3.6 La cosmologie Newtonienne
3.6.3 Dynamique de l’expansion de l’Univers
On voit donc que la loi de Hubble implique l’existence d’une quantit´e fixe χAB homog`ene `a une distance, la distance comobile, et d’un facteur d’´echelle a(t) tels que la distance physique entre A et B s’´ecrive
rAB(t) = a(t)χAB (3.21)
avec ln a(t) = R H(t)dt, c’esy-`a-dire la relation suivante entre le param`etre de Hubble et le facteur d’´echelle :
H(t) = ˙a(t)
a(t) (3.22)
ainsi que la loi de Hubble :
vAB = H(t)rAB (3.23)
3.6.3 Dynamique de l’expansion de l’Univers
La section pr´ec´edente indique que l’´evolution de l’Univers (i. e. l’´evolution temporelle des distances entre les points) ne d´epend que d’une seule fonction a(t), le facteur d’´echelle. Trouver la dynamique de l’Univers (Newtonien, mais cela sera ´egalement vrai en relativit´e g´en´erale) consiste donc essen-tiellement `a trouver l’´equation dynamique qui relie les d´eriv´ees de a(t) au contenu en mati`ere (respectivement au contenu en ´energie-impulsion en re-lativit´e g´en´erale).
3.6 La cosmologie Newtonienne 50
Pour ce faire on consid`ere un point O et une sph`ere de rayon comobile χ, i. e. de rayon physique r(t) = χa(t). Relativement `a O l’Univers est `a sym´etrie sph´erique, et la densit´e de mati`ere est homog`ene dans l’espace. Soit un ´el´ement de mati`ere de masse m sur cette sph`ere. On peut alors mon-trer que la r´esultante des forces gravitationnelles dues `a la mati`ere ext´erieure s’annule. Ainsi tout se passe comme si la masse m n’´etait soumise qu’`a la gra-vitation engendr´ee par la mati`ere int´erieure `a la sph`ere, et il en r´esulte, via les formules du chapitre 2, que l’acc´el´eration du point m (qui vaut ¨r(t) = χ¨a(t) le long du vecteur polaire), est donn´ee par :
χ¨a = −GMint(r)
r2 = 4πGr
3ρ(t)
3r2 = −4πGχ
3 a(t)ρ(t) (3.24) o`u ρ(t) est la densit´e de mati`ere dans l’Univers `a l’instant t. Clairement, la quantit´e de mati`ere ´etant conserv´ee, il est n´ecessaire que cette densit´e d´ecroisse lorsque l’Univers s’´etend. On a donc
r(t)3ρ(t) = r(t0)3ρ(t0) (3.25) soit encore ρ(t) =a0 a 3 ρ0 (3.26)
o`u l’on note ρ0 = ρ(t0) et a0 = a(t0). Rempla¸cant dans l’´equation dynamique, on trouve alors (noter que les distances comobiles χ disparaissent du calcul)
¨
a = −4πGρ0a
3 0
3a2 (3.27)
Remarquons tout de suite qu’`a moins d’avoir de la mati`ere ayant une ´energie n´egative3 (ρ0 < 0), on a toujours ¨a < 0, c’est-`a dire que l’Univers est tou-jours en train de d´ec´el´erer du fait de la gravitation (s’il part d’une phase d’expansion initiale). S’il y a suffisamment de mati`ere, alors clairement `a un certain point la gravitation l’emportera sur l’expansion et l’Univers devra entrer dans une phase de contraction (sc´enario Big Crunch, voir plus bas). Cette derni`ere ´equation admet pour int´egrale premi`ere
˙a2
2 =
4πGρ0a3 0
3a + E (3.28)
3. Ce paragraphe vaut pour la cosmologie Newtonienne seulement ! En RG il est pos-sible d’avoir une expansion acc´el´er´ee sans recourir `a une ´energie n´egative, mais par contre il faut un fluide ayant une pression n´egative et suffisamment grande.
