3.3 Nouvelles m´ethodes d’estimation
3.3.5 Estimation MV des param`etres de la phase r´esiduelle
Compte-tenu des limites de la m´ethode MAP, on est tent´e d’aborder le probl`eme de la reconstruction de FEP sous un nouvel angle.
Comme nous l’avons vu dans la section 3.2, le r0 pendant les observations et la covariance
de la phase r´esiduelle doivent ˆetre estim´es pour reconstruire la FEP. Le premier nous permet d’obtenir la fonction de structure de la composante orthogonale de la phase r´esiduelle : DΦ⊥ et
la seconde la fonction de structure de la composante miroir de la phase r´esiduelle : DΦk `a l’aide
de l’´equation 3.10 rappel´ee ci-dessous : Dk(~ρ) = X i X j h ˆkˆktiijUij(~ρ) = X i X j CkijUij
o`u Ck est la covariance de la phase r´esiduelle projet´ee sur une base de modes (par exemple ceux
du syst`eme) et les Uij sont les corr´elations spatiales normalis´ees de ces mˆemes modes.
Dans le cas de la m´ethode MC, nous avons vu que Ck pouvait ˆetre estim´ee `a partir de la
covariance des mesures d´ebruit´ees et d´ebiais´ees du repliement et des termes crois´es (cf ´equation 3.11), ces derniers ´etant particuli`erement difficiles `a estimer. Dans le cas de l’approche MAP,
3 Reconstruction de FEP – ´etude de NGC 7469
nous avons tent´e d’agrandir la base de reconstruction, afin de limiter les effets du repliement et donc des termes crois´es, sans succ`es.
On peut maintenant imaginer une autre approche, probabiliste, permettant d’estimer le r0et
le Ck `a partir des mesures, mais sans inverser le probl`eme, ce qui ´evite d’introduire ces fameux
termes crois´es. Tout comme dans le cas MAP, on peut chercher `a estimer plutˆot C c’est `a dire
la covariance de la phase r´esiduelle dans une base de mode de taille infinie.
Un cadre d’estimation ´eprouv´e est le MV, comme nous l’avons vu, par exemple, pour le recentrage d’images. Cette approche poss`ede de bonnes propri´et´es lorsqu’on cherche `a estimer un petit nombre de param`etres pour un grand nombre de donn´ees. C’est le cas ici, o`u on cherche `
a estimer les variances des modes de notre base (typiquement une centaine) ainsi que le r0 et
le bruit, alors que l’on poss`ede un nombre bien plus grand de mesures (typiquement des s´eries temporelles de plusieurs milliers de vecteurs contenant plusieurs centaines de mesures).
De plus, comme nous l’avons dit, nous sommes dans un cadre gaussien : le bruit sur les pentes peut ˆetre consid´er´e comme gaussien (Roddier 1999, les pentes sont obtenues par une somme pond´er´ee de r´ealisations ind´ependantes) et stationnaire, et la phase turbulente est `a statistique gaussienne (elle r´esulte de la somme de nombreux processus al´eatoires) donc la phase r´esiduelle, qui peut ˆetre consid´er´ee comme une version filtr´ee de cette derni`ere `a travers un filtre lin´eaire l’est aussi.
Dans ce cadre on peut aussi consid´erer (comme on l’a fait dans l’approche pr´ec´edente) que les mesures sont aussi `a statistique gaussienne et on va pouvoir calculer la vraisemblance des mesures en fonction d’un certain nombre de param`etres (le bruit, le r0 et la variance des modes
dans la phase r´esiduelle) relativement facilement. Ainsi, si les mesures s’´ecrivent comme :
w = D + n alors, la matrice de covariance des mesures s’´ecrit :
Cw = DCDt+ Cn
o`u C est la matrice de covariance de la phase r´esiduelle et Cn la matrice de covariance du bruit.
