D-1-1 ) Les différentes orientations sur le positionnement d’outil torique.
D-1-1-1 ) Mise en situation.Les différents outils utilisés pour le fraisage 5-axes en bout ont été présentés dans les chapi- tres précédents et il a été montré que la méthode d’équilibrage de la force de coupe transversale impose des outils qui acceptent le talonnage en possédant une face inférieure qui puisse couper. Pour cette raison, les outils toriques à plaquettes rondes sont les outils retenus pour notre étude. Ces outils sont très utilisés pour les opérations de fraisage 5-axes des formes gauches, notamment pour la réalisation des moules et des matrices ou encore des pièces d’aéronautique de formes complexes. Pour cela un positionnement de l’outil sur la surface est utilisé. Il consite d’abord à amener l’outil sur la surface et ensuite à orienter son axe. Lors de cette dernière étape, l’orienta- tion de l’outil est calculée pour éliminer l’interférence locale qui est une collision, entre l’outil et la pièce. Pour cela des rotations sont appliquées à l’outil. Ces rotations peuvent être effectuées autour de points différents dont les principaux sont le centre plaquette (Fig.D-56) et le point de contact outil-pièce Pc.
Pour mettre en place ces positionnements des approches différentes sont utilisées et il est possible de distinguer deux catégories : les positionnements utilisant une approche géométrique directe et les positionnements utilisant les courbures locales ou principales. Afin de les présenter, les notations suivantes seront utilisées. Ces notations sont également celles qui seront utilisées lors du développement de l’étude du positionnement et de la stratégie associée :
Fig.D-56 : Interférence locale Interférence locale
Centre plaquette : Cp
- Pc est le point considéré de la surface à usiner S et donc le point de contact outil-pièce (Fig.D-56).
- est le repère local à la surface S au point considéré Pc. Il est constitué d’un vecteur n normal à la surface, d’un vecteur t tangent à la surface dans la direction et le sens du mouvement d’avance et du vecteur b qui est le vecteur binormal calculé par . Le repère (Pc, t, b, n) est donc direct.
D-1-1-2 ) Les positionnements utilisant une approche géométrique directe.
Cette catégorie utilise la géométrie de l’outil et de la surface à usiner pour déterminer la dis- tance entre l’outil et la pièce. Lorsque la distance devient négative il y a interférence et une orien- tation angulaire est alors calculée suivant plusieurs méthodes pour dégager l’outil.
Lee [LEE, 97] présente un positionnement d’outil au point de contact Pc (Fig.D-57) utili- sant deux angles et pris respectivement autour de b et de n initialisés à =5° et =0°. Dans un deuxième temps en utilisant le calcul de la distance entre la pièce et l’outil sur des points appelés "points critiques", il définit une correction angulaire en utilisant des projections de l’outil dans différents plans pour calculer les valeurs définitives , assurant un positionement hors interférence.
Mais le postionnement et la gestion de l’interférence pour un outil torique reste un problème assez complexe. Afin de le simplifier, Rubio [RUB, 93] a mis en place une méthode introduisant
ℜs
b = n t∧ ℜs
λL ωL λL ωL
λL ωL
Fig.D-57 : Orientation de l’axe de l’outil d’après Lee [LEE, 97] λL ωL n b t Pc
des décalages, appelés offsets, sur l’outil et sur la surface afin de ramener le problème du posi- tionnement d’un outil torique à celui du positionnement d’un outil cylindrique. Pour cela (Fig.D- 58) une surface décalée (surface offset) est calculée en décalant chaque point de la surface de la valeur du rayon de tore suivant la normale n. De la même façon, un outil offset est calculé en décalant chaque point de l’outil de la valeur du rayon de tore suivant sa normale :
Dans leurs travaux, Rubio [RUB, 93], Redonnet et al.[RED, 00] et Moniès [MON, 01] uti- lisent cette simplification et proposent un calcul des distances entre l’outil offset T(s,t) et la sur- face offset Soff(u,v) sur des points caractéristiques Mi.
n
décalage de la surface : r décalage de l’outil : r
Fig.D-58 : Décalage de l’outil et de la surface. rayon de tore : r Pc t Surface offset Surface nominale S Outil torique Outil offset
Fig.D-59 : Points caractéristiques d’après Rubio [RUB, 93] Soff(u,v) T(s,t) t b Centre tore Mi M3 M2 M1 M4 n
Le positionnement calculé de l’axe de l’outil est effectué à l’aide d’un angle α pris autour de b et d’un angle β pris autour de t (Fig.D-59). L’écriture des inéquations traduisant que les dis- tances sous les points Mi doivent rester positives permet d’établir pour chacun de ces points une relation βi=fonction(αi) correspondante. La représentation graphique conduit alors à la définition (Fig.D-60) d’un domaine solution (α, β) pour lequel il n’y a pas interférence.
