Mod´ elisation et discussion

Apr`es avoir pr´esent´e de fa¸con qualitative les mesures que nous avons r´ealis´ees, nous allons `a pr´esent nous attacher `a comprendre l’effet sur le retournement temporel des divers param`etres physiques importants du syst`eme. Pour cela, nous nous limiterons au cas ou le bruit externe est nul, celui-ci sera lui pris en compte dans la derni`ere partie de ce manuscrit. Nous avons pour l’instant repr´esent´e le logarithme d´ecimal du taux d’erreur binaire en fonction du d´ebit d’information, qui est un param`etre tr`es utile du point de vue de la communication. Mais cette repr´esentation masque une propri´et´e int´eressante, comme le montre la figure II.15, sur laquelle le logarithme d´ecimal du taux d’erreur binaire est trac´e en fonction de l’intervalle de temps entre deux symboles cons´_{ecutifs δt, et ce pour des tailles de base de 1, 2, 4 et 8 antennes.} On remarque sur ces courbes que le logarithme du TEB d´ecroˆıt de fa¸con lin´eaire en fonction de l’espacement entre les symboles, c’est-`a-dire en fonction de l’inverse du d´ebit. Si, de plus, on mesure la pente des droites obtenues pour chacune des base ´etudi´ees, de 1 `a 8 antennes, on s’aper¸coit que ces coefficients directeurs ´evoluent eux aussi de fa¸con lin´eaire en fonction du nombre M de capteurs utilis´es pour la transmission de l’information (Fig. II.16). Ainsi, le logarithme du TEB ´evolue, lorsque l’on utilise le retournement temporel, de fa¸con lin´eaire en fonction de M et de δt. Au contraire, dans le cas du filtrage adapt´e, le TEB est ind´ependant du nombre d’antennes pr´esentes dans la base. Les r´esultats de ces mesures exp´erimentales sont

0

2

4

6

8

10

10

10

10

10

Espacement entre les symboles (µs)

TEB

1 Ant.

2 Ant.

4 Ant.

8 Ant.

Fig. II.15 – Taux d’erreurs binaire pour un miroir constitu´e de 1, 2, 4 et 8 antennes.

confirm´es par l’approche th´eorique simple suivante. En th´eorie du signal, il est connu que la probabilit´e d’erreur d’une modulation BPSK antipodale, dont le taux d’erreur binaire est un estimateur, est reli´ee au rapport signal-sur-bruit par la formule suivante [56] :

Pe = Q $ 2Eb N0 % (II.10)

o`_{u Eb} est l’´_{energie d’un bit d’information, N0} l’´_{energie du bruit, et Q la fonction de Marcum,} d´efinie en fonction de la fonction d’erreur comme :

Q(x) = 1 2π ∞ ˆ x exp(−u2_{/2) du =} 1 2
1− erf(√x 2)  (II.11)

Ici, le bruit est uniquement du aux interf´erences inter-symbole cr´e´ees par le retournement temporel. Par ailleurs, le rapport signal `a bruit est sup´erieur `a 1 : on peut donc raisonnablement, en premi`ere approximation, ´ecrire le logarithme de la probabilit´e d’erreur comme :

log(Pe)≈ −Eb

N0 (II.12)

Dans le cas du retournement temporel et du filtrage adapt´e, le niveau d’´energie d’un bit aug- mente comme le carr´_{e du nombre d’antennes M}2, car il r´esulte des interf´erences constructives

0

2

4

6

8

−5

−4

−3

−2

−1

0

Nombre d’antennes dans le miroir

Pentes de log(TEB) (MHz)

y=−0.5*x−0.052

Exper.

Reg Lin.

