Effet d’un motif statique sur le r´ egime dynamique

Discrimination dynamique

Consid´erons un r´eseau destabilis´e (en r´egime cyclique ou chaotique) auquel on pr´esente un motif statique. cela revient `a modifier soudainement les param`etres du syst`eme. Le syst`eme se retrouve hors d’´equilibre et converge vers un nouvel attracteur. L’importance de ces changements d´epend de la moyenne et de la dispersion des valeurs du motif. On comprend en effet que plus les valeurs des motifs sont vari´ees, et ´elev´ees en valeur absolue, plus le nouveau syst`eme est loin de l’´equilibre et plus le nouvel attracteur sera ´eloign´e de l’attracteur initial.

Dans le cas de motifs tir´es selon une loi gaussienne identique, les diff´erents jeux de valeurs peuvent induire des r´eponses dynamiques tr`es diff´erentes. Certains de ces motifs font augmenter l’activit´e dynamique du r´eseau, et la complexit´e de la dynamique. D’autres motifs, analogues statistiquement, tendent au contraire `

a diminuer l’activit´e dynamique du r´eseau, voire `a l’´eteindre compl`etement. Le r´eseau fournit une r´eponse dynamique diff´erente dans les deux cas pr´esent´es, et op`ere donc une discrimination dynamique entre les deux motifs.

On a repr´esent´e sur la figure 3.19 diff´erentes r´eponses dynamiques pour un mˆeme r´eseau, avec des motifs tir´es suivant la mˆeme loi.

Si on s’int´eresse statistiquement aux r´eponses dynamiques moyennes, pour des dynamiques spontan´ees telles que ¯θ = 0, σ_θ = 0, et des motifs al´eatoires de moyenne ¯I = 0 et d’´ecart-type σ_I, on observe les tendances suivantes [94] :

– Quelle que soit la valeur de σ_I, la tendance majoritaire est la diminution de l’activit´e dynamique (l’amplitude du signal mN(t) diminue).

– Plus la perturbation est importante (plus σ_I est ´elev´e), plus la proportion de motifs qui r´eduisent la dynamique augmente.

Ces tendances sont une fois de plus corrobor´ees par le comportement du sys-t`eme `a la limite thermodynamique.

Effet d’un motif sur le r´egime `a la limite thermodynamique

L’´etude de la divergence des trajectoires individuelles `a la limite thermodyna-mique permet de mettre en ´evidence une vari´et´e de bifurcation entre un r´egime stable (point fixe) et un r´egime instable (chaos) dans l’espace des param`etres macroscopiques (g, ¯J , σ_J, ¯θ, σ_θ) (voir page77). On a d´ej`a not´e l’analogie formelle entre un motif statique gaussien I et un seuil gaussien θ. `A la limite thermody-namique, la pr´esentation d’un motif gaussien de moyenne ¯I et d’´ecart-type σ_I revient alors `a un d´eplacement dans l’espace des param`etres macroscopiques, se-lon les directions −¯θ et σ_θ. Pr´esenter un motif gaussien revient donc `a rajouter un seuil.

La figure 3.20 montre l’´evolution de la valeur th´eorique de g_dest en fonction de l’´ecart-type σ_I du motif, lorsque les param`etres qui d´efinissent les seuils sont

138 Dynamique spontan´ee et dynamique contrainte

Fig. 3.19 – Trois exemples de r´eponses dynamiques sur un mˆeme r´ e-seau. Les trois figures pr´esentent l’´evolution du signal m_N(t) au cours du temps. Les 100 premiers pas de temps correspondent `a la dynamique spontan´ee (en r´ e-gime stationnaire). Les 100 pas de temps suivants correspondent `a la dynamique contrainte, pour trois motifs diff´erents tir´es selon la mˆeme loi gaussienne. La dy-namique spontan´ee est l´eg`erement chaotique. Le premier motif (haut) m`ene `a une augmentation de l’activit´e dynamique (augmentation de l’amplitude) avec aug-mentation de la complexit´e. Le second motif m`ene `a une diminution de l’activit´e dynamique, et diminution de la complexit´e (on passe `a un r´egime de cycle limite). Le troisi`eme motif m`ene `a une compl`ete extinction de la dynamique. Param`etres : N = 100, g = 6, ¯J = 0, σ_J = 1, ¯θ = 0, σ_θ = 0, ¯I = 0, σ_I = 0.3.

3.3 Sensibilit´e dynamique 139

Fig. 3.20 – valeur th´eorique de d´estabilisation pour des motifs gaus-siens. La valeur de gdest marque la fronti`ere entre r´egime de point fixe et r´egime chaotique, `a la limite thermodynamique, en fonction de l’´ecart-type du motif σ_I. Param`etres : ¯I = 0, ¯θ = 0, σ_θ = 0, ¯J = 0, σ_J = 1.

¯

θ = 0 et σθ = 0. Cette courbe est une coupe de la vari´et´e de bifurcation pr´esent´ee figure2.19 par le plan ¯θ = 0.

Cette courbe peut ˆetre facilement mise en rapport avec les simulations : l’aug-mentation de σ_I tend `a augmenter la valeur de d´estabilisation. La pr´esentation d’un motif statique gaussien correspond `a un d´eplacement vers la droite (`a g fix´e) dans cet espace. `A g fix´e, il existe une valeur critique de σ_I au del`a de laquelle la dynamique passe du r´egime chaotique au r´egime de point fixe. Ramen´ee `a des r´eseaux de taille finie, cette propri´et´e traduit le fait que plus σ_I est ´elev´e, plus les motifs statiques tir´es selon ( ¯I, σ_I) auront tendance `a provoquer un effondrement de la dynamique.

