le contraste requis pour observer les structures environnantes, tr`es faibles, requiert des temps de pose plutˆot longs (pr`es de 4 min en bande K avec un t´elescope de 3m60 pour une seule pose), temps pendant lequel la qualit´e de correction peut fortement fluctuer.
La volont´e de pouvoir estimer de fa¸con pr´ecise cette fonction de transfert pendant les ob- servations, de gagner un facteur 2 `a 3 en temps d’observation est donc pleinement justifi´ee, ce besoin ´etant particuli`erement flagrant dans le cas des observations d’objets faibles, comme les NAG.
3.1
Description g´en´erale de la FEP longue pose
Comme on l’a vu dans le chapitre d’introduction, la correction d´elivr´ee par un syst`eme d’OA n’est pas parfaite. Le front d’onde pr´esente toujours une l´eg`ere perturbation qu’il est n´ecessaire de caract´eriser. D´econvoluer une image longue pose obtenue par OA, c’est `a dire s’affranchir des effets de la fonction de transfert de l’instrument (le syst`eme atmosph`ere + t´elescope + syst`eme d’OA + d´etecteur) n´ecessite alors une bonne caract´erisation de celle-ci.
Un syst`eme d’OA ne cesse de produire des informations qui peuvent ˆetre utilis´ees pour reconstruire sa FEP longue pose. En effet, pour le besoin de la correction, l’ASO mesure `a chaque instant la forme du front d’onde r´esiduel afin de donner au CTR les informations n´ecessaires `a sa reconstruction. Cette information sur la forme instantan´ee du front d’onde doit permettre de remonter `a la variance de la diff´erence de front d’onde entre les points de la pupille : D(~r, ~ρ)
(comme d´ecrit dans le chapitre d’introduction p. 37 et explicit´e dans la suite) pendant les observations, via la matrice de covariance des mesures et donc d’en d´eduire l’allure de la FEP longue pose.
La premi`ere m´ethode d’estimation de FEP, bas´ee sur ce principe a ´et´e d´evelopp´ee par J.-P. V´eran durant sa th`ese (V´eran 1997), et j’en rappelle les grandes lignes dans ce paragraphe. Je re-d´eveloppe cette m´ethode `a l’aide d’un formalisme l´eg`erement diff´erent de celui utilis´e par Jean-Pierre qui permet (`a mon goˆut) de mieux mettre en ´evidence chacun des ingr´edients utilis´es dans cette recette et de me permettre d’introduire plus facilement la nouvelle m´ethode que je propose.
Mais pourquoi une longue pose d’ailleurs ?
Cette m´ethode fait appel `a des quantit´es moyennes au sens statistique, et le r´esultat est une variance : c’est la variance de la diff´erence de front d’onde entre les diff´erents points de la pupille pendant un temps a priori infini compte-tenu des conditions atmosph´eriques mesur´ees, de la statistique de Kolmogorov et de la correction appliqu´ee. Les quantit´es qui sont utilis´ees pour la reconstruction (covariance des mesures, valeur du r0, variance du bruit) sont quant
`
a elles estim´ees sur un temps fini, celui de l’observation. Pour limiter les effets d’une telle approximation, on se place dans le cadre de la longue pose, suffisamment longue en tout cas pour pouvoir confondre l’op´erateur de moyenne statistique avec l’op´erateur de moyenne temporelle empirique. Jean-Pierre V´eran montre dans sa th`ese que la variance de l’erreur introduite d´epend (entre autres) du rapport entre le temps de coh´erence et le temps d’int´egration.
Cette hypoth`ese de longue pose est donc parfaitement v´erifi´ee dans le cas de l’application `
a l’´etude des NAG, o`u la dynamique requise pour l’´etude des structures environnant la source centrale requiert des temps de pose longs, souvent de plusieurs centaines de secondes, sachant que le temps de coh´erence vaut en g´en´eral (pour des conditions typiques au VLT) quelques dizaines de millisecondes.
3 Reconstruction de FEP – ´etude de NGC 7469
3.1.1 Expression analytique de la FEP longue pose
Comme nous l’avons dit (et redit) un syst`eme d’OA ne corrige que partiellement les effets de la turbulence. On s’int´eresse donc au r´esidu de front d’onde turbulent que je noterai :
(~r, t) = Φa(~r, t) − Φm(~r, t) (3.1)
o`u Φa(~r, t) est la phase turbulente `a l’entr´ee de la pupille du t´elescope et Φm(~r, t) est la phase
reproduite par le MD. Comme on l’a vu dans le chapitre d’introduction, la FTO longue pose dans le cas purement turbulent peut-ˆetre d´eduite de la fonction de structure de la phase turbulente. Dans le cas de la phase r´esiduelle, l’expression est similaire. La FTO longue pose d’une image corrig´ee grˆace `a un syst`eme d’OA peut donc s’´ecrire sous la forme :
F T O(~ρ/λ) = 1 S Z P (~r)P (~r + ~ρ) exp[−1 2D(~r, ~ρ)]d~r avec : D(~r, ~ρ) = h|(~r) − (~r + ~ρ)|2it
Ce calcul est loin d’ˆetre trivial `a cause du terme int´egral. En effet, la d´ependance en ~r de D
ne permet pas de s´eparer cette expression en un terme purement atmosph´erique et un terme constant dˆu au t´elescope et `a l’optique utilis´ee (terme a priori constant pour toutes les observa- tions d’une nuit). Si on suppose (frauduleusement) toutefois que la phase r´esiduelle, tout comme la phase turbulente, est stationnaire dans la pupille (on verra dans la sous-section 3.2.2 une justification empirique de cette approximation), on peut stationnariser la fonction de structure de la phase r´esiduelle par rapport `a ~r (?) de la fa¸con suivante :
D(~ρ) =
R
P (~r)P (~r + ~ρ)D(~r, ~ρ)d~r
R
P (~r)P (~r + ~ρ)d~r (3.2)
ce qui nous permet, en nous affranchissant de la d´ependance en ~r, de sortir le terme de phase r´esiduelle de l’int´egrale et ainsi de d´ecomposer la FTO longue pose en deux parties :
F T O(~ρ/λ) = F T Otel(~ρ/λ) × F T O(~ρ/λ)
o`u F T Otel(~ρ/λ) est la composante diffractive, purement due au syst`eme optique (le t´elescope et
toutes les optiques, en incluant les aberrations fixes) et, F T O(~ρ/λ) = exp −1 2D(~ρ) (3.3) est la composante due aux r´esidus atmosph´eriques.
