Equations de Gross-Pitaevskii coupl´ ees

Comme dans le cas d’un ´echantillon « sans spin » (i.e. totalement polaris´e), dans l’ap- proximation de Hartree-Fock la fonction d’onde `a N corps est un produit factoris´e, tous les atomes occupant la mˆeme fonction d’onde `a un corps. Cependant, comme le spin est mainte- nant un degr´e de libert´e suppl´ementaire, la fonction d’onde `a un corps qui intervient dans ce produit est un spineur vectoriel Ψ = {ΨmF(r)}mF=−1,0,+1. L’´evolution du syst`eme est r´egie

et le faisceau extrait par le coupleur rf [175] : i~∂ΨmF ∂t |mF=0,±1 = hmFΨmF + X m_{F 0} WmFmF 0 rf Ψm_{F 0} (4.4) + X mF 0 UmFmF 0 | ΨmF 0 | 2  ΨmF,

avec hmF = p2/2M +VmF−M gz. On a introduit les constantes de couplage Uij = 4π~2aij/M ,

o`u aij est la longueur de diffusion pour une collision entre deux atomes dans les niveaux

Zeeman i et j. En posant ˜ΨmF = ΨmFe−imFωrft, on peut ´eliminer la d´ependance temporelle

explicite du couplage en faisant une approximation s´eculaire, qui ne conserve que le terme r´esonant avec la transition consid´er´ee (« approximation du champ tournant »).

Une simplification suppl´ementaire consiste `a restreindre ce syst`eme `a deux ´equations seule- ment. En effet, en r´egime de couplage faible (on pr´ecisera plus loin dans quelles conditions il faut se placer pour le r´ealiser ), l’´etat mF = +1 est tr`es peu peupl´e : on peut ne pas en tenir

compte et r´eduire le probl`eme `a deux niveaux seulement. Dans la suite de ce chapitre, nous ferons cette approximation syst´ematiquement. De plus, `a cause de la quasi-co¨ıncidence des longueurs de diffusion dans les ´etats triplets et singulets pour le rubidium 87 [176], on peut `

a une tr`es bonne approximation consid´erer que la longueur de diffusion est la mˆeme quelque soit les esp`eces mises en jeu dans la collision : ainsi dans la suite on ne notera plus les indices pour U et a (et on prendra a ≈ 5.31 nm [73]). On obtient ainsi les ´equations :

i~∂ ∂t ˜ ΨmF=−1 = [~δrf + L−1] ˜ΨmF=−1+ ~Ω rf 2 ˜ ΨmF=0 (4.5) i~∂ ∂t ˜ ΨmF=0 = L0Ψ˜mF=0+ ~Ω rf 2 ˜ ΨmF=−1. (4.6)

On a d´efini les op´erateurs diff´erentiels LmF=−~2∆/2M + VmF + U n(r), avec les potentiels

donn´es pr´ec´edemment et la densit´e totale n(r) =| ˜ΨmF=−1 |2 + | ˜ΨmF=0 |2. Le d´esaccord

δrf vaut δrf=V0− ~ωrf, en comptant par rapport au fonds du potentiel pi´egeant V0 =| gF |

µBB0+ M g2/2ω⊥2.

Toujours dans l’hypoth`ese d’un faible taux de couplage, on peut encore simplifier le pro- bl`eme en n´egligeant les interactions entre les atomes qui composent le laser. Par contre, les interactions entre les atomes qui restent dans le condensat et ceux qui sont coupl´es sont prises en compte. Sous ces hypoth`eses, la densit´e totale `a utiliser dans le terme non lin´eaire devient simplement n(r) ≈| ˜ΨmF=−1 |2, et L0 devient un hamiltonien « ordinaire » :

H0(t) =

p2

2M − M gz + U | Ψ−1(r, t) |

2 _{. (4.7)}

Nous avons introduit explicitement la d´ependance temporelle de l’hamiltonien : elle vient du terme de champ moyen, qui change dans le temps sous l’effet du couplage.

Solution adiabatique pour mF = −1 : Pour le niveau pi´egeant mF = −1, une difficult´e

suppl´ementaire, par rapport `a la r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger, vient de la non- lin´earit´e du probl`eme. Pour les atomes du condensat, nous la contournons en introduisant

une approximation adiabatique pour le condensat pi´eg´e. En r´egime stationnaire (i.e. pour t ≤ 0, avant d’appliquer le coupleur), ˜ΨmF=−1 n’est autre que la solution `a l’´equilibre ˜Φ−1

de l’´equation de Gross-Pitaevskii, avec le potentiel chimique µ0 :

[L−1+ ~δrf− µ0]Φ−1(r, 0) = 0. (4.8)

Cette fonction d’onde constitue la condition initiale `a partir de laquelle le couplage rf est appliqu´e. Pour t ≥ 0, le hamiltonien d´epend du temps par l’interm´ediaire de NmF=−1(t), qui

d´ecroˆıt dans le temps. A chaque instant, on doit donc introduire une base intantan´ee form´ee par l’´etat de plus basse ´energie Φ−1(r, t) de L−1, qui est le mode condens´e instantan´e, et les

excitations associ´ees, qui sont orthogonales `a cet ´etat. On peut donc ´ecrire `a chaque instant :

