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Mod` ele semi-classique

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 25-29)

1.3 R´ eponse de l’atome unique

1.3.1 Mod` ele semi-classique

Un mod`ele semi-classique aussi appel´e mod`ele en 3 ´etapes (propos´e par P. Corkum [Corkum 93, Kulander et al. 93]) permet de comprendre de mani`ere intuitive le processus de g´en´eration d’harmoniques. Ce mod`ele repose sur 3 ´etapes. Le mod`ele suppose un champ intense de basse fr´equence polaris´e lin´eairement (r´egime tunnel). Il est valide pour d´ecrire la g´en´eration d’harmoniques loin du seuil d’ionisation c.a.d. ~ωq Ip. Ces trois ´etapes, illustr´ees sur la figure I.4, sont :

-1- L’ionisation de l’atome par effet tunnel.

-2- L’acc´el´eration de l’´electron libre dans le champ laser.

-3- La recombinaison radiative de l’´electron.

Ionisation par effet tunnel. L’´electron traverse la barri`ere de potentiel form´ee par le potentiel coulombien et l’interaction dipolaire. D’apr`es le mod`ele ADK [Ammosovet al. 86], la probabilit´e d’ionisation tunnel est maximale au maximum du champ ´electrique, ce qui implique que l’´electron a une probabilit´e importante de franchir la barri`ere effective deux fois par cycle laser. Des paquets d’onde ´electronique sont donc ´emis 2 fois par cycle optique.

Acc´el´eration de l’´electron libre dans le champ laser. Dans le mod`ele semi-classique, on n´eglige l’attraction coulombienne du noyau et l’´electron est lib´er´e sans vitesse initiale (v(ti) = 0) dans le champ ´electrique. Le mouvement de l’´electron d´epend de l’instant ti o`u il est lib´er´e. Pour un champ polaris´e lin´eairement, l’´electron ne passe `a proximit´e du noyau (x=0) que lorsque la phase du champω0ti `a laquelle il est ´eject´e est telle que :

n π ≤ω0ti ≤ 2n+ 1

2 π (I.4)

Les trajectoires des ´electrons sont illustr´ees sur la figureI.5pour diff´erents instants d’´ ejec-tion de l’´electron (instants d’ionisation) dans le champ. Certains ´electrons sont ramen´es `a proximit´e du noyau, ils sont caract´eris´es par leur temps d’apparition dans le continuumti et leur temps de passage pr`es du noyau ou de recombinaison tr. Les ´electrons, ne revenant pas au voisinage du noyau, ne participent pas au processus de g´en´eration d’harmoniques.

Nous nous int´eressons maintenant `a l’´energie cin´etique des ´electrons, lib´er´es dans le conti-nuum, repassant `a proximit´e du noyau. Au mouvement d’oscillation de l’´electron est associ´ee une ´energie cin´etique. Pour chaque trajectoire, on ´evalue l’´energie cin´etique de l’´electron `a l’instant t . La figure I.6 repr´esente l’´energie cin´etique des ´electrons lorsqu’ils repassent `a

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Distance du noyau x [u.arb.]

e

Fig. I.4 : Repr´esentation sch´ematique du mod`ele `a trois ´etapes.

proximit´e du noyau en fonction de leur temps d’apparition dans le continuum ti (o`u plutˆot de leur phase ω0ti) et de leur temps de recombinaison tr, en supposant que l’ionisation peut avoir lieu pour n’importe quelle phase. L’´energie cin´etique maximum atteinte par l’´electron dans le continuum en x=0 est de 3,17 Up chaque demi-p´eriode du champ pour ω0t0 = 1,3π . On d´efinit le temps de retour τ qui correspond au temps d’oscillation de l’´electron dans le champ : τ =tr−ti. Pour les ´energies cin´etiques basses, `a une ´energie donn´ee, il existe deux temps de retour not´esτ1 et τ2. τ1 qui correspond `a la trajectoire courte est de l’ordre d’une demi-p´eriode optique. τ2 qui correspond `a la trajectoire longue est de l’ordre d’une p´eriode optique du laser. L’´etude semi-classique de ces trajectoires se r´ev`ele cruciale pour comprendre les spectres harmoniques. Nous reviendrions sur l’importance de ces trajectoires `a la section 1.3.2 page 19.