Pour gérer l’interférence locale en bout d’outil, Redonnet et al. [RED, 00] utilise l’angle α autour de b avec comme point de rotation le centre plaquette ainsi que l’angle β autour de t avec comme point de rotation le point de contact outil-pièce Pc (Fig.D-56). Le choix définitif est réa-
lisé en selectionnant le couple pour lequel la quantité de matière sous l’outil est
répartie de manière à réguler le comportement d’outil en usinage. La méthode adoptée par Moniès [MON, 01] est plus complète car elle permet de gérer dans le même temps une collision avec le corps d’outil cylindrique c’est à dire une interférence globale. Pour cela le point de rotation retenu pour effectuer les rotations β puis α est le centre plaquette (Fig.D-56) et les distances entre l’outil et la pièce sont calculées simultanément pour la partie inférieure et la partie cylindrique. L’auteur construit alors un domaine hors interférence locale et un domaine hors interférence globale. La superposition de ces deux domaines permet alors de mettre en place un couple solution
comme étant celui pour lequel α est minimal ( ). De cette façon les
valeurs angulaires qui permettent de dégager l’outil et de le positionner hors interfé- rence assurent une trajectoire lissée.
Lors d’une étude, Warkentin et al. [WAR, 00] déterminent l’orientation de l’outil à partir de α
β
Domaine hors interférence
Fig.D-60 : Domaine solution (α, β) positionnant l’outil hors interférence. βi=fonction(αi) αsol,βsol ( ) αsol,βsol ( ) αsol = αmini αsol,βsol ( )
trois points de contact (Fig.D-61) entre l’outil et la pièce. Pour cette raison ce positionnement est appelé positionnement multi-points. Le premier point est le point considéré de la surface, le second point est pris à une distance notée w dans la direction qui correspond à la plus grande courbure de la surface autour du point considéré. Le troisième point, noté , est alors selectionné comme celui qui assure un contact tangent entre l’outil et la surface. C’est également ce point qui sera le point de contact entre l’outil et la pièce. Le calcul des angles de positionne- ment de l’outil est effectué à partir des normales , et de la géométrie de l’outil. Dans ce tra- vail, les auteurs s’appuient sur une hypothèse forte : la courbure de la surface est constante dans la zone située sous l’outil. Cela permet alors le positionnement à partir de points situés sur la péri- phérie de l’outil en supposant qu’il ne peut y avoir de collision dans la zone située sous l’outil.
Une extension de ces travaux est la méthode de la balle roulante developpée par Gray et al. [GRA, 03]. La méthode de positionnement est multi-points comme celle qui vient d’être présen- tée mais elle comprend des diffèrences : une grille de points caractéristiques E est associée à la face inférieure de l’outil (dans l’étude, les auteurs prennent vingt cercles concentriques contenant chacun vingt points). Pour le point de contact considéré Pc, et pour chaque point E de la grille, le rayon ρ d’un cercle dont le centre est situé sur la normale n et qui passe par Pc et E est calculé. La
CC1 CC2
tpos
n1 n2
Fig.D-61 : Positionnement multi-points d’après Warkentin et al. [Wark. 00] w
plus petite valeur de ρ calculée est alors considéré comme le diamètre d’une sphère et permet de calculer la correction angulaire Δα qui évite l’interférence. L’ensemble de la méthode consiste donc à déterminer pour chaque position de l’outil le rayon d’une sphère sur lequel s’appuie la cor- rection Δα d’où le nom de "méthode de la balle roulante".
Dans la continuité des deux positionnements qui viennent d’être présentés, Gray et al. [GRA, 05] proposent une méthode intitulée "méthode de l’arc intersecté". Comme dans leurs pre- miers travaux, les auteurs utilisent une grille de points appartenant à la surface et qui est située sous l’outil. La méthode mise en place consite à faire tourner la grille autour du point de contact et suivant la normale n pour mettre en place une correction angulaire qui dégage l’outil et assure un positionnement hors interférence. Lorsque la grille tourne sous l’outil, ses points décrivent un arc qui intersecte l’outil, d’ou le nom de la méthode.
Une approche originale du positionnement d’outil à été présentée par Li et Chen [LI, 06]. Pour cette étude, les auteurs définissent une "arête virtuelle de l’outil" notée VCE pour "virtual Cutting Edge" qui correspond (Fig.D-62) à la trace que va laisser l’outil sur la surface lorsque l’axe z de outil est incliné d’un angle θ par rapport à la direction d’avance ft.
Cette trace d’outil est alors exploitée pour définir une "erreur instantanée de position d’outil" notée ICPE pour Instantaneous Cutting Error Position qui caractérise, pour chaque point de la trajectoire, l’erreur de positionnement de l’outil sur la surface. Un algorithme de correction de cette position instantanée permet alors d’obtenir en chaque point de la trajectoire un position- nement hors interférence et une largeur d’usinage maximale.