Comme se sont des mesures de phase r´esiduelle, leur moyenne est nulle. Le bruit ´etant consid´er´e gaussien stationnaire, Cn= σ2n× Id.
Donc la vraisemblance des donn´ees, c’est `a dire la probabilit´e d’obtenir un vecteur de mesures w connaissant la covariance de la phase r´esiduelle et la covariance du bruit s’´ecrit :
P(w; C, σn2) ∝ 1 det(Cw)1/2 exp − 1 2w tC−1 w w
Si, de plus, les ´el´ements de notre base de sont statistiquement ind´ependants, comme c’est le cas lorsqu’on utilise la base des KL de la phase r´esiduelle, alors C poss`ede la propri´et´e tr`es
int´eressante d’ˆetre diagonale.
Enfin, les variances d’une partie de ces modes, ceux qui ne sont pas corrig´es par le syst`eme peuvent ˆetre exprim´ee uniquement `a partir du D/r0. En effet, selon Conan (1994), dans la
turbulence, la variance des KL est proportionnelle `a f−11/3× (D/r0)5/3 o`u f est la fr´equence
3.3 Nouvelles m´ethodes d’estimation
On a donc un nombre de param`etres assez restreint `a estimer (les variances sur les modes corrig´es, le D/r0 et la variance du bruit) pour maximiser cette loi de probabilit´e et ainsi obtenir
les informations n´ecessaires (r0 et C) `a la reconstruction de la FEP.
On poss`ede en g´en´eral une s´erie temporelle de mesures et si de plus on consid`ere que celles-ci sont statistiquement ind´ependantes, on peut construire une probabilit´e jointe d’obtenir cette s´erie temporelle : P({wk}; C, Cn) ∝ 1 det(Cw) N/2YN k=1 exp [−1 2w t kCw−1wk]
o`u N est le nombre de vecteurs de mesures de la s´erie. On obtient donc l’anti-log-vraisemblance suivante : J (C, σn2) = N 2 ln [det(Cw)] + 1 2 N X k=1 wtkCw−1wk = N 2 ln [det(DCD t+ σ2 n× Id)] + 1 2 N X k=1 wtk(DCDt+ σn2× Id)−1wk (3.23) `
a minimiser, par exemple, `a l’aide d’un algorithme de type gradient conjugu´e.
Bien sˆur, lorsqu’on manipule des donn´ees issues d’un syst`eme d’OA, on poss`ede une s´erie de mesures qui ne sont pas statistiquement ind´ependantes. Toutefois, si on connaˆıt la corr´elation entre les modes, dans ces mesures, on doit ˆetre capable de modifier cette expression pour obtenir le vrai crit`ere MV.
Une autre fa¸con d’envisager les choses est de ne consid´erer que les mesures qui sont s´epar´ees par un intervalle temporel sup´erieur au temps de coh´erence du mode de l’atmosph`ere le plus lent. Dans ce cas, on travaille avec des mesures qui sont enti`erement d´ecorr´el´ees temporellement et on peut utiliser le crit`ere de l’´equation 3.23.
On remarque malgr´e tout que de consid´erer toutes les mesures n’a pour cons´equence que d’in- troduire plusieurs fois la mˆeme information. L’estimateur de l’´equation 3.23 tend donc asymp- totiquement vers la mˆeme valeur que dans le cas pr´ec`edent. Pour que l’estimateur converge vers la vraie valeur, il faut alors consid´erer une s´erie temporelle de mesures acquises sur un temps ´equivalent `a un grand nombre de fois le temps de coh´erence du mode le plus lent. Ceci est possible en OA, dans des conditions typiques, lorsque la s´erie de mesure repr´esente un intervalle temporel de plusieurs dizaines de secondes. Dans ce cas, l’unique cons´equence de l’utilisation d’un ´echantillon de mesures qui ne sont pas statistiquement ind´ependantes sera une convergence moins rapide de l’estimateur (`a nombre d’´el´ements dans l’´echantillon constant).