˜ ΨmF=−1(r, t) =  Φ−1(r, t) + δΨ(r, t)  e−iδrft−i Rt 0 µ(t0)dt0 ~ , (4.9)

avec le potentiel chimique instantan´e µ(t) et µ(0) = µ0. Dans le r´egime de Thomas-Fermi,

avec les notations introduites au chapitre I, la fonction d’onde instantan´ee s’´ecrit simplement :

Φ−1(r, t) = µ(t) U 1/2 1 − ˜x2− ˜y2 − ˜z2
1/2 . (4.10)

Comme au premier chapitre, on a introduit les variables spatiales ˜xi adimension´ees par

rapport aux tailles du condensat R et L. Il est important de noter que nous avons norm´ee Φ−1 `a NmF=−1(t), diff´eremment des conventions habituelles de la m´ecanique quantique mais

en accord avec l’interpr´etation de | Φ−1 |2 en termes de densit´e du condensat.

Le terme δΨ d´ecrit les niveaux excit´es. Initialement, nous les avons suppos´es non peupl´es, et donc δΨ(r, t = 0) = 0. Par contre, δΨ peut, en pr´esence du champ rf, d´evelopper une valeur non-nulle `a cause de couplages non-adiabatiques. En rempla¸cant dans l’´equation (4.5), et en projetant sur Φ−1(r, t), on obtient une ´equation contenant en effet des termes d´ecrivant

le m´elange entre fondamental et ´etats excit´es (d´ependants du temps). Si on suppose que le couplage est adiabatique, ce terme est tr`es petit et la population des niveaux excit´es reste n´egligeable au cours du temps. Alors, l’´equation pour la population NmF=−1 est simplement

r´egie par le terme de couplage rf : d

dtNmF=−1≈ Ωrf

2i Z

d3r Φ∗₋₁(r, t) ˜ΨmF=0(r, t)eiδrft+i Rt

0 µ(t0)dt0

~ + c.c. (4.11)

R´eduction `a une ´equation de type Schr¨odinger : Les approximations successives que nous avons faites nous ont permis de r´eduire le probl`eme `a celui d’un niveau discret, le mode du condensat, coupl´e `a un continuum de modes propagatifs (les ´etats propres de H0).

Ce probl`eme est bien connu, et le formalisme de la r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger d´ependante du temps va pouvoir s’appliquer `a l’´equation d´ecrivant la dynamique du laser. La m´ethode habituelle [177] consiste `a d´ecomposer la fonction d’onde ˜ΨmF=0 sur les ´etats

propres du continuum. Dans notre article [51], nous avons suivi cette voie, en n´egligeant toutefois l’effet r´epulsif exerc´e par le champ moyen du condensat : dans cette approximation, la gravit´e est le seul moteur de l’extraction. Nous verrons plus loin que cette approximation, qui peut sembler brutale, est en r´ealit´e assez bonne dans le cadre de nos exp´eriences. Dans ce m´emoire, nous pr´esentons une approche alternative bas´ee sur l’utilisation du propagateur de l’hamiltonien H0 [60]. Bien qu’´equivalente en principe `a la d´ecomposition sur les modes du

continuum, cette m´ethode devient puissante dans le cadre de l’approximation semi-classique, et nous verrons qu’elle donne dans ce cas une pr´ediction particuli`erement simple pour le taux d’extraction.

Nous introduisons donc le propagateur de H0, d´efini comme

K0(rf, tf; ri, ti) = hrf | e −iRtf

ti H0(τ)dτ~ | r_ii (4.12)

dans le cas g´en´eral o`u H0 d´epend du temps, avec tf > ti. Les propri´et´es de K0 sont discu-

t´ees en d´etails dans le livre de R.P. Feynman et A. Hibbs [60], et certaines sont rappel´ees dans l’appendice D. On pourra ´egalement se reporter aux r´ef´erences [156, 174] qui traitent de l’application du formalisme du propagateur aux probl`emes d’optique atomique, et `a la r´ef´erence [178] pour une discussion de l’approximation semi-classique.

La solution de l’´equation inhomog`ene

i~∂ ∂t ˜ ΨmF=0 = H0Ψ˜mF=0+ ~Ω rf 2 ˜ ΨmF=−1 (4.13)

est donn´ee par la propagation du terme source `a l’aide de K0 :

˜ ΨmF=0(rf, t) = Ωrf 2i Z t 0 dt0 Z d3ri K0(rf, t; ri, t 0 ) ˜ΨmF=−1(ri, t 0 ). (4.14)

Sous cette forme, la d´enomination de propagateur est transparente : si on connaˆıt la fonction d’onde en ri, au temps t, alors grˆace `a K0 on peut propager cette fonction d’onde le long de

tous les chemins d’espace-temps aboutissant au point final (rf, t 0

). Nous verrons un peu plus loin que le chemin le plus important est celui qui serait effectivement suivi par une particule ob´eissant strictement aux lois de la m´ecanique classique. N´eanmoins, les trajectoires voisines (c’est-`a-dire celles dont l’excursion autour de la trajectoire classique int´egr´ee sur tout le trajet ne d´_{epasse pas ~) doivent en g´en´eral ˆetre prises en compte, en tant que fluctuations} autour du chemin classique. Nous pr´ecisons plus loin dans quelles conditions ces fluctuations jouent un rˆole mineur.