D´etermination du spectre spatial de l’objet

Comme nous l’avons vu dans la section pr´ec´edente, utiliser une r´egularisation quadratique de la d´econvolution n´ecessite la connaissance du spectre spatial de l’objet. Une m´ethode de type MV, (Mugnier & Velluet 2002), fond´e sur le travaux de th`ese d’Amandine Blanc (Blanc 2002; Blanc et al. 2003a) permet d’estimer cette DSP. J’en rappelle ici le principe.

Principe de la m´ethode

En revenant `a l’´equation 2.2, o`u ˜om = E[˜o], le spectre de l’objet peut-ˆetre mod´elis´e simple-

ment sous la forme suivante. Cette expression a le double avantage de poss´eder peu de param`etres et de permettre de reproduire le spectre d’objets tr`es diff´erents. Le spectre de l’image est lui ´egal au produit du spectre de l’objet par le module carr´e de la FTO (| ˜H(f )|2) plus du bruit :

2.2 Application `a l’imagerie de NGC 1068

Fig. _{2.1 – Image en bande Ks de NGC 1068. a) une image ´el´ementaire de la s´erie trait´ee. b)} moyenne des images de la s´erie recentr´ees avec l’algorithme MV. c) et d) idem pour l’´etoile de r´ef´erence. e) Ajustement du spectre de l’image par le mod`ele param´etrique de SO. f) FTO me-

2 D´econvolution d’images - ´etude de NGC 1068

Fig. _{2.2 – Image en bande Lp de NGC 1068. a) une image ´el´ementaire de la s´erie trait´ee. b)} moyenne des images de la s´erie recentr´ees avec l’algorithme MV. c) et d) idem pour l’´etoile de r´ef´erence. e) Ajustement du spectre de l’image par le mod`ele param´etrique de SO. f) FTO me-

2.2 Application `a l’imagerie de NGC 1068

Fig. _{2.3 – Image en bande M de NGC 1068. a) une image ´el´ementaire de la s´erie trait´ee. b)} moyenne des images de la s´erie recentr´ees avec l’algorithme MV. c) et d) idem pour l’´etoile de r´ef´erence. e) Ajustement du spectre de l’image par le mod`ele param´etrique de SO. f) FTO me-

2 D´econvolution d’images - ´etude de NGC 1068

en approximant le bruit comme gaussien stationnaire de variance σ2_N. Moyennant la connaissance de la FEP, donc de la FTO, on peut inverser cette ´equation, de la mˆeme fa¸con qu’on l’a fait pour la d´econvolution, `a l’aide d’une m´ethode de type MV. Ainsi, nous avons 4 param`etres `a estimer que l’on notera : Θ = {K, fo, p, σ_N2}.

Cette approche est similaire `a ce qui a ´et´e d´evelopp´e par Blanc et al. (2003a) au sujet de la diversit´e de phase, et qui consiste `a int´egrer l’objet hors du probl`eme.

En effet, si on consid`ere que le bruit est gaussien et que de plus, on fait l’hypoth`ese que l’objet aussi est gaussien (les probabilit´es des valeurs de ces param`etres suivent des distributions gaussiennes autour d’un objet moyen) et ind´ependant du bruit, alors l’image est aussi gaussienne, de moyenne dans le domaine de Fourier ˜Im(f ) = ˜Om(f )× ˜H(f ) et de variance : | ˜H(f )|2×SO(f )+

σ2_N(f ). On calcule alors la densit´e de probabilit´e de I en fonction des param`etres Θ qui n’est autre que la vraisemblance des donn´ees. On peut donc d´eriver une anti-log-vraisemblance `a minimiser en fonction des param`etres inconnus Θ :

J (Θ) =X f " log| ˜H(f )|2So(f ) + σN2  +| ˜I(f ) − ˜H(f ) ˜Om(f )| 2 | ˜H(f )|2_S O(f ) + σ2_N # . (2.4)

