quasi-condensats
Pour comparer quantitativement nos observations `a la th´eorie pr´esent´ee au chapitre V, certaines pr´ecautions doivent ˆetre prises. En effet, `a cause de la fr´equence de pi´egeage trans- verse ´elev´ee (ω⊥ = 2π × 760 Hz) et du « faible » nombre d’atomes dans le quasi-condensat
(N0 ∼2 `a 7 × 104), le potentiel chimique est en fait deux `a trois fois plus grand que la
fr´equence transverse, si bien que le terme de pression quantique radial ne peut pas ˆetre en- ti`erement n´eglig´e. De plus, l’approximation semi-classique n’est pas toujours tr`es justifi´ee, car on a kBT ∼ 3~ω⊥pour les temp´eratures les plus basses. Enfin, le champ moyen exerc´e par
le nuage thermique intervient comme une correction suppl´ementaire `a haute temp´erature. Nous avons observ´e exp´erimentalement qu’un ajustement par une parabole `a deux dimen- sions et une distribution de Bose id´eale g2 reproduisait tout de mˆeme les images de mani`ere
satisfaisante, mais que les param`etres de cette parabole (R, L) montrent des d´eviations par rapport aux lois attendues dans le r´egime de Thomas-Fermi. Nous revenons sur ce point un peu plus loin, en examinant la longueur du quasi-condensat.
6.4.1
Largeur spectrale
Pour le moment, nous nous contentons de noter que l’approximation de densit´e locale permet de prendre en compte ces effets, qui ne modifient que le profil de densit´e n0. En
effet, dans cette approximation, la fonction de corr´elation et la distribution en impulsion, d´ependent seulement de Lφ et de la densit´e 1D n1( ˜X), avec une d´ependance tr`es molle
sur la forme fonctionnelle exacte de n1. En pratique, nous utilisons toujours l’ajustement
`
a deux dimensions par une parabole et une fonction de Bose (appendice B). Comme pour un condensat « normal », le nombre d’atomes dans le quasi-condensat N0 est obtenu par
int´egration sur l’image, et sa longueur L est fournie par le programme d’ajustement. La temp´erature est toujours d´eduite d’un ajustement sur les ailes de la distribution thermique, en utilisant la direction radiale. On en d´eduit n1(0) par la formule n1(0) = 15N0/16L9.
Ces informations permettent de calculer Lφ par Lφ = ~2n1(0)/M kBT . L’´echelle caract´e-
ristique pour la largeur spectrale du quasi-condensat est donn´ee par la largeur Doppler qui correspond `a pφ = ~/Lφ, c’est-`a-dire
∆νφ= 1 2π 2~kL M Lφ = 1 π vR Lφ . (6.16)
En principe, la largeur Doppler dˆue `a l’impulsion lib´er´ee selon l’axe long pendant l’expansion, pexp, devrait ˆetre prise en compte ´egalement. Cependant, comme nous l’avons d´ej`a indiqu´e,
pour nos param`etres, nous estimons qu’elle contribue `a la largeur pour 50 Hz au plus, soit bien moins que la largeur mesur´ee et la r´esolution de l’exp´erience. La largeur Doppler associ´ee `
a ~/L est a fortiori n´egligeable. Nous n’avons donc pas inclus ces contributions dans notre analyse.
6.4.2
Extraction de la largeur Doppler
Par contre, nous devons tenir compte des causes « techniques » d’´elargissement discut´ees plus haut, en particulier la largeur finie du pulse, les vibrations r´esiduelles des miroirs, et l’oscillation du centre de masse observ´ee. En l’absence d’information d´etaill´ees sur ces causes d’´elargissement, nous avons suppos´e qu’elles ´etaient ind´ependantes de la temp´erature et du nombre d’atomes dans le quasi-condensat, et qu’elles n’affectaient que la fr´equence relative des atomes et des faisceaux. Dans ces conditions, une mod´elisation raisonnable consiste `a consid´erer une fonction d’appareil fres gaussienne, de largeur `a mi-hauteur wres constante.
Le spectre Doppler attendu pour le quasi-condensat ´etant Lorentzien, de largeur α∆νφ, le
spectre mesur´e est donc d´ecrit dans notre mod`ele par la convolution d’une Lorentzienne et d’une Gaussienne, une fonction connu dans la litt´erature sous le nom de profil de Voigt et bien connue en spectroscopie pour d´ecrire l’´elargissement Doppler d’une raie atomique.
