Cin´ ematique

Remarque : on peut montrer que le signe de t₂− t₁ entre deux ´ev´enements E₁ et E₂ est un invariant de Lorentz, pour peu que l’intervalle entre ces deux ´ev´enements soit de genre temps, ce qui donne donc du sens aux notions (absolues) de futur et de pass´e utilis´ees plus haut.

Pour terminer, illustrons les r´esultats trouv´es en section 5.3.3, notamment sur la transformations des vecteurs de base lors d’une transformation de Lorentz (dite aussi un boost ). Les formules Eqs. (5.32) impliquent le graphe suivant, en vue de coupe (Fig. 5.2), puisque les axes prim´es sont engendr´es par les vecteurs de base prim´es. On note aussi que la simultan´eit´e dans le r´ef´erentiel R0, d´efinie par t⁰ = cst est diff´erente de celle d´efinie dans R. Les lignes rouges figurent le cˆone de lumi`ere.

Figure 5.2 – Transformations des coordonn´ees dans un boost le long de x.

5.6 Cin´ematique

La section pr´ec´edente traitait de la g´eom´etrie de l’espace-temps de la relati-vit´e restreinte. Nous pouvons maintenant passer `a l’´etude des mouvements des particules massives.

5.6 Cin´ematique 73

5.6.1 Trajectoires et temps propre

Un corps ponctuel d´efinit une courbe (continue) dans l’espace-temps. On l’appelle sa ligne d’Univers. Il y a plusieurs fa¸cons de la d´efinir. On pourrait se donner cette ligne d’Univers par l’ensemble des lieux x(t) en fonction du temps t d’un r´ef´erentiel R. C’est ce qu’on fait en g´en´eral en m´ecanique New-tonienne. Cela am`enerait `a une notion de vitesse coordonn´ee de la particule d´efinie comme

v = ^dx(t)

dt ^(5.33)

Cette param´etrisation n’est pas tr`es commode par contre puisque t<sup>0</sup> 6= t dans un autre r´ef´erentiel. Il est donc naturel d’introduire un param`etre r´eel indexant la position dans l’espace et dans le temps de la particule. On se donne donc la ligne d’Univers par quatre fonctions x^µ(λ), o`u λ est ledit param`etre. On peut toujours retrouver une param´etrisation de type newto-nienne en utilisant que t(λ) peut s’inverser pour trouver λ en fonction de t, et donc x(λ) = x(λ(t)).

Bien que l’on puisse choisir tout param`etre λ, on utilisera souvent le temps propre de la particule (i. e. le temps indiqu´e par une horloge embarqu´ee avec la particule), qui a l’avantage d’ˆetre un invariant de Lorentz. Rappelons en effet que l’intervalle ´el´ementaire s’´ecrit

ds² = −c²dt²+ dx² = −c²dt² 1 − dx cdt 2! = −c²dt² 1 − β²
= −^c 2dt2 γ2

de sorte que le temps propre ´el´ementaire dτ est reli´e de fa¸con tr`es simple `a l’intervalle ´el´ementaire via :

ds² = −c²dτ² (5.34)

o`u l’on rappelle l’expression du temps propre dτ en fonction du temps coor-donn´e :

dτ = ^dt

γ ^(5.35)

(γ est r´eel pourvu que la vitesse coordonn´ee n’exc`ede pas la vitesse de la lumi`ere !). Si, par contre, on veut d´ecrire la trajectoire d’un photon, on ne peut utiliser le temps propre du photon. En effet on a ds2 = 0 le long de la trajectoire du photon, et donc dτ = 0 (ce qui signifie que si le photon pouvait embarquer avec lui une horloge, cette horloge serait fig´ee, ce dont on peut d´eduire (entre guillemets seulement), que le temps n’avance pas pour les photons). Le temps propre n’est donc pas un param`etre appropri´e le long

5.6 Cin´ematique 74

de la trajectoire des photons. En revanche pour les particules massives se d´epla¸cant moins vite que la lumi`ere, on a dτ > 0 et donc le temps propre τ le long de la trajectoire est un param`etre admissible.