Fig.D-62 : arête virtuelle de l’outil : VCE ft
VCE
z θ
Dans leur travaux, Fan et Ball [FAN, 08] proposent une orientation d’outil calculée à partir de deux angles α et ω pris respectivement autour de b et de n (Fig.D-63). Pour ce calcul, deux formes quadratiques sont utilisées pour définir la géométrie de la surface autour du point de con- tact. La première forme quadratique, dite "forme quadratique supérieure", est simplifiée (Eq.59)
et elle permet d’exprimer l’équation de la surface sous la forme =0 où et
sont les coordonnées des points de la surface dans le repère local d’usinage. Elle est utilisée pour calculer l’orientation de l’axe de l’outil à l’aide d’une fonction d’erreur prenant en compte la distance outil-surface afin de gérer l’interférence.
(59) La deuxième forme quadratique, dite "forme quadratique inférieure" est exprimée de la même façon que celle vue précédemment (Eq.59) avec des coefficient différents. Elle est utilisée pour déterminer une largeur d’usinage maximale reliée à l’angle ω. De cette façon là, les auteurs aboutissent à un positionnement qui utilise les angles deux d’orientation de l’outil α et ω.
D-1-1-3 ) Les positionnements utilisant les courbures locales ou principales.
Dans cette famille de positionnements, les courbures principales sont utilisées pour caracté- riser la surface au voisinage du point de contact outil-pièce. Pour cela les courbures locales de la
f x( M,yM,zM) xM,yM zM
f x( M,yM,zM) = a x⋅ M2 +b y⋅ M2 +c z⋅ 2M+2 e y⋅ ⋅ M⋅zM+2 g z⋅ ⋅ M⋅xM+2 h x⋅ ⋅ M⋅yM
ω
α
Surface réprésentée par la forme quadratique supérieure
Fig.D-63 : Orientation d’outil d’après Fan et Ball. [Fan. 08]
Surface réprésentée par la forme quadratique inférieure
surface à usiner sont calculées autour du point de contact et les courbures principales et sont les valeurs maximale et minimale. Les directions principales associées à ces courbures sont orientées à 90° et un repère constitué de ces deux directions et de l’axe Z permet une formulation simplifiée de l’équation de la surface pour la zone considérée. Elle est alors utilisée pour exprimer plus facilement la distance entre l’outil et la surface afin de proposer des positionnements qui éli- minent l’interférence. De par son principe cette méthode simplificatrice est très utilisée et de nombreuses approches ont été proposées.
Dans leur travail Kruth et Klewais [KRU, 94], présentent un positionnement d’outil à l’aide d’un angle α pris autour de b. Pour cela l’équation considérée de la surface est exprimée à l’aide de l’approximation quadratique :
(60)
Dans cette expression, et sont les courbures principales définies auparavant et x et y sont l’abscisse et l’ordonnée comptée suivant les directions associées à et . Mais l’inter- section entre la surface même exprimée à l’aide de l’approximation quadratique (Eq.60) et un outil torique pour gérer l’interférence est un problème difficile à résoudre. Pour cette raison, les auteurs considèrent que le volume de l’outil torique est compris dans une sphère fictive dont le rayon est :
(61)
Dans cette expression, est le rayon extérieur de l’outil, Cr est le rayon de tore et α est l’angle d’inclinaison d’outil autour du vecteur b. Afin de gérer l’interférence, l’angle d’inclinai- son de l’outil est calculé en écrivant que le rayon de la sphère fictive (Eq.61) doit être inférieur au rayon de courbure de la surface. L’orientation α de l’outil est alors calculée par l’expression :
(62)
Dans cette équation, tous les termes ont été définis précédemment sauf qui est la tolé- rance de forme affectant la surface. Cette méthode permet donc de calculer l’orientation de l’outil à l’aide de l’angle α seul mais en prenant en compte la tolérance de forme sur la surface.