Tout comme dans le cas de la d´econvolution, le gradient de ce crit`ere peut ˆetre calcul´e analytiquement ce qui autorise `a minimiser J par une m´ethode de type gradient conjugu´e. De plus, il est possible de r´eduire le nombre d’inconnues `a 3, en op´erant le changement de variable µ = σ2<sub>n</sub>/K et en cherchant l’ensemble de param`etres Θ0 = {K, fo, p, µ} au lieu de

Θ = {K, fo, p, σn2} : si on annule de gradient de J (Θ0) par rapport `a K on obtient une expression

analytique de l’estim´e de ce dernier, ˆK, fonction de la valeur courante des 3 autres param`etres, ce qui acc´el`ere les calculs (voir Blanc 2002 chap.4 p.82).

Application aux images de NGC 1068

On applique donc cette m´ethode aux images de NGC 1068 dans les trois bandes, en uti- lisant comme FEP l’image de l’´etoile correspondante. Les r´esultats sont pr´esent´es au bas des figure 2.1, 2.2 et (2.3). L’ajustement r´ealis´e par l’algorithme de minimisation est pr´esent´e `a gauche, dans le domaine de Fourier de l’image. Le module carr´e de la TF de I − Im en trait

blanc est compar´e au produit de la DSP objet obtenue multipli´ee par le module carr´e de ˜H en trait pointill´e vert et `a la DSP de l’image en trait pointill´e rouge. La DSP du bruit est repr´esent´ee en pointill´e bleu. L’estimation de SO est pr´esent´e sur la partie droite, compar´ee (en

terme fr´equentiel) `a la FTO.

On remarque dans un premier temps, dans les bandes L0 et M, un l´eger sursaut d’intensit´e dans le spectre de l’image au niveau et au-del`a de la fr´equence de coupure du t´elescope comme on peut le voir sur la figure 2.4 qui montre une comparaison entre la DSPO et la F T O dans ces

deux cas. Une hypoth`ese pour expliquer la pr´esence de pic d’intensit´e est peut-ˆetre une l´eg`ere saturation de la source centrale dans ces bandes, ou encore une imparfaite correction de champ plat.

Ceci a pour effet de surestimer l´eg`erement la valeur du bruit dans ces 2 bandes mais n’affecte pas l’estimation des param`etres de la DSP objet. On remarque de plus que l’hypoth`ese de blancheur du bruit est bien respect´ee `a haute fr´equence, ce qui nous permet d’en avoir une excellente estim´ee, mˆeme si la valeur obtenue par l’estimation de DSPO est surestim´ee.

On remarque enfin que les spectres objet estim´es sont assez diff´erents entre la bande Ks d’une part et les bandes L0 _{et M d’autre part. Dans ces deux derni`eres, le spectre objet est tr`es plat}

2.2 Application `a l’imagerie de NGC 1068

Fig. _{2.4 – Comparaison entre la DSP de l’image (en pointill´es) et la moyenne circulaire de la} FTO (en trait plein) en bande L0 (gauche) et M (droite). La DSP image a ´et´e renormalis´ee pour permettre la comparaison.

(trait pointill´e dans les figure 2.3 et 2.4) alors qu’en bande Ks, un coude est nettement remarqu´e juste avant la fr´equence de coupure (trait plein de l’image 2.1). Ceci peut s’expliquer par la diff´erence de morphologie des images. On est en pr´esence d’une source centrale tr`es puissante, r´esolue (comme on le verra dans la section suivante) et relativement ´etal´ee, pos´ee sur un fond diffus, avec un contraste relativement important. Il n’y a donc pas de source ponctuelle dans l’image, pas de saut brusque, donc peu de hautes fr´equences. En revanche, en bande L0 _{et M,}

la source centrale est non r´esolue, il y a plus de hautes fr´equences dans l’image, le spectre de l’objet est plus plat.

Cette information pourra ˆetre utile pour l’interpr´etation scientifique des donn´ees, notamment pour la comparaison `a des mod`eles, autant que pour la d´econvolution.