´esentons ci-dessous plus formellement les diff´erentes ´etapes du proc´ed´e d’ap-prentissage du mod`eleH<sup>R</sup> expos´ees `a la figure3.4.

Figure 3.5: Exploitation du mod`ele H<sup>R</sup> sur un nouvel objet R. Le mod`ele (b) peut ˆetre compos´e avec la descriptionˆetre `a droite (a) pour former un mod`ele spatial appris (c) qui d´ecrit les degr´es admissibles pour l’objet cible attendu d’apr`es la relationR, selon le point de vue`a droite.

D´efinition de l’histogramme de fr´equences La distribution des valeurs d’ad´equation des objets d’apprentissage avec les mod`eles spatiauxµ<sup>R</sup><sub>α</sub><sup>i</sup>est approxim´ee par un histogramme not´eh<sup>R</sup><sub>α</sub>. Pourk= 0..K, on noteik=k/K ∈[0; 1] et on d´enomme (Ik)k=0..K+1les ensembles de points d´efinis parI<sub>0</sub> = {i<sub>0</sub> = 0}, I<sub>1</sub> =]i<sub>0</sub>;i<sub>1</sub>[, I<sub>k</sub> = [i<sub>k−1</sub>;i<sub>k</sub>[<sub>k=2..K</sub>, I<sub>K+1</sub> = {i<sub>K</sub> = 1} (les I<sub>k</sub> forment une partition de [0; 1]). Chaque section de l’histogramme (h<sup>R</sup><sub>α</sub>)<sub>k</sub> comptabilise le nombre de points des exemples d’apprentissage qui ont un degr´e d’appartenance `aµ^R_αⁱ dans l’ensembleI_k :

(h^R_α)_k = X

i=1..N

|Si_k| avec Si_k ={p∈Ai, µ^R_αⁱ(p)∈I_k}. (3.5) Cet histogramme de fr´equences doit ensuite ˆetre normalis´e et transform´e pour former la fonction H `a valeurs dans [0; 1]. En premier lieu, la normalisation est essentielle et doit garantir que la valeur 1 est atteinte par l’histogramme. Ainsi l’ensemble flou appris (et donc le mod`ele de la relation spatiale) sera un ensemble flounormal, c’est-`a-dire admettant certains points comme lui ´etant parfaitement compatibles. Ensuite, l’interpr´etation de la fonction H que l’on cherche `a d´eterminer n’est pas exactement celle que l’on peut faire de l’histogramme de fr´equencesh. La fonction H recherch´ee doit repr´esenter les degr´es de positionnement admissibles pour les points de A par rapport `a R selon la direction α. Il est donc n´ecessaire de d´efinir la notion d’admissibilit´epar rapport aux fr´equences mesur´ees par h.

Normalisation L’histogrammeh comptabilise tous les points des objets d’apprentissage pour la relationRselon le point de vue consid´er´e. Le nombre de points dans l’histogramme d´epend de la taille des objets A_i et de l’´echantillonnage des objets (le nombre de points consid´er´es par unit´e de surface ou de longueur). Le nombre de points peut donc ˆetre tr`es variable entre deux objets.

Soit h_max la fr´equence maximale mesur´ee dans l’histogramme h. h_max repr´esente le nombre maximal de points des objets d’apprentissage qui tombent dans le mˆeme intervalle de degr´es lorsque l’on consid`ere la relationˆetre dans la directionα par rapport `a R_i. Il faut alors remarquer que les ensembles de degr´es (I_k), ne couvrent pas des portions du plan

´equivalentes. En effet, les ensembles extrˆemes I₀ et I_K+1 couvrent des sections de l’image plus grandes que les autres intervalles. La figure3.6illustre les zones du plan couvertes par les ensembles I_k,_k=0..K+1 avec K = 2 et K = 4, en prenant pour exemple le point de vue

(a) K = 2 (4 ensembles de points)

(b) K = 4 (6 ensembles de points)

Figure 3.6: Repr´esentation des zones li´ees aux intervalles I_k de l’histogramme pour la relationˆetre `a droite de R. Un niveau de gris est affect´e aux zones associ´ees `a un mˆeme ensembleI_k.

ˆetre `a droite de en r´ef´erence l’objet de la figure 2.22. Dans les deux cas, la zone la plus sombre contient les points du plan dont les degr´es d’appartenance au mod`ele spatialˆetre `a droite deRsont dansI<sub>0</sub> (c’est-`a-dire nuls). Inversement, la zone blanche contient les points parfaitement `a droite de R, dont les degr´es sont dans I<sub>K+1</sub> (c’est-`a-dire ´egaux `a 1). En comparant les deux figures, construites avec quatre et six r´egions pour autant d’intervalles, on remarque que les r´egions extrˆemes correspondant `a I₀ et I_K+1 ne changent pas, tandis que les zones des autres ensemblesI_k,_k=1..K diminuent de taille lorsque K augmente.

