Application ` a la reconstruction de FEP

Compte tenu de ces propri´et´es, le reconstructeur MAP pourrait s’av´erer ˆetre un bon rem`ede aux limitations engendr´ees par l’utilisation d’un reconstructeur MC pour l’estimation de FEP.

En effet, celui-ci permet d’´eliminer le repliement de sous-mod´elisation par l’utilisation d’une matrice d’interaction estim´ee sur un espace de modes non tronqu´e et l’utilisation d’a priori spatiaux sur la phase turbulente. Il contient aussi une connaissance sur le bruit, `a l’instar du reconstructeur MC.

Reconstruction effective de la fonction de structure

Afin d’introduire le reconstructeur MAP pour l’estimation il est int´eressant de revenir sur le mod`ele de donn´ees. Rappelons qu’afin d’am´eliorer les performances de la reconstruction de FEP, nous cherchons une expression de h ˆkˆkti, le membre de gauche de l’´equation 3.11, afin d’estimer

Dk(~ρ). En effet, l’autre ingr´edient de l’expression de la FEP longue pose, donn´es dans l’´equation

3.5, D⊥(~ρ) d´epend uniquement de notre connaissance sur la turbulence, comme indiqu´e dans

l’´equation 3.7.

Suivant le mod`ele adopt´e jusqu’`a pr´esent, les mesures s’´ecrivent : w = D + n = D  k 0  + D  0 ⊥  + n

Ici, on consid`ere une matrice d’interaction sur une infinit´e de modes. La phase r´esiduelle estim´ee sur ces mesures par l’application du reconstructeur MAP s’´ecrit :

ˆ

 = Rmap(w − n) = Rmapw = R˙ map(D

 _k 0  + D  0 ⊥  ) (3.17)

On cherche maintenant une expression de ˆ_k, qu’on peut obtenir par projection dans l’espace des modes miroir :

ˆ

k= PkRmapw = P˙ k(RmapDk+ RmapD⊥) (3.18)

o`u P_k est le projecteur dans l’espace miroir.

Si on suppose maintenant que le reconstructeur MAP ´elimine une grande partie du repliement (grˆace `a l’introduction d’a priori spatiaux sur la phase), on a :

PkRmapD⊥≈ 0

qui traduit le fait que la composante RmapD⊥ de la phase reconstruite ne contient que des

modes appartenant `a l’espace orthogonal au miroir (on a d´eplier). De plus, on doit v´erifier :

3 Reconstruction de FEP – ´etude de NGC 7469

c’est `a dire que toute mesure d’une phase appartenant `a l’espace miroir est reconstruite comme une phase miroir par le reconstructeur.

On obtient alors une estim´ee de la covariance de la composante miroir de la phase r´esiduelle comme :

hˆ_kˆt_ki ≈ P_kRmaph ˙w ˙wtiRtmapPkt

et on peut estimer Dk(~ρ) `a l’aide de l’´equation 3.10.

Notons que pour que l’´equation 3.19 soit vraie, il faut adopter une matrice de covariance de bruit Cnw `a tr`es faibles valeurs. Sinon, l’estim´ee de k est biais´ee vers 0 par la r´egularisation et

donc, l’estim´ee de h_kt

ki sera sous-´evalu´ee.

Comme dans le cas MC, on utilise des matrices de covariances de pentes d´ebruit´ees (h ˙w ˙wti). Le reconstructeur MAP est alors adapt´e `a ce cas de pentes d´ebruit´ees, c’est `a dire qu’il est utilis´e dans sa version sous-r´egularis´ee. La m´ethode MAP, optimale pour la reconstruction d’´ecran de phase instantan´e, semble donc atteindre ces limites dans le cas de la reconstruction de FEP, o`u on manipule des grandeurs statistiques plutˆot que des s´eries de mesures instantan´ees.