Route par quasi-p´eriodicit´e inverse

On a trac´e, `a taille finie, une courbe analogue `a la ligne de bifurcation obte-nue `a la limite thermodynamique. La taille finie permet de prendre en compte la largeur de la plage de d´estabilisation (c’est `a dire l’intervalle entre gdest valeur de d´estabilisation et g_chaos valeur d’entr´ee dans le chaos). Cette courbe se fonde sur les comportements observ´es sur 50 r´eseaux de 200 neurones tir´es al´ eatoire-ment. Sur chacun de ces r´eseaux, on mesure la valeur de gchaos (m´ethode du plus grand exposant de Lyapunov), ainsi que la valeur de g_dest (d´estabilisation de la jacobienne), pour des motifs dont l’´ecart-type σ_I varie entre 0 ( pas de motif) et

140 Dynamique spontan´ee et dynamique contrainte

Fig. 3.21 – Mesure empirique de la plage de d´estabilisation. Chaque me-sure est effectu´ee sur 50 r´eseaux de taille N = 200. σ_I est en abcisse et g en ordonn´ee. Ligne pleine : valeur moyenne d’entr´e en d´estabilisation. Ligne poin-till´ee : valeur moyenne d’entr´ee dans le chaos. Ligne altern´ee : valeur th´eorique de d´estabilisation. Param`etres : ¯I = 0, ¯θ = 0, σ_θ = 0, ¯J = 0, σ_J = 1.

1. Pour chaque σ_I, ces valeurs sont moyenn´ees sur les 50 r´eseaux. On obtient la figure 3.21.

On voit donc :

– Pour σ_I < 0.5, les valeurs empiriques de d´estabilisation sont tr`es proches de la valeur th´eorique. La longueur de la plage de transition g<sub>chaos</sub>− g<sub>dest</sub> vaut `a peu pr`es 1.

– Pour σ_I > 0.5, la valeur de d´estabilisation empirique d´epasse nettement la valeur de d´estabilisation th´eorique. Cette moins bonne convergence provient du fait que les valeurs de σ_I tendent `a produire une configuration spatiale fortement corr´el´ee au motif pr´esent´e (voir section 3.1.4). La valeur de d´ e-stabilisation d´epend donc fortement de l’al´ea du motif, dont les fluctuations par rapport `a la loi sont plus grandes que celles de l’al´ea des connexions (N valeurs al´eatoires pour le motif, N2 valeurs al´eatoires pour les connexions). En tenant le mˆeme raisonnement que pr´ec´edemment, on voit que l’augmen-tation de l’´ecart-type σ_I d’un motif donn´e (d´eplacement vers la droite du dia-gramme) tend `a induire une route par quasi-p´eriodicit´e inverse. La seule diff´erence est que dans ce cas, on ne garde pas l’homog´en´eit´e de la p´eriode fondamentale et de l’organisation dynamique.

3.3 Sensibilit´e dynamique 141

Fig. 3.22 – Route par quasi-p´eriodicit´e inverse. `a g fix´e, on augmente l’in-tensit´e du motif d’entr´ee selon le param`etre σ_I. On pr´esente les diagrammes de premier retour du signal m_N(t) pour σ_I = 0.14 (fronti`ere du chaos), σ<sub>I</sub> = 0.143 (cycle double – correspondant `a une bifurcation flip –) et σ_I = 0.15 (cycle limite). Param`etres : g = 5, N = 200, ¯I = 0, ¯θ = 0, σ_θ = 0, ¯J = 0, σ_J = 1.

La figure 3.22 permet mettre en ´evidence cette route par quasi-p´eriodicit´e inverse sur un exemple particulier. Un motif I_ref qui nous sert de r´ef´erence est tir´e selon une loi normale centr´ee. La figure donne l’´evolution de la dynamique contrainte par le motif I = σ_II_ref, pour des valeurs croissantes de σ_I. Une sim-plification de la dynamique est ainsi mise en ´evidence. Celle-ci aboutit dans tous les cas `a un point fixe (qui n’est pas montr´e sur la figure).

Ce comportement syst´ematique de simplification de la dynamique pour σ_I croissant observ´e sur les motifs centr´es se complique singuli`erement lorsque l’on effectue la mˆeme op´eration sur des motifs non centr´es, avec un facteur de dilata-tion sur la dispersion I = ¯I + σ_II_ref.

Sur un r´eseau donn´e, on voit que la valeur d’entr´ee dans le chaos varie de ma-ni`ere non-monotone lorsque l’on augmente σ<sub>I</sub>. Le comportement non-monotone de la figure 3.23) peut ˆetre compar´e avec le comportement monotone croissant obtenu `a la limite thermodynamique de la figure 3.19 (sachant que ce comporte-ment monotone croissant se maintient pour la valeur ¯I = −0.1 utilis´ee). Ainsi, lorsque l’on augmente σ_I `a g fix´e (par exemple g = 7), on peut observer des allers retours entre des r´egimes chaotiques, cycliques et de point fixe.

Sachant que la valeur de d´estabilisation d´epend fortement de la configuration spatiale et donc des valeurs des potentiels u^∗_i, on a ici l’illustration du fait que la dilatation d’un motif non centr´e a des r´epercussions tr`es vari´ees sur cette configuration spatiale, et donc sur l’effectif des neurones actifs qui entretiennent la dynamique. L’augmentation de σ<sub>I</sub>fait transiter les neurones `a travers la zone o`u ils sont actifs dynamiquement (c.`a.d o`u leur potentiel moyen est proche de z´ero). L’augmentation de σ_I produit ainsi un renouvellement de l’effectif des neurones actifs qui peut induire le d´eveloppement de r´egimes dynamiques nouveaux.

142 Dynamique spontