l, ´emettant de la lumi`ere vers l’observateur (situ´e `a t = t0 et χ = 0) `a un instant te. Ces deux ´ev´enements sont vus sous un angle θ, par l’observateur, de sorte que leurs coordonn´ees sont, sans perte de g´en´eralit´e (te, χe, 0, 0) et (te, χe, θ, 0). On cherche la distance physique s´eparant ces deux ´ev´enements ` a t = te : il s’agit de l = Z θ 0 a(te)Sk(χe)dθ = a(te)Sk(χe)θ (12.25)
(cf. dt = 0, dχ = 0, dφ = 0 dans l’´el´ement de longueur FLRW). On en d´eduit dA = l/θ = a(te)Sk(χe). Avec a(te) = a0/(1 + z) il vient :
dA= a0Sk(χ(z))
1 + z (12.26)
On remarque une relation entre distance angulaire et distance luminosit´e : dA = dL/(1 + z)2. Il se trouve que cette derni`ere relation est un r´esultat g´en´eral valable dans tous les espace-temps (pas n´ecessairement homog`enes ni isotropes). C’est le th´eor`eme (non-trivial) de r´eciprocit´e : on a toujours dA = dL/(1 + z)2.
12.3 D´etermination des param`etres
cosmolo-giques
Nous proposons ici un survol des techniques utilis´ees pour l’estimation de divers param`etres cosmologiques.
12.3.1 La constante de Hubble
La constante H0 joue un rˆole central en cosmologie. C’est l’inverse d’un temps, et son inverse donne une estimation correcte de l’ˆage de l’Univers T0 ∼ 1/H0. Par ailleurs la quantit´e dH = c/H0 est une distance, dite distance de Hubble, et qui est une bonne estimation de la taille de l’Univers observable, c’est-`a-dire de la taille de l’horizon des particules (voir chapitre suivant). En-fin H0 entre dans la loi de Hubble v = H0d qui est valable pour des petites distances d dH, ou, c’est ´equivalent, pour des vitesses de r´ecession v c, ou encore pour des redshifts cosmologiques petits z 1, avec v ∼ cz. A grand z, il faut utiliser la relation distance-redshift qui g´en´eralise la loi de Hubble, cf. Eq. (12.17).
12.3 D´etermination des param`etres cosmologiques 174
On d´etermine H0 `a l’aide de la loi de Hubble `a faible redshifts, o`u la cor-rection due `a l’acc´el´eration q0 peut-ˆetre n´eglig´ee (typiquement z ≤ 0.1, cf. Eq. (12.23). Par ailleurs il ne faut pas oublier que les galaxies sont en g´en´eral anim´ees de vitesses particuli`eres de l’ordre de 100km.s−1. Pour pou-voir n´egliger ces vitesses particuli`eres, on se restreindra aux galaxies ayant une vitesse de r´ecession v ≥ 1000km.s−1, c’est-`a-dire ayant un redshift sup´erieur `a 0.003. Au final, pour d´eterminer H0, on utilise donc la loi de Hubble dans l’intervalle z ∼ 0.003 − 0.1 ou encore ∼ 10M pc − 300M pc. Pour ce faire il faut maintenant disposer d’une mesure ind´ependante de la distance des objets que l’on consid´erera. C’est le point qui est de loin le plus d´elicat. D´eterminer la distance d’une source sans l’aide de la loi de Hubble est une tˆache non-triviale. Pour les objets proches, on peut par exemple utiliser la m´ethode du parallaxe qui exploite la diff´erence de position angulaire dans le ciel d’une ´etoile lorsqu’elle est observ´ee sur Terre `a six mois d’intervalle. C’est la seule m´ethode de mesure directe de distances que nous ayons `a disposition. La limite de cette m´ethode provient de la limite en r´esolution angulaire du t´el´escope utilis´e. On peut ainsi mesurer des distances jusqu’`a quelques centaines de parsec (mission satellitte Hipparcos, d´ecennie 1990), ce qui reste donc interne `a notre galaxie, et ne peut donc en aucun cas ˆetre utilis´e pour mesurer H0.
Pour aller plus loin, il faut se reposer sur des m´ethodes indirectes. La m´ethode principale consiste `a rep´erer des chandelles standard, c’est-`a-dire tous types d’objets (´etoiles, supernovae, . . . ) dont la luminosit´e intrins`eque est inva-riable d’une occurrence `a une autre. Les ´etoiles variables dites C´eph´eides (g´eantes jaunes) ont jou´e un rˆole particuli`erement important en astronomie. Ces ´etoiles ont une luminosit´e qui est fonction p´eriodique du temps, et il existe une relation entre la p´eriode et la luminosit´e intrins`eque. Il a donc suffi de mesurer directement, par la m´ethode du parallaxe, la distance des C´eph´eides proches (il en existe une petite dizaine dans le voisinage solaire dont la distance est ainsi accessible) pour d´eterminer leur luminosit´e abso-lue5. Ces C´eph´eides, promues ensuite au rang de chandelles standard, per-mettent alors des mesures indirectes de la distance de leurs galaxies hˆotes en comparant la luminosit´e intrins`eque et le flux re¸cu. C’est un exemple de construction d’une ´echelle de distance de proche en proche. Les C´eph´eides ´
etant particuli`erement brillantes, on peut r´esoudre des distances allant jus-qu’`a ∼ 30 Mpc par ce biais, ce qui permet d´ej`a une mesure de H0.
