avec les expressions E = γmc2 et p = γmv. La premi`ere ´equation justifie l’identification de P0 avec E/c puisqu’on reconnaˆıt dans le membre de droite l’expression de la puissance en th´eorie Newtonienne, et usant du fait, par ailleurs, que par d´efinition la puissance vaut la d´eriv´ee de l’´energie par rap-port au temps. La seconde ´equation est quasiment identique `a la seconde loi de Newton, au facteur γ pr`es. Il s’agit bien, dans le membre de droite, de la force Newtonienne, puisqu’on peut toujours se placer dans un r´ef´erentiel instantan´ement comobile avec la particule, et dans lequel γ vaut 1.
Concluons par un mot sur la covariance de cette ´equation dynamique Eq. (5.49). L’´equation est manifestement covariante de Lorentz si et seulement si les qua-driforces se transforment comme des vecteurs. En effet, on sait que le vecteur position se transforme comme
x0µ(τ ) = Λµνxν(τ ),
le temps propre ´etant un invariant de Lorentz. Pour cette mˆeme raison, les d´eriv´ees (quadri-vitesse et quadri-acc´el´eration) se transforment ´egalement de cette fa¸con. Ainsi en va-t-il donc aussi de la d´eriv´ee de la quadri-impulsion, la masse de la particule ´etant ´evidemment invariante sous les changements de coordonn´ees. Donc, dans une transformation de Lorentz, on a :
dP0µ dτ = Λ µ ν dPν dτ
et l’´equation dynamique g´en´eralisant la seconde loi, Eq. (5.49), conservera sa forme dans tous changements de r´ef´erentiels inertiels pour peu que les quadriforces se transforment ´egalement selon
F0µ = ΛµνFν
c’est-`a-dire, si elles se transforment comme un 4-vecteur. Dit autrement, les seules quadriforces admissibles sont celles s’exprimant comme un 4-vecteur, sous peine de briser la covariance de Lorentz et donc le principe de rela-tivit´e restreinte. Les forces ´electromagn´etiques, en particulier, sont bien 4-vectorielles.
5.8 L’´electromagn´etisme relativiste
Abord´e en TD.Troisi`eme partie
La th´eorie de la relativit´e
Chapitre 6
Vers l’espace-temps courbe
6.1 Comment faire une gravitation relativiste ?
Au premier abord construire une th´eorie relativiste de la gravitation semble assez simple. Il suffit a priori de rendre relativiste les ´equations fondamentales de la gravitation Newtonienne, `a savoir l’´equation de Poisson, et l’´equation donnant la force subit par une particule-test1.Ainsi on ´ecrirait naturellement la th´eorie la plus simple qui soit, `a savoir :
Φ = 4πGρ (6.1) o`u = −1 c2 ∂2 ∂t2 + ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 (6.2)
est l’op´erateur d’Alembertien. La 4-force subit par la particule massive serait par exemple
Fµ= −m∂Φ
∂xµ (6.3)
Remarque : quelques notations. Il existe une fa¸con compacte d’´ecrire le d’Alembertien, `a l’aide de la m´etrique plate ηµν et de son inverse qui vaut ηµν = diag(−1, 1, 1, 1) dans un syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes, et de la r`egle permettant de monter et descendre les indices :
= ηµν ∂ ∂xµ
∂
∂xν = ηµν∂µ∂ν = ∂µ∂µ (6.4)
1. Par d´efinition c’est une particule de masse infinit´esimale de telle sorte qu’on puisse n´egliger l’effet de son propre champ de gravitation sur sa propre trajectoire
6.1 Comment faire une gravitation relativiste ? 80
o`u l’on ´ecrit
∂µ = ∂
∂xµ (6.5)
La th´eorie pr´ec´edente a un probl`eme imm´ediat : elle n’est pas covariante de Lorentz. Le membre de gauche Φ est bien covariant de Lorentz, et mˆeme un invariant de Lorentz (cf TD) mais le membre de droite ne l’est pas. Cela est du `a la contraction des longueurs : dans un boost de Lorentz, une boite de taille L3 contenant de la mati`ere est contract´ee en une boite de taille L3/γ, de sorte que la densit´e n’est pas un invariant de Lorentz. On pourrait cependant rem´edier `a cela en utilisant une quantit´e que nous d´efinirons plus loin, le tenseur-´energie impulsion Tµν, et en particulier sa trace T ≡ Tµµ, qui est bien un invariant de Lorentz. On peut alors d´efinir la th´eorie suivante :
Φ = 4πGT (6.6)
et
Fµ= −m∂µΦ (6.7)
et cela suffit `a caract´eriser compl`etement la th´eorie gravitationnelle. C’est l’exemple le plus simple de ce qu’on appelle une th´eorie scalaire de la gravi-tation. On parle d’une th´eorie scalaire en r´ef´erence au champ Φ qui est un champ scalaire (c’est-`a-dire une fonction) sur l’espace-temps de Minkowski2. Dans une telle th´eorie, la gravitation apparait comme une force tout `a fait standard, au mˆeme titre que l’´electromagn´etisme rencontr´e pr´ec´edemment (cf TD) : la mati`ere (plus pr´ecis´ement l’´energie-impulsion) agit comme source du potentiel gravitationnel Φ, et le champ gravitationnel ∂µΦ r´eagit sur le mouvement des sources.
Le probl`eme majeur de cette th´eorie est qu’elle est invalid´ee par l’exp´erience. Par exemple, elle ne pr´edit pas la bonne valeur pour l’avance du p´erih´elie de Mercure, et ne pr´edit pas non plus de d´eflexion de la lumi`ere par une masse (nous reverrons cela plus loin). La relativit´e g´en´erale est fondamentalement diff´erente d’une telle th´eorie scalaire de la gravitation dans le sens o`u dans cette th´eorie la gravitation n’est pas une force standard, mais apparaˆıt li´ee `
a (ou traduite par) la courbure de l’espace-temps. Cela signifiera, de fa¸con plus fondamentale encore, que la gravitation est cod´ee dans les propri´et´es m´etrique de l’espace-temps, de telle sorte que le champ de gravitation est celui qui d´etermine les distances et les intervalles de temps. Pour arriver `a ces conclusions totalement neuves, il nous faut revenir `a l’universalit´e de la chute libre, rencontr´ee au chapitre 3.
2. Il y a une infinit´e de th´eories scalaires possibles, par exemple f (Φ, Φ) = 4πGT pour une fonction f quelconque