Fig. II.16 – Evolution des coefficients directeurs de log(Pe) En fonction du nombre d’antennes

du miroir.

de chacun des signaux ´emis par les antennes de la base3. Dans le cas du retournement tempo- rel, le niveau des lobes augmente comme M car il r´esulte de la somme incoh´erente des bruits r´esultants de ces mˆemes signaux. On fait ici l’hypoth`ese que les diff´erents chemins entre les antennes de la base et d’un utilisateur sont parfaitement d´ecorr´el´es. Au contraire, dans le cas du filtrage adapt´e `a la r´eception, c’est d’une somme incoh´_{erente de M}2 signaux dont r´esulte le bruit : son ´energie ´_{evolue elle aussi en M}2. En r´esum´e, le logarithme de la probabilit´e d’er- reur ´evolue comme −E_b(1)/N0(1) et −ME_b(1)/N0(1) respectivement dans le cas du filtrage adapt´e `a la r´<sub>eception et du retournement temporel, avec Eb(1)/N0</sub>(1) le rapport signal `a bruit lorsqu’une seule antenne de la base est utilis´ee. Or, nous l’avons dit dans le premier chapitre de ce manuscrit, quand une impulsion courte est focalis´ee `a travers un milieu complexe, le carr´e de l’amplitude de l’impulsion focalis´ee est proportionnelle `_{a (τ ∆ν)}2, o`<sub>u τ est le temps</sub> caract´eristique d’att´<sub>enuation dans le milieu et ∆ν la bande passante utilis´ee. L’´energie moyenne</sub> des lobes secondaires cr´e´es par retournement temporel est quant `a elle donn´_{ee par τ ∆ν, comme} sch´ematis´e sur la figure II.17.

Si maintenant c’est une s´equence de bits qui est envoy´ee, tandis que l’amplitude d’un symbole reste constante, le RSB est d´egrad´e par l’ajout des bruits (i.e. des lobes secondaires) qui cor- 3_{Pour nos mesure nous avons normalis´e l’´energie d’´emission : l’´energie d’un bit et l’´energie du bruit doivent}

ainsi ˆetre divis´es par M2 pour respecter les courbes pr´ec´edente, ce qui ne change rien au raisonnement qui est expos´e.

Temps

Am

plitude

Fig. II.17 – Repr´esentation sch´ematique d’une impulsion compress´ee par retournement tem- porel. L’impulsion originale est reconstruite, ainsi que des lobes secondaires. L’amplitude de l’impulsion est proportionnelle `_{a τ ∆ν. La d´eviation standard des lobes secondaire (sch´ematis´ee} par la ligne en pointill´_{e) dure τ et son amplitude est de} √_{τ ∆ν.}

respondent aux symboles ´emis avant et apr`es lui. Plus pr´ecis´ement, le niveau des interf´erences inter-symboles r´esulte de la somme incoh´erente des lobes secondaires cr´e´<sub>es par les n bits en-</sub> voy´es sur la dur´<sub>ee τ d’une r´eponse impulsionnelle, soit n = τ /δt. Ainsi l’´energie moyenne</sub> des interf´erences inter-symboles s’´ecrit, en fonction des param`etres physiques importants du syst`eme consid´er´<sub>e, N0</sub>(1) ∝ τ2<sub>∆ν/δt. Cette relation permet enfin d’´ecrire le rapport signal `a</sub> bruit cr´e´e par retournement temporel pour une antenne :

Eb(1)

N0(1) = ∆νδt (II.13)

En conclusion, quand le rapport signal `a bruit est plus grand que 1, ce qui dans la pratique est toujours vrai dans le cas d’un communication MISO par retournement temporel et sans bruit externe, la probabilit´e d’erreur respecte la formule suivante :

log(Pe)≈ −∆νδtM (II.14)

Cette expression nous permet de justifier l’´evolution lin´eaire du logarithme de la probabilit´e

δt entre chaque symbole. Ainsi, le coefficient directeur de la regression lin´eaire obtenue sur la

figure II.16 n’est autre que la bande passante de notre syst`eme, que nous avions estim´ee `a 0.35 MHz `a -6 dB, et dont la valeur exp´erimentale est ici de 0.5 MHz. On observe un bon accord entre les deux valeurs.

Il faut cependant noter que cette discussion n’est valable, comme nous l’avons pr´ecis´e, que dans le cas ou l’on n´eglige le bruit externe. Nous verrons dans la derni`ere partie de ce chapitre, comment il est possible de prendre en compte ce bruit externe, et les cons´equences que cela implique lors de communications par retournement temporel.