Il existe d’autres m´ethodes pour d´eterminer des distances. Nous avons par exemple cit´e dans la section pr´ec´edente la m´ethode de la photosph`ere en
12.3 D´etermination des param`etres cosmologiques 175
pansion qui a la particularit´e, elle, de ne pas demander la connaissance de la luminosit´e intrins`eque (puisque bas´ee sur la distance angulaire). Cependant la plupart des autres m´ethodes n´ecessitent bien la connaissance luminosit´e intrins`eque d’un objet. Un exemple important est l’utilisation de la loi de Tully-Fischer, qui est une loi empirique reliant la luminosit´e absolue d’une galaxie elliptique `a sa dispersion de vitesse6, et qui s’´ecrit sous la forme √
L ∝< v2 >. La constante de proportionnalit´e doit ˆetre d’abord d´etermin´ee en appliquant cette loi `a des galaxies proches dont les distances sont connues ind´ependamment, par exemple `a l’aide des C´eph´eides7. Ensuite, on peut uti-liser cette loi pour d´eterminer la distance de galaxies lointaines, en mesurant par effet Doppler leurs dispersions de vitesse, et en mesurant le flux lumi-neux re¸cu sur Terre. Terminons ce paragraphe par un mot sur les objets vraiment lointains. La m´ethode la plus efficace dans ce cas est celle bas´ee sur les supernovae de type Ia dont nous avons d´ej`a parl´e.
Toutes ces m´ethodes s’accordent pour donner (chacune avec des intervalles de confiance diff´erent) H0 ∼ 73km.s−1.M pc−1, `a, disons, plus moins dix pour cent pr`es, ce qui implique une premi`ere estimation de l’ˆage de l’Univers T0 ∼ 1/H0 ≈ 13.5 milliards d’ann´ees, et une distance de Hubble de 13.5 milliards d’ann´ees-lumi`ere soit environ 3000 Mpc. Une fois la constante H0 connue, la loi de Hubble aux petits redshifts peut-ˆetre utilis´ee dans l’autre sens pour d´eterminer cette fois la distance d’une source lointaine de fa¸con directe. Par cons´equent, les incertitudes sur la valeur de H0 impactent tr`es souvent l’incertitude sur la valeur d’autres param`etres cosmologiques. Nous y reviendrons. Pour cette raison, on introduit souvent un nombre, h70, d´efini par
H0 = h70× 70 km.s−1.M pc−1 (12.27) et on exprime la valeur des autres param`etres cosmologiques en fonction de h70 (s’il y a lieu d’ˆetre), afin de montrer qu’une incertitude sur h70 se r´epercute sur une incertitude sur ce param`etre (par exemple, un des Ωi,0).
12.3.2 Les param`etres Ω
Pour commencer, la densit´e critique ρc = 3H2
0/8πG est connue en fonction de h70. La densit´e de radiation peut ˆetre mesur´ee directement. On montre en effet que la grande majorit´e de l’´energie du rayonnement se trouve dans le
6. C’est-`a-dire `a la moyenne du carr´e des vitesses des ´etoiles li´ees gravitationnellement au sein de la galaxie
7. Nous sommes donc toujours dans l’id´ee d’une d´etermination de proche en proche des distances.
12.3 D´etermination des param`etres cosmologiques 176
CMB et non dans la lumi`ere ´emise par les ´etoiles et les galaxies. Une loi du rayonnement de corps noir8 donne alors cette densit´e d’´energie en fonction de la temp´erature de ce rayonnement9. On en d´eduit alors ρr,0 et on trouve Ωr,0 ≈ 5 × 10−5h−270 (12.28) qui est donc n´egligeable aujourd’hui. L’estimation du Ω des neutrinos d´epend du nombre d’esp`eces de neutrinos (trois sont connues `a ce jour mais cela n’est peut-ˆetre pas le fin mot de l’histoire), ainsi que de leurs masses. Quoiqu’il en soit il est correct de consid´erer qu’il est ´egalement n´egligeable.
La densit´e de baryons : la densit´e de mati`ere visible (lumineuse, i. e. essen-tiellement stellaire) est faible : Ωvisible,0 ∼ 0.003, tandis que l’on sait que la densit´e totale de mati`ere baryonique vaut Ωb,0 ∼ 0.04 ± 1 × h−270, qui pro-vient que ce nombre est n´ecessaire pour que la nucl´eosynth`ese primordiale produise le rapport 75%–25% d’hydrog`ene et d’h´elium. Cela sugg`ere qu’une grande partie des baryons se trouvent sous forme noire ou peu lumineuse10, par exemple sous la forme de gaz mol´eculaires froids (dihydrog`ene), de gaz chauds intergalactiques, ou encore naines brunes, naines blanches, trous noirs, ´
etoiles `a neutrons, etc.