Dans la suite nous consid´erons donc une ligne d’Univers param´etr´ee par son temps propre : xµ(τ ).

5.6.2 Quadri-vitesse, impulsion, acc´el´eration

Par d´efinition, la quadrivitesse d’un corps ponctuel est un 4-vecteur

U^µ = ^dx µ(τ ) dτ ⁼  cdt dτ ^, dxⁱ dτ  (5.36) Puisque, par d´efinition, dt/dτ = γ, on peut exprimer cette quadrivitesse en fonction de la vitesse coordonn´ee v ou β = v/c (il est sous entendu ici que β est un 3-vecteur malgr´e l’absence de la notation en caract`ere gras) :

U^µ= (γc, γβc) (5.37)

La quadrivitesse en indices bas (covariants) est donc

U_µ= (−γc, γβc) (5.38)

et la norme de la (quadri)vitesse vaut donc

U² = U^µU_µ= −γ²c²+ γ²β²c² = −c²γ²(1 − β²) = −c² (5.39) et on note qu’elle est constante. Nous voulons maintenant g´en´eraliser la no-tion Newtonienne d’impulsion d’une particule de masse m : p_N = mv. Le plus direct semble de former la quadri-impulsion ainsi :

P^µ= mU^µ= (γmc, mγβc) (5.40)

La composante spatiale est donc mγβc = γp_N : la 3-impulsion relativiste p vaut l’impulsion Newtonienne multipli´ee par le facteur de Lorentz γ.

p = γmv (5.41)

A quoi peut correspondre la composante temporelle ? On note que γmc est homog`ene `a une ´energie divis´ee par c, et cela sugg`ere de poser que l’´energie de la particule vaut

5.6 Cin´ematique 75

Dans le cas o`u la particule est au repos, on a γ = 1 et donc

E = mc² (5.43)

qui est sans conteste la formule la plus c´el`ebre de la physique. Cependant ce n’est pas l’expression la plus g´en´erale : celle-ci contient un facteur γ pour une particule en mouvement. Si l’on d´eveloppe γ en puissance de 1/c, on obtient

E = mc²+ ¹ 2^mv

2+ O(1/c²) (5.44)

c’est-`a-dire, l’´energie de masse, puis l’´energie cin´etique Newtonienne, puis des corrections relativistes. Il faut aussi noter que γ diverge lorsque v → c i. e. lorsque β → 1. Ainsi on voit d´ej`a (sans avoir encore la loi dynamique) qu’il faudrait d´epenser une ´energie infinie pour qu’un corps massif atteigne la vitesse de la lumi`ere. C’est clairement impossible et la vitesse de la lumi`ere apparaˆıt alors comme ind´epassable, justifiant a posteriori l’hypoth`ese faite au tout d´ebut (revoir section 5.1).

L’identification de l’´energie avec cP⁰ n’a pas ´et´e justifi´ee outre mesure ici, et semble donc contestable. En fait il faudrait introduire le formalisme ha-miltonien pour identifier de fa¸con contrˆol´ee l’´energie au hamiltonien, et l’on retrouve alors le r´esultat E = γmc² (voir aussi section suivante pour une autre justification). Notons enfin que le carr´e de la quadri-impulsion vaut −m2c2, mais qu’il vaut aussi −E2/c2+ p2, et donc on a

E² = m²c⁴+ p²c² (5.45) Cette formule est plus utile que les pr´ec´edentes puisqu’elle permet aussi de couvrir le cas de particules sans masse, tels les photons. Auquel cas on trouve

E = |p|c (5.46)

Finalement en red´erivant la quadrivitesse par rapport au temps propre, on trouve la quadri acc´el´eration

A^µ= ^dU

µ

dτ ^(5.47)

On note qu’elle est (quadri)orthogonale `a la (quadri)vitesse puisque U² = cst implique que

Dans le document Observables in a lattice Universe: The cosmological fitting problem (Page 74-78)