Notons enfin que dans ce cas `a bruit tr`es faible, le reconstructeur MAP n’est pas pour autant ´equivalent au reconstructeur MC classique comme on aurait pu s’y attendre. C’est en fait une solution MC mais pas la solution MC de norme minimale. Ceci est du `a la pr´esence des a priori sur la phase, qui mˆeme en absence de bruit, r´egularise l’inversion.

Choix de la base de modes

La premi`ere ´etape de l’impl´ementation de cette m´ethode pour la reconstruction de la FEP est de choisir une bonne base de modes. En toute rigueur, les r´esultats ne doivent pas d´ependre de la base choisie, mais certaines bases sont plus pratiques `a manipuler que d’autres. Dans l’absolu, la base id´eale est celle donn´ee par la d´ecomposition en KL de l’espace de la turbulence. On connaˆıt parfaitement la variance de chaque mode dans la turbulence et on sait qu’elle est optimale pour la d´ecrire.

Toutefois, le mesures utilis´ees pour la reconstruction de FEP ont ´et´e acquises sur une phase turbulente, dont un certain nombre de modes (les modes miroir) ont ´et´e att´enu´es par le syst`eme. Il parait donc judicieux d’inclure la base de mode du syst`eme dans la base qu’on va utiliser pour reconstruire la phase r´esiduelle. Ceci a aussi pour cons´equence de simplifier l’expression du projecteur P_k qui correspond `a l’identit´e pour les modes du syst`eme et 0 partout ailleurs.

Comme nous l’avons vu, l’approche MAP permet en th´eorie de reconstruire la phase sur une infinit´e de modes. On est toutefois limit´e en pratique `a un nombre fini de modes qui peut ˆetre choisi en fonction des caract´eristiques du syst`eme. Dans le cas de NAOS dans le mode 14x14 sous-pupilles, le nombre de mesures est 288 et une base de 500 modes devrait donc pouvoir permettre de tirer toute l’information contenue dans celle-ci. On construit donc une base de 500 KL sur une pupille circulaire et obstru´ee.

Pour inclure les modes du miroir, qui constituent aussi une base d’un espace de turbulence restreint, on va ensuite soustraire `a chacun de ces KL sa composante miroir, c’est `a dire le r´esultat de sa projection sur l’espace du miroir. On obtient alors une famille de modes orthogonaux `a l’espace miroir. On diagonalise ensuite cette matrice de modes pour obtenir une base d’un espace restreint de la turbulence, orthogonal `a l’espace du miroir dont les modes sont statistiquement ind´ependants. On y enl`eve les valeurs propres les plus faibles (autant que de modes miroir) et

3.3 Nouvelles m´ethodes d’estimation

on ajoute `a ces nouveaux modes ceux du syst`eme. On obtient alors une base de l’espace de la turbulence ´elargi par rapport `a l’espace miroir et contenant ce dernier.

Fig._{3.11 – Variances des modes de la base optimale estim´ees} `

a partir de celle des KL (courbe marron) mesur´ee sur les ´ecrans de phase de la simulation (en bleu) et mesur´e sur la phase r´esiduelle de la simulation (en jaune).

La variance th´eorique de ces modes, dans l’atmosph`ere, peut- ˆetre estim´ee `a partir de celle des vrais KL. En effet, si P est la ma- trice de passage de la base des KL vrais vers la base des nouveaux modes alors :

Covmodes= PtCovklP

On travaille malgr´e tout sur une phase r´esiduelle, les premiers modes de la base ont ´et´e cor- rig´es par le syst`eme, leur variance est donc diminu´ee. Si on se place dans l’espace du syst`eme, on peut consid´erer en premi`ere approxi- mation que la variance des modes dans la phase r´esiduelle varie en l’inverse de la fr´equence spatiale associ´ee. On voit donc ici encore un avantage `a utiliser la base des modes du syst`eme, car on peut mod´eliser assez facilement l’allure du spectre de la phase r´esiduelle

dans notre base de modes. Pour les modes suppl´ementaires de la nouvelles base, le syst`eme ne les a pas corrig´es et leur spectre suit donc celui de Kolmogorov.