-4 -2 0 2

0 π 3π/2 2π 5π/2

Position [u.arb.]

Phase du champ [ ω0ti ] π/2

Champ électrique

E0

0

Fig. I.5 : Trajectoires d’´electrons soumis `a un champ ´electrique E0cos(ω0t) (trait gras). Les ´ elec-trons sont lib´er´es dans ce champ, sans vitesse initiale `a diff´erents instants ti. Les trajec-toires ´electroniques passent pr`es du noyau o`u peuvent se recombiner les ´electrons (poin-till´e). Les autres, ne revenant pas sur le noyau, ne participent pas directement `a la g´en´ e-ration d’harmoniques (trait plein).

Recombinaison radiative. L’´electron, lors de son passage pr`es du noyau, poss`ede une probabilit´e non-nulle de se recombiner radiativement avec le noyau, `a un instant tr. Cette transition radiative entraˆıne l’´emission d’un photon VUV d’´energie :

~ω =Ip +Ec (I.5)

O`u Ec est l’´energie cin´etique de l’´electron acquise dans le continuum. Puisque Ec = 3,17Up est l’´energie maximale que peut avoir l’´electron lorsqu’il passe `a proximit´e du noyau, l’´energie maximale des photons ´emis est donn´ee par :

~ω=Ip+ 3,17Up (I.6)

Historiquement, la loi de coupure a ´et´e trouv´ee de fa¸con num´erique [Krauseet al. 92].

Le mod`ele `a trois ´etapes en a ensuite expliqu´e le sens physique. Les exp´eriences sont en accord avec cette loi `a ceci pr`es que le coefficient α mesur´e exp´erimentalement dans ~ω = Ip+α Up est plus faible que 3,17, en raison des effets de propagation [L’Huillier et al. 93b, Macklin et al. 93].

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

recombinaison

τ2

Énergie cinétique en fraction de Up

Phase du champ [ ω0ti ]

π

π/2 3π/2

0

τ1

3,17 ionisation

Fig. I.6 : Energie cin´´ etique des ´electrons revenant vers le noyau en fonction de leur phase d’appari-tion dans le continuum (trait gris) et de la phase de recombinaison (trait noir). L’´energie est repr´esent´ee en unit´e Up. Les ´electrons lib´er´es dans le champ dans la partie de la courbe en gris-pointill´e et gris-trait plein peuvent se recombiner sur la partie de la courbe en noir-pointill´e (temps de retour longτ2) et noir-trait plein (temps de retour court τ1).

La p´eriodicit´e du spectre d’harmoniques impaires s’explique facilement avec ce mod`ele : les ´electrons peuvent ˆetre ´eject´es dans le continuum et se recombiner deux fois par p´eriode op-tique. L’´emission harmonique de p´eriode T0/2 et la coh´erence de ce processus m`enent, dans le domaine fr´equentiel, `a une p´eriodicit´e ´egale `a 2ω0. Le potentiel atomique ´etant centro-sym´etrique, seules les harmoniques impaires peuvent exister. De plus, ce mod`ele met en relief l’importance de la polarisation du laser. Une polarisation lin´eaire permet de ramener l’´electron pr`es du noyau. Si la polarisation est circulaire, l’´electron ne retourne jamais au voisinage du noyau et l’´emission harmonique ne peut pas avoir lieu.

Cette analyse classique de la dynamique de l’´electron donne une repr´esentation simple du processus de g´en´eration d’harmoniques. Elle explicite l’origine physique de la loi de coupure et explique la p´eriodicit´e des harmoniques. N´eanmoins, elle reste incompl`ete pour d´ecrire la r´eponse de l’atome, notamment les effets quantiques tels que les interf´erences quantiques, la diffusion du paquet d’onde.... Une approche quantique compl`ete est alors n´ecessaire pour d´ecrire la r´eponse de l’atome unique.

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