K1 K2 z 1 2 ---⋅(K1⋅x2+K2⋅y2) = K1 K2 K1 K2 Rsphere Routil–Cr α ( ) sin --- Cr+ = Routil α ( ) sin Routil–Cr Cr – 1 K1 2 K( 1–K2) int⋅ tol Routil–Cr --- – --- + --- = inttol
Le calcul des courbures locales peut également s’appliquer sur l’outil pour une orientation donnée. Ce point de vue rejoint d’une certaine façon la notion de sphère fictive proposée par Kruth et Klewais [KRU, 94] qui a été présentée. C’est cette approche qui a été utilisée par Jensen et al. [JEN, 02] pour selectionner une géométrie d’outil dans une banque de données et optimiser le débit de copeaux en retenant l’outil le plus gros. Dans un premier temps, des courbures princi- pales associées à un outil donné et incliné d’un angle α autour du vecteur b sont définies. Dans un second temps, la distance entre la face inférieure de l’outil et la surface à usiner est calculée afin de detecter une interférence locale. Dans le cas où une collision est detectée, une correction angu- laire Δα est mise en place pour dégager l’outil. Dans un troisième temps, la distance entre le corps cylindrique de l’outil et la surface à usiner est calculée pour déceler une collision globale. Dans le cas où elle apparaît, une correction angulaire Δθ est proposée afin de dégager l’outil. Pour amélio- rer le temps de calcul, la surface à usiner est triangulée par la méthode de Delaunay. La gestion de la collision sous l’outil est alors effectuée en observant une zone limite (Fig.D-64). Le calcul de la distance outil-surface est alors effectué sur les sommet des triangles qui appartiennent à cette zone limite.
En utilisant cette approche, les auteurs proposent un algorithme qui permet de sélectionner le plus gros outil compatible avec l’interférence. Les outils sont préalablement classés selon leur diamètre extérieur, leur rayon de tore et leur longueur. L’algorithme est initialisé avec un outil qui a le plus gros diamètre extérieur et le plus petit rayon de tore. En cas de collision impossible à cor- riger avec les méthodes proposées, un outil avec un plus petit diamètre extérieur et un plus gros rayon de tore est alors selectionné. Le calcul s’arrête lorsque pour un outil donné les corrections
Zone limite
proposées permettent d’éliminer l’interférence ; l’outil ainsi selectionné est le plus gros outil com- patible avec la géométrie de la surface à réaliser et en ce sens c’est celui qui assure le débit copeau le plus élevé.
D’une manière assez voisine, Chen et al. [CHEN, 05] mettent en place un positionnement à l’aide du seul angle α autour du vecteur b. Les auteurs s’appuient sur des travaux préliminaires [MAR, 87] selon lesquels le plus grand débit de copeau est obtenu lorsque la vitesse d’avance est dans la direction de la plus petite des deux courbures principales. Dans ce travail, une première approche des courbures locales par la géométrie différentielle est donc proposée afin de détermi- ner les courbures principales pour une position de l’outil donnée. Le positionnement étudié gère l’interférence locale sur l’avant et sur l’arrière de l’outil en discrétisant une surface paramétrée en quadrilatères qui correspondent à un découpage régulier du domaine paramétrique. Un maillage triangulaire est ensuite obtenu en redécoupant ces quadrilatères suivant une de leur diagonale. La méthode proposée a l’originalité d’introduire un calcul de la taille du maillage pour discrétiser la surface en limitant l’erreur à la tolérance de forme qui affecte la surface. Le calcul des distances entre les sommets des triangles et la face inférieure de l’outil permet alors de détecter les diverses interférences et d’appliquer une méthode de correction utilisant uniquement l’angle α.
Dans une approche plus complète, Chen et al. [CHEN, 02] utilisent le calcul des courbures à la fois pour l’outil et pour la surface afin de proposer un positionnement d’outil torique à l’aide de deux angles et comptés respectivement autour du vecteur binormal b et du vecteur nor- mal n. Les angles choisis pour ce positionnement sont donc les mêmes que ceux utilisés par Lee [LEE, 97] présentés (Fig.D-57). Dans cette étude, les auteurs proposent un calcul de la courbure de la pièce au voisinage du point de contact pour la direction d’usinage et un calcul de la courbure effective de l’outil orienté par les angles et . L’écriture de la condition de non interférence est alors :
pour tout (63)
D-1-1-4 ) Conclusion sur les positionnements étudiés.
Les différentes approches sur le positionnement d’outil qui viennent d’être présentés per- mettent de gérer l’interférence à l’aide d’une des deux orientations angulaires utilisées en fraisage 5-axes. Un critère supplémentaire permet de fixer la deuxième orientation angulaire ; il s’agit principalement de maximiser le débit copeaux par l’intermédiaire de la largeur usinée ou de la selection d’une géométrie d’outil. L’approche proposée par Rubio [RUB, 93] et reprise ensuite
λ ω
Kα
Keffα λ ω
par Redonnet [RED, 00] et Moniès [MON, 01] laisse le choix d’une orientation définitive dans le domaine angulaire solution (α,β) (Fig.D-60). Cette possibilité est nécesssaire dans le travail qui est présenté ici puisqu’il s’agit d’associer l’équilibrage de la force de coupe transversale au posi- tionnement retenu. C’est pour cette raison que ce positionnement est celui qui va être utilisé pour notre étude et nous allons voir comment il est adapté pour intégrer le critère "équilibrage de la force de coupe transversale".