La mati`ere noire : le rapport de la masse baryonique `a la masse totale dans les amas de galaxies (cette derni`ere ´etant notamment estim´ee par l’´etude de la dynamique interne des amas, mais aussi par effet de lentille gravitationnelle, etc.) est de l’ordre de 0.12h−3/270 (avec de fortes impr´ecisions ici), de sorte qu’on trouverait une densit´e totale de la mati`ere non relativiste (baryonique + CDM) de l’ordre de Ωm,0 ∼ 0.33h−170. Comme annonc´e dans les premiers chapitres, cela indique une forte pr´esence de mati`ere noire non baryonique et froide, dans des proportions de l’ordre de huit pour un. D’autres effets viennent conforter ce chiffre pour le Ωm,0. L’influence principale de la densit´e de mati`ere est naturellement le rythme de la formation des structures au cours du temps cosmique. Nous n’arborderons pas cette question dans ce cours, mais nous pouvons ajouter ici que plusieurs observables li´ees `a la formation des structures, et notamment le spectre des fluctuations de densit´es et l’´evolution du nombre d’amas au cours du temps, viennent confirmer que
Ωm,0 ∼ 0.3 (12.29)
8. On d´emontre `a partir de la loi de Planck du corps noir, que la densit´e d’´energie u d’un rayonnement `a la temp´erature T vaut u = σT4, o`u σ est la constante de Stefan-Boltzmann. 9. Aujourd’hui T ≈ 2.725 K, ce qui correspond `a une longueur d’onde dominante de l’ordre 1.8 mm, d’o`u le caract`ere micro-onde du fond diffus cosmologique – voir th´eorie du corps noir.
12.3 D´etermination des param`etres cosmologiques 177
Deux mesures orthogonales viennent alors compl´eter ce tableau. Le CMB est quasiment homog`ene et isotrope. Cependant on observe des petites fluc-tuations de temp´eratures selon la direction dans laquelle on le regarde. Ces zones un peu plus chaudes indiquent la pr´esence de surdensit´es de mati`ere qui formeront plus tard les grandes structures par effondrement gravitationnel. On peut d´ecomposer les anisotropies du CMB en harmoniques sph´eriques et obtenir ainsi le spectre de puissance angulaire du fond de rayonnement cosmo-logique. Ce spectre poss`ede des pics qui indiquent certaines tailles angulaires privil´egi´ees pour lesquelles les inhomog´en´eit´es sont les plus importantes. Une analyse de la physique sous-jacente montre que la position du premier pic est li´ee aux param`etres Ω. Les mesures du spectre de puissance angulaire des missions COBE puis WMAP ont alors permis de montrer que le Ω total doit ˆ
etre assez proche de 1, i. e. que l’Univers est plat ou quasiment plat (de cour-bure n´egligeable). `A notre ´epoque o`u la radiation est ´egalement n´egligeable, cela revient essentiellement `a dire que Ωm+ ΩΛ ≈ 1. Cela sugg`ere donc que le ΩΛn’est pas nul. Cela est en fait v´erifi´e de fa¸con totalement ind´ependante par l’´etude de la distance-luminosit´e, dont nous avons vu pr´ec´edemment qu’elle permettait de d´eterminer q0. L’utilisation des supernovae Ia jusqu’`a des red-shifts de z ≈ 1.5 a permis de sonder la loi de Hubble g´en´eralis´ee et de d´eterminer que l’Univers est acc´el´er´e avec
q0 = −0.55 ± 0.2 (12.30)
Rappellons que q0 = Ωm,0/2 − ΩΛ,0de sorte que l’on ´etablit le mod`ele concor-dant ΛCDM avec ΩΛ,0 ∼ 0.7 et Ωm,0 ∼ 0.3, qui, par ailleurs, s’ins`erent par-faitement bien dans tout le faisceau des observables (mesures directes de Ωm, CMB, formation des structures, etc.), et dont l’´etude d´etaill´ee demanderait un cours entier.
Un commentaire sur ce dernier r´esultat. On voit sur l’ Eq. (12.23) que la distance d’une source de redshift z est une fonction d´ecroissante de q0, de sorte qu’une galaxie apparaˆıt plus lointaine dans un Univers acc´el´er´e (q0 < 0) que dans un Univers d´ec´el´er´e (q0 > 0). Autrement dit aussi le flux φ re¸cu, Eq. (12.24) est une fonction croissante de q0 : les supernovae de type Ia apparaissent moins brillantes dans un Univers acc´el´er´e que dans un Univers d´ec´el´er´e. C’est bien ce que l’on a mesur´e. Cependant, il faut prendre soin de d´emontrer que des explications alternatives et peut-ˆetre plus naturelles qu’une acc´el´eration de l’Univers ne sont pas satisfaisantes ici. Par exemple l’extinction du flux lumineux par absorption et diffusion de la lumi`ere sur des nuages intergalactiques doit ˆetre prise en compte. Par ailleurs la plus faible luminosit´e des supernovae lointaines pourrait s’expliquer par des abondances chimiques diff´erentes dans les galaxies plus anciennes. Nous ne pouvons pas