Ces figures illustrent le ph´enom`ene d’accumulation de points aux degr´es extrˆemes.

Compte tenu de la d´efinition de l’´el´ement structurant de la relation ˆetre `a droite de, en moyenne une grande partie du plan image a un degr´e nul ou parfait d’appartenance `a la relation. En pratique, lorsque l’on comptabilise les points qui appartiennent `a chacune de ces zones, on constate une accumulation de points dans les tranches extrˆemes de l’histo-grammeh. La normalisation de cet histogramme, qui consiste `a le ramener `a une fonction

`

a valeurs dans [0; 1], ne peut donc pas se faire simplement en le divisant par sa fr´equence maximaleh_max. Il faut en fait distinguer deux cas. Dans le cas g´en´eral, on consid`ere que h<sub>max</sub>= max<sub>k=1..K</sub>(h<sub>k</sub>) ;h<sub>max</sub> est donc le nombre maximal d’occurrences de points dans un intervalle non-extrˆeme de l’histogramme. On normalise ensuite tout l’histogramme `a l’aide deh_max :

hˆ_k= min h_k

h_max,1

, k= 0..K+ 1. (3.6)

Un cas particulier est cependant `a consid´erer. Il se produit lorsque l’essentiel des oc-currences comptabilis´ees par h se concentrent sur l’une des extr´emit´es (ou sur les deux), c’est-`a-dire lorsqueh₀+h_K+1> β∗PK+1

i=0 h_i(dans notre impl´ementation, nous fixons le seuil β`a 0,9). Dans ce cas (qui se produit par exemple d`es que tous les objetsAisont dans la zone pas du tout `a droite deR_i), tout l’histogramme est normalis´e parh_max=max(h₀, h_K+1).

Seuillage Une fois l’histogramme normalis´e, ˆh doit ˆetre transform´e pour transposer la notion de fr´equence en terme d’appartenance `a un mod`ele flou. Nous proposons d’appliquer une fonction de seuillage sur les fr´equences relatives de ˆh qui est d´etermin´ee par deux

param`etres a et b. Cette fonction g, croissante sur [0; 1] et telle g(0) = 0 et g(1) = 1 est

Figure 3.7: La fonctiong permet de seuiller les fr´equences trop rares (inf´erieures au seuil a) dans la transformation des fr´equences en degr´es d’ad´equation au mod`ele. Le seuilb fixe la fr´equence de repr´esentativit´e parfaite du mod`ele.

L’utilisation de fonctions de formes sigmo¨ıdes ou autresS-fonctionsest courante pour la transformation de fr´equences en degr´es d’appartenance floue (voir par exemple [KGK02]).

L’id´ee est de contrˆoler le lien entre les fr´equences mesur´ees et le degr´e de conformit´e `a l’ensemble flou r´esultant. Dans le cas de la fonctiongde l’´equation (3.7), ce contrˆole d´epend des deux param`etresa etb. Ici,a d´etermine la fr´equence minimale `a partir de laquelle un

´el´ement x de [0; 1] sera consid´er´e comme repr´esentatif de la relation. Autrement dit, une zone de l’image li´ee `a I<sub>k</sub> telle que ˆh<sub>k</sub> < a dans l’histogramme normalis´e est consid´er´ee commepas du tout acceptable pour la relation spatiale (H<sub>k</sub><sup>R</sup>= 0). Inversement,bd´etermine la fr´equence minimale au-del`a de laquelle un ´el´ementxest consid´er´e comme ayant un degr´e d’ˆetre `a droite parfaitement repr´esentatif de la relation (H_k^R= 1).

Un seuilastrictement sup´erieur `a 0 signifie que certains points des exemples d’appren-tissage vont ˆetre consid´er´es comme des anomalies qui ne doivent pas ˆetre prises en compte par le mod`ele, car trop rares. Un seuilbstrictement inf´erieur `a 1 signifie que plusieurs zones du plan (associ´ees `a des degr´es d’ˆetre `a droite diff´erents) peuvent ˆetre consid´er´ees simulta-n´ement comme parfaitement en accord avec le mod`ele. Sib= 1, en revanche, seule la zone qui comporte le plus d’occurrences sera consid´er´ee comme parfaitement en accord avec la relation apprise.

L’histogrammeHest donc finalement d´eduit de l’histogramme de fr´equences normalis´ees par application deg :

H_k=g(ˆh_k), k= 0..K+ 1. (3.8)