(i. e. apr`es environ un milliard d’ann´ees). La quantification pr´ecise de ces effets, `a la fois sur l’expansion de l’Univers `a proprement parler, et sur les observables (i. e. la propagation de la lumi`ere), est cependant d´elicate. C’est un sujet tr`es actuel et tr`es actif, et d’autant plus pressant que nous entrons dans une phase de cosmologie de pr´ecision o`u les observations sont de plus en plus fines, de sorte que les impr´ecisions de mesure sont peut-ˆetre d´ej`a3 en de¸c`a des erreurs syst´ematiques, notamment de celles qui proviennent de l’interpr´etation de ces donn´ees dans le cadre th´eorique de la cosmologie ho-mog`ene qui, malgr´e son succ`es, est cependant inexacte.
11.2 G´eom´etrie des mod`eles homog`enes et
iso-tropes
Nous allons voir que l’homog´en´eit´e et l’isotropie restreignent consid´erablement la forme de la m´etrique. Il y a plusieurs mani`ere d’arriver `a cette m´etrique. Nous en proposons une parmi d’autres ici4. (Il existe des d´emonstrations purement math´ematiques et rigoureuses).
11.2.1 Syst`eme de coordonn´ees synchrones et
como-biles
Le contenu d’un tel Univers ne peut ˆetre qu’un (ou plusieurs) fluides par-faits de densit´e et de pression uniformes dans l’espace, mais pouvant ´evoluer dans le temps. Les ´equations p = cste et ρ = cste doivent donc d´efinir des hypersurfaces globales Σ (i. e. des espaces `a trois dimensions) de genre es-pace. L’espace-temps M doit ˆetre feuillet´e par ces hypersurfaces et a donc la topologie M = Σ × R. Autrement dit ces ´equations d´efinissent une notion naturelle de simultan´eit´e globale : l’ensemble des points d’une hypersurface ρ = cste ont pour coordonn´ee un certain temps commun t, que l’on appellera le temps cosmique (ou temps cosmologique).
Il faut comprendre que l’Univers ne peut pas paraˆıtre isotrope pour tous les observateurs. Consid´erons par exemple le CMB qui est un fluide de photons. Si l’on se d´eplace par rapport `a ce fluide, alors on voit un bain de photons qui est d´ecal´e vers le bleu (blueshift en anglais) devant nous, et d´ecal´e vers
3. Il s’agit d’une question ouverte.
4. Une m´ethode consistant `a utiliser l’´equation de conservation ∇µTµν = 0 pour le fluide cosmique est ´egalement tr`es ´el´egante.
11.2 G´eom´etrie des mod`eles homog`enes et isotropes 145
le rouge (redshift ) derri`ere nous, au lieu d’observer des propri´et´es similaires dans toutes les directions5. Afin de pouvoir exploiter la propri´et´e d’isotropie il nous faut donc l’appliquer `a des observateurs privil´egi´es qui sont li´es au fluide, c’est-`a-dire qui sont comobiles avec le fluide. On les appelle aussi en cosmologie les observateurs fondamentaux. En fait les ´el´ements infinit´esimaux du fluide co¨ıncident avec ces observateurs.
Il est alors naturel de chercher `a introduire un syst`eme de coordonn´ees adapt´e, comobile, c’est-`a-dire dans lequel chaque ´el´ement infinit´esimal de fluide a des coordonn´ees (x1, x2, x3) constantes dans le temps. En particulier, la quadrivitesse des ´el´ements de fluide doit valoir uµ = (u0, 0, 0, 0) dans ce SC. On va par ailleurs chercher un SC tel que le temps propre de tous ces observateurs soit ´egal entre eux, c’est-`a-dire de telle sorte que les horloges de tous les ´el´ements de fluide marchent au mˆeme rythme et indiquent toutes le mˆeme temps t (le temps cosmique introduit plus haut). On parle de coor-donn´ees – ou de jauge – synchrones. Ainsi on veut imposer dτ = dt, de sorte que u0 = dt/dτ = 1.