Dans notre cas, la Lorentzienne pr´edomine en g´en´eral largement sur la Gaussienne. Parce que le rapport signal `a bruit n’est pas assez ´elev´e, on ne peut pas extraire de mani`ere fiable
9Nous avons v´erifi´e que la valeur de n
1(0) d´ependait peu de la m´ethode utilis´ee, mais diff´erons la discussion
les contributions relatives de la Gaussienne et de la Lorentzienne au profil total par des ajustements sur les spectres individuels (en laissant les deux param`etres (α, wres) libres).
Nous avons donc extrait la demi-largeur globale ∆νM de chaque spectre (un ajustement
Lorentzien ou par un profil de Voigt donne les mˆemes r´esultats), que nous avons report´e sur la figure 6.13. Un ajustement de ∆νM sur la gamme enti`ere de temp´erature est ensuite
effectu´e d’apr`es la loi
∆νM = α∆νφ 2 + r w2 res+ α∆νφ 2 2 , (6.17)
qui donne la demi-largeur d’un profil de Voigt, en fonction des demi-largeurs wres de la
Gaussienne et α∆νφ de la Lorentzienne. Nous obtenons ainsi le meilleur ajustement pour
wres= 176(16) Hz et α = 0.65(5)(5). 0.3 0.2 0.1 0.0 30 25 20 15 10
T/T
fT
/T
fL/L
CDn
f[Hz]Dn
f[Hz]
30 20 10 500 400 300 200 100D
n
mes[H
z]
500 400 300 200 500 400 300 200 100 0(a)
(c)
(b)
Fig. 6.13 – (a) Largeur spectrale apr`es moyenne, en fonction du param`etre ∆νφ∝ T /Tφ. La
courbe continue indique le r´esultat d’un ajustement par un profil de Voigt, la composante Lorentzienne correspondant aux fluctuations de phase. La courbe en pointill´es indique la largeur spectrale qu’on attendrait si les fluctuations de phase ´etaient absentes, en tenant compte de la r´esolution finie de l’exp´erience. Nous indiquons ´egalement les variations de T /Tφ sur la figure (b), et la longueur de coh´erence mesur´ee, d´efinie comme LC = ~/∆p
(cercles), sur la figure (c). Le calcul du chapitre V, qui pr´edit LC = ~/0.67Lφ, est trac´ee sur
le mˆeme graphe pour la comparaison. La longueur physique du condensat, qui varie entre 140 et 120 µm, est nettement sup´erieure `a LC.
6.4.3
Longueur de coh´erence
La pente obtenue se compare favorablement aux calculs du chapitre V. Elle serait ´egale `a 1/2 pour un gaz uniforme, et la valeur que nous mesurons refl`ete l’inhomog´en´eit´e du profil de densit´e. Nous avons obtenu au chapitre V α = 0.67 dans le r´egime de Thomas-Fermi 3D, et α = 0.63 dans le r´egime de Thomas-Fermi 1D. La valeur interm´ediaire que nous mesurons pourrait refl´eter le fait que nos exp´eriences ont ´et´e r´ealis´ees dans un r´egime interm´ediaire, bien que l’incertitude sur α ne permette pas de l’affirmer sereinement. Notons que l’approximation de densit´e locale se r´ev`ele cruciale pour obtenir cet accord. Si on utilise en effet la relation Tφ= 15N0(~ωx)2/µkB, ´etablie dans le r´egime de Thomas-Fermi `a 3D, on trouve une pente α
plus petite (0,4), et en moins bon accord avec la th´eorie. Utiliser l’approximation de densit´e locale et la formule Tφ = ~2n1(0)/M LkB permet de s’affranchir des effets qui modifient
le profil de densit´e et le potentiel chimique, comme la pression quantique et l’interaction avec le nuage thermique. Ainsi, la distribution en impulsion prend une forme pratiquement universelle, qui d´epend tr`es peu du confinement transverse.
Ce tr`es bon accord entre th´eorie et exp´erience valide exp´erimentalement les pr´edictions de [41] : il montre en particulier que la contribution des fluctuations de densit´e `a la fonction de corr´elation est faible. De plus, il confirme qu’il est correct de ne consid´erer que la contribution des excitations de la branche axiale `a la fonction de corr´elation du quasi-condensat. Comme on le voit sur 6.13, ces r´esultats indiquent une longueur de coh´erence (que nous d´efinissons ici par rapport `a la largeur en impulsion mesur´ee, LC = ~/∆p ) r´eduite par un facteur
Tφ/T , compris entre 1/6 et 1/26, par rapport `a l’extension physique du quasi-condensat.
L’exp´erience d’interf´erom´etrie men´ee `a Hannovre [210] atteint des conclusions similaires, en travaillant directement sur la fonction de corr´elation spatiale .