3.6 La cosmologie Newtonienne 51
avec E constante d’int´egration. C’est une ´equation similaire `a celle trouv´ee pour le mouvement `a deux corps, E jouant le rˆole de l’´energie totale, ˙a2/2 celui de l’´energie cin´etique, et le potentiel effectif vaut
Veff(a) = −4πGρ0a
3 0
3a (3.29)
Il y a, l`a encore, trois cas dynamiques distincts possibles. Soit E est n´egatif, et on peut montrer (on le voit sur le graphe du potentiel effectif,cf. sch´ema en cours) qu’il existe une valeur maximale pour le facteur d’´echelle. Cette solution (pour sa forme exacte il faut r´esoudre l’´equation diff´erentielle) est de type Big Bang – Big Crunch, o`u l’Univers commence `a un certain moment avec une certaine densit´e initiale, et une expansion initiale, puis s’´etend, atteint sa taille maximale, et se recontracte sous l’effet de la gravitation. On montre que a(t) tend vers z´ero en un temps fini, atteignant ainsi la singularit´e future (o`u clairement la description Newtonienne n’est pas valide).
Les deux cas E = 0 et E > 0 sont des solutions sans Big Crunch : l’Univers continue de s’´etendre ind´efiniment. Dans le cas E = 0 cependant, sa vitesse d’expansion ˙a tend vers 0 pour t → ∞, tandis que dans le cas E > 0,
˙a → cst > 0 pour t → ∞.
Ces solutions continueront d’exister en relativit´e g´en´erale, pour peu que l’Uni-vers soit uniquement empli de mati`ere sans pression (ou aussi de la poussi`ere ou dust ). La diff´erence notable est qu’en RG la constante E s’identifiera de fa¸con plus fondamentale `a la courbure des sections spatiales4. La correspon-dance sera la suivante :
• E < 0 : Univers ferm´e `a courbure spatiale positive (i. e. sph´erique), donc de taille fini et sans bords.
• E = 0 Univers plat (courbure spatiale nulle), infini
• E > 0 Univers ouvert `a courbure spatiale n´egative (i. e. 3-g´eom´etrie en selle de cheval), infini.
On note en passant, et pour clore cette ´etude dynamique que l’on retrouve l’´equation de Friedmann de la cosmologie relativiste, en divisant Eq. (3.28) par a2 : H2 = 8πGρ0a 3 0 3a3 + E a2 (3.30)
4. Cela n’est vrai que pour un Univers contenant seulement de la mati`ere. L’introduc-tion d’une constante cosmologique brise la correspondance entre l’´energie totale (i. e. aussi la valeur de la densit´e de mati`ere par rapport `a la densit´e critique) et la courbure spatiale
3.6 La cosmologie Newtonienne 52
c’est-`a-dire, en utilisant Eq. (3.26) :
H2 = 8πG 3 ρ +
E
a2 (3.31)
Le cas limite E = 0 correspond donc `a une densit´e sp´ecifique, dite densit´e critique ρc, par
ρc= 3H
2
8πG (3.32)
(Cette densit´e critique n’est pas constante mais d´epend du temps via H(t)). Le destin de l’Univers apparait alors tr`es simplement dans ce mod`ele New-tonien na¨ıf. Il faut mesurer la constante de Hubble aujourd’hui `a l’aide de la loi de Hubble, en d´eduire la densit´e critique, estimer la densit´e moyenne de l’Univers aujourd’hui, et comparer ces deux valeurs. Si la densit´e aujourd’hui est sup´erieure (respectivement inf´erieure) `a la densit´e critique, alors l’Univers finira en Big Crunch (respectivement s’´etendra pour toujours).
Ces id´ees ont pr´evalu jusqu’`a encore assez r´ecemment (et malgr´e la prise en compte du rˆole du rayonnement ´electromagn´etique sur la dynamique de l’Univers - rˆole important aux ´epoques primordiales mais n´egligeable de nos jours). Cependant la d´ecouverte r´ecente de l’expansion acc´el´er´ee de l’Uni-vers a compl`etement boulevers´e cette discussion. La cosmologie moderne (qui commence avec les th´eories de l’inflation (≥ 1980), avec la cosmolo-gie observationnelle proprement dite (≥ 1990), le probl`eme de la constante cosmologique (≥ 1990), les probl`emes de la mati`ere noire et de l’´energie noire (≥1990/2000)) admet dor´enavant des descriptions bien plus vari´ees sur les destins possible de notre Univers. En particulier l’introduction d’une constante cosmologique brise la correspondance entre le rapport de la densit´e `
a la densit´e critique et la courbure spatiale ainsi qu’avec l’´evolution future de l’Univers. Voir Fig. 11.1 au chapitre 11.