3.1.2 Estimation de la composante atmosph´erique
Pour reconstruire la phase r´esiduelle `a partir des informations issues de l’ASO, nous avons besoin d’inverser sa matrice d’interaction D, qui repr´esente la r´eponse de l’ASO `a chaque degr´e de libert´e du miroir. Dans le cas MC, nous avons vu au chapitre d’introduction qu’il nous fallait nous placer dans un certain espace tronqu´e des modes du miroir (celui pour lequel le conditionnement de DtD est suffisamment faible pour assurer son inversion1). La d´enomination
1en effet, il s’agit d’inverser Dt
3.1 Description g´en´erale de la FEP longue pose
modes miroirs d´esignera donc, dans la suite, cette base tronqu´ee de modes du miroir et les diff´erentes variables associ´ees seront affubl´ees d’un k.
La phase r´esiduelle, responsable de la composante atmosph´erique de la FEP, peut se d´ecomposer en une composante miroir (c’est `a dire appartenant `a l’espace des modes du miroir) et une com- posante orthogonale (c’est `a dire appartenant `a l’espace orthogonal au pr´ec`edent) :
(~r, t) = k(~r, t) + ⊥(~r, t) (3.4)
En suivant cette d´ecomposition, la fonction de structure stationnaris´ee peut s’´ecrire sous forme de trois composantes : D(~ρ) = Dk(~ρ) + D⊥(~ρ) + 2Γ(~ρ) (3.5) o`u Dk(~ρ) = h|k(~r) − k(~r + ~ρ)| 2i D⊥(~ρ) = h|⊥(~r) − ⊥(~r + ~ρ)| 2i Γ(~ρ) = h(k(~r) − k(~r + ~ρ))(⊥(~r) − ⊥(~r + ~ρ))i
Γ(~ρ) repr´esente donc la fonction de structure de la corr´elation entre la composante miroir
et la composante orthogonale et on peut raisonnablement esp´erer que ce terme soit n´egligeable, attendu que la composante miroir contient plutˆot des basses fr´equences spatiales, et la compo- sante orthogonale, plutˆot des hautes fr´equences. Toutefois, la corr´elation n’est pas nulle `a cause de la propagation de l’erreur de repliement. Une estimation de l’erreur introduite dans le cas d’observations avec des syst`emes de type NAOS sera men´ee de fa¸con empirique dans la section 3.2.2.
Si on n´eglige le terme crois´e, on peut ´ecrire la FTO comme :
B(~ρ/λ) = Bk(~ρ/λ).B⊥(~ρ/λ) (3.6) avec : Bk(~ρ/λ) = exp −1 2Dk(~ρ) et B⊥(~ρ/λ) = exp −1 2D⊥(~ρ)
On doit maintenant d´eterminer les deux composantes de la fonction de structure de la phase r´esiduelle : D⊥ et Dk.
3.1.3 Estimation de D⊥
⊥(~r, t), la composante orthogonale de la phase r´esiduelle n’est pas du tout corrig´ee par le
miroir. Donc on peut consid´erer que sa statistique suit celle de l’atmosph`ere, c’est-`a-dire celle de Kolmogorov.
Sa fonction de structure peut donc se calculer grˆace `a des m´ethodes de type Monte-Carlo, en effectuant un grand nombre de r´ealisations d’´ecrans de phase turbulente pour un r0 donn´e
(celui de l’observation !), et en privant ces phases de la composante qui aurait pu ˆetre corrig´ee par le miroir k. Cette fonction de structure sature aux alentours de la distance entre 2 action- neurs, r´esultat ais´ement compr´ehensible. En effet, lorsqu’on corrige la phase turbulente de k,
3 Reconstruction de FEP – ´etude de NGC 7469
on lui enl`eve tout ce qui est corrigeable, c’est-`a-dire toutes les fluctuations dont la longueur caract´eristique est sup´erieure `a la distance inter-actionneurs.
De plus, du fait de sa d´ependance `a la statistique de Kolmogorov, c’est une fonction de (D/r0)5/3. Elle peut donc ˆetre calcul´ee pour un D/r0 donn´e (1 par exemple !) et ˆetre ensuite
d´eduite pour une observation particuli`ere grˆace `a l’expression suivante : D⊥(~ρ)D/r0 = D⊥(~ρ)D/r0=1× (D/r0)
5/3 (3.7)