II.3 Filtrage inverse ou filtrage adapt´ e ?
II.3.2 Comparaison des m´ ethodes dans le contexte des t´ el´ ecommunications
Par retournement temporel, d`es lors que l’on a connaissance des r´eponses impulsionnelles, nous avons vu qu’il est possible d’´emettre des messages constitu´es des symboles sj,k, avec j un utilisateur et k le num´ero du symbole, en envoyant le signal suivant par les i antennes de la base :
ai(t) =
j,k
hij(−t + tk)⊗ sj,k(t) (II.17)
o`u tk est le temps de focalisation de chaque symbole.
type BPSK, ou pourront ˆetre complexes afin de r´ealiser une modulation en phase `a m niveaux. Chaque utilisateur re¸coit alors des impulsions s´epar´ees du temps tk, modul´ees par les symboles
sj,k.
En utilisant le retournement temporel it´eratif, il est possible de r´ealiser exactement la mˆeme op´eration. D`es lors que l’on a connaissance des signaux eij(t), (i, j) ∈ [1, M] × [1, N], qui per- mettent de cr´eer sur chaque utilisateur l’objectif voulu, il est possible d’envoyer une trame d’information, en ´emettant par chaque antenne le signal suivant :
ai(t) =
j,k
eij(t + tk)⊗ sj,k(t) (II.18)
La figure II.24.(a) montre un extrait d’une suite pseudo-al´eatoire de 300 symboles {+1, −1}
que l’on souhaite ´emettre vers l’utilisateur 5. De l’information est envoy´ee vers chacun des uti- lisateurs simultan´ement, avec une distance inter-symboles fixe de 1.5 µs. Sur la figure II.24.(b), on repr´esente le message re¸cu par l’utilisateur 5, par retournement temporel (´equation II.17). Les symboles sont d´etect´es par minimisation de la distance quadratique moyenne par rapport `
a la constellation de r´ef´erence. Dans ce cas, un symbole re¸cu sur les 10 est faux. En utilisant la m´ethode it´erative (´equation II.18), les interf´erences inter-symboles sont minimis´ees, et le message est int´egralement bien re¸cu par l’utilisateur 5, comme le montre la figure II.24.(c).
Pour une communication avec un d´ebit de 0.5 MBs/s, nous avons mesur´e exp´erimentalement
un taux d’erreur binaire (d´efinit comme le nombre de bits re¸cus faux, sur le nombre de bits
total envoy´es) de 12% par retournement temporel, alors qu’il est de seulement 0.6% lorsque
l’on utilise la m´ethode it´erative. Cet exemple montre l’int´erˆet d’utiliser cette technique afin d’´eliminer les interf´erences inter-symboles et inter-utilisateurs. Nous allons maintenant compa- rer ces techniques plus en d´etail, en fonction du d´ebit souhait´e et du bruit externe.
Nous avons impl´ement´e une modulation de type PSK (phase shift keing) `a 1, 2 et 3 bits par
symboles, c’est `a dire des modulations de type BPSK, 4-PSK et 8-PSK. La modulation code
l’information des n bits grˆace `a la phase du symbole. Ainsi, pour une modulation binaire, la phase du symbole sera de 0 pour un +1 et de π pour un −1. De mˆeme, pour une modulation `
a 2 bits, c’est-`a-dire une 4-PSK, les phase seront 0, π/2, 2π/2 et 3π/2. Les signaux utilis´es
eij(t), (i, j) ∈ [1, M] × [1, N] pour la m´ethode it´erative ont ´et´e obtenus au bout de 15 it´erations.
La figure II.25 montre le taux d’erreur obtenu pour diff´erents d´ebits d’information. Celui-ci est calcul´e comme le nombre de bits erron´es sur le nombre de bits total ; pour chaque mesure nous avons transmis autant de bits qu’il ´etait n´ecessaire afin d’obtenir une estimation de la
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
(a)Message original
(b) Réception en utilisant le RT
(c)
Réception en utilisant le RTI
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
Fig. II.24 – Message `a transmettre `a l’utilisateur 5 (a), re¸cu en utilisant le retournement temporel (b), et la proc´edure it´erative (c).
probabilit´e d’erreur qui soit statistiquement acceptable. La m´ethode it´erative donne de biens meilleurs r´esultats, sp´ecialement pour les d´ebits d’information assez faibles.
Ces courbes sont assez ais´ees `a interpr´eter `a l’aide d’un mod`ele simple que nous allons d´evelopper ici. Quand nous focalisons un symbole sur un utilisateur, celui-ci est perturb´e par les autres symboles qui lui sont destin´es, mais ´egalement par les symboles qui sont destin´es aux autres utilisateurs auxquels on envoie de l’information. Chacun de ces symboles g´en`ere un bruit d’in- terf´erence ηi, o`u i est l’indice du symbole consid´er´e. Le bruit total cr´e´e sur un symbole donn´e est simplement la somme de ces interf´erences :
ηint= Nsym
i=1
ηi (II.19)
o`u on note Nsym le nombre total de symboles qui cr´eent les interf´erences.
1 2 0.5 0.1 1 2 0.5 0.1 1 2 0.5 0.1
(a)
(b)
(c)
RT
RT
RT
RTI
RTI
RTI
TEB
TEB
TEB
Débit en MBs/s
100 10-1 10-2 10-3 100 10-1 10-2 10-3 100 10-1 10-2 10-3Fig. II.25 – Taux d’erreur binaire en fonction du d´ebit d’information par retournement temporel et par retournement temporel it´eratif et pour diff´erentes modulations : BPSK (a), 4-PSK (b) et 8-PSK (c).
˜
σint2 , la variance totale du bruit ηint est : σint2 = Nsymσ˜int2 .
On calcule `a pr´esent le nombre total Nsymde symboles qui interf`erent, comme cela a ´et´e fait dans la partie pr´ec´edente pour un seul r´ecepteur : Nsym = Nτ /δt, avec N le nombre de r´ecepteur, τ le temps de r´everb´eration et δt le laps de temps entre deux symboles cons´ecutifs. En conclusion, on peut ´ecrire la dispersion totale du bruit comme :
σint = ˜σint
&
Nτ /δt (II.20)
nul, la probabilit´e de faire une erreur `a la r´eception d’un symbole est Perror = P (σint> 1). Si le nombre de symboles Nsymqui interf`erent est grand, on peut faire l’hypoth`ese que la distribution
du bruit suit une loi normale et la probabilit´e d’erreur est alors donn´ee par :
Perror = 12erfc 1 σint√2 (II.21) Concernant les modulations de type m-PSK, une bonne approximation de la probabilit´e d’erreur est donn´ee par [56] :
Perror = 1 log2(m)erfc $& log2(m) sin(mπ) σint√2 % (II.22) Comme on le voit sur la figure II.25, le taux d’erreur binaire est le mˆeme pour les modulations de type BPSK et 4-PSK. En revanche, il est plus ´elev´e dans le cas de la modulation 8-PSK mais il faut noter que cela n’a rien `a voir avec les techniques employ´ees, mais avec la modulation elle-mˆeme [56]. On a ´egalement repr´esent´e sur cette figure les courbes th´eoriques calcul´ees `a partir des formules II.21 et II.22. Le param`etre σint a par ailleurs ´et´e mesur´e en focalisant
une impulsion par chacune des 2 m´ethodes et en calculant la d´eviation standard des lobes
secondaires sur un intervalle de temps ´egal au temps de r´everb´eration du milieu τ . Ces courbes th´eoriques sont en tr`es bon accord avec les points mesur´es, ce qui tend `a confirmer notre approche.