Mais un tel syst`eme de coordonn´ee existe-t-il ? Les ´el´ements de fluide sont libres et suivent des g´eod´esiques. Il nous faut donc trouver un SC dont la m´etrique admet uµ = (1, 0, 0, 0) pour g´eod´esiques. En ´ecrivant l’´equation des g´eod´esiques on trouve alors
˙u0+ Γ000= 0 (11.1)
˙ui+ Γi00= 0 (11.2)
o`u l’on a utilis´e ui = 0 et u0 = 1. Par ailleurs ˙u0 = 0 et ˙ui = 0, et on doit donc avoir Γ000 = Γi00 = 0 dans tout SC comobile et synchrone. On montre que ces ´equations sont satisfaites si g0i = 0, g0i= 0, et g00= −1, comme on pourra le v´erifier. La m´etrique en coordonn´ees comobiles synchrone produit donc l’´el´ement de longueur suivant
ds2 = −c2dt2+ gijdxidxj (11.3) qui est adapt´e `a l’´etude des Univers homog`enes et isotropes dont la topologie, on l’a vu, est Σ×R, ce qui est manifeste dans l’´el´ement de longueur ci-dessus. Il faut noter que l’homog´en´eit´e et l’isotropie spatiale n’ont pas encore ´et´e impos´ees `a ce stade. En revanche, ce qu’on a fait est de d´efinir un SC adapt´e `
a la topologie de l’espace-temps et dans lequel on peut requ´erir de fa¸con
5. C’est d’ailleurs le cas du CMB tel qu’on l’observe depuis la Terre : la Terre se meut dans le CMB et on voit donc un dipˆole blueshift/redshift dans le CMB ; il faut soustraire ce dipˆole pour observer un CMB quasiment isotrope, aux fluctuations primordiales pr`es, qui sont de l’ordre de 10−5 en valeur relative.
11.2 G´eom´etrie des mod`eles homog`enes et isotropes 146
non-ambigu¨e ces propri´et´es. Il apparait en effet qu’il suffit maintenant de demander que la m´etrique purement spatiale gij soit homog`ene et isotrope, c’est-`a-dire aussi que les hypersurfaces Σ soient maximalement sym´etriques.
11.2.2 M´etrique FLRW
Comme cela a ´et´e vu en TD, cette analyse restreint alors les formes possibles de la m´etrique gij, et l’on obtient les m´etriques de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker, ou FLRW. Ces trois m´etriques possibles sont donn´ees par ds2 = −c2dt2+ a(t)2 dr2 1 − kr2 + r2d2Ω (11.4) avec k = +1, k = 0, ou k = −1, et d2Ω = dθ2 + sin2θdφ2. Les hyper-surfaces spatiales sont respectivement sph´eriques, plates, et hyperboliques. Ces m´etriques d´ecrivent donc respectivement un Univers sph´erique, ferm´e, de volume fini et sans bords, un Univers plat et infini, et un Univers ou-vert et infini. La g´eom´etrie de ces espaces a ´et´e davantage ´etudi´ee en TD. La m´etrique est ici ´ecrite en coordonn´ees sph´eriques (t, r, θ, φ), avec r sans dimension, tandis que a(t), le facteur d’´echelle (cf. Section 3.6), d´ecrivant l’expansion des sections spatiales, a la dimension d’une longueur. Ce sont des coordonn´ees comobiles de telle sorte qu’une galaxie, par exemple, qui a pour coordonn´ees (r, θ, φ) `a un instant donn´e, a encore ces mˆemes coor-donn´ees `a un instant ult´erieur ind´ependamment de l’expansion de l’Univers, pour peu en tout cas que cette galaxie n’ait pas de vitesse particuli`ere par rapport aux fluides cosmiques (c’est-`a-dire, essentiellement, le CMB). Un changement de variable am`ene l’´el´ement de longueur sous une forme alternative que nous utiliserons ´egalement dans la suite :
ds2 = −c2dt2+ a(t)2 dχ2+ Sk(χ)2d2Ω (11.5) avec
Sk(χ) = sin χ si k = 1 Sk(χ) = χ si k = 0
Sk(χ) = sinh χ si k = −1 (11.6) Notons que dans le cas plat (k = 0) on peut aussi utiliser des coordonn´ees cart´esiennes avec un ´el´ement de longueur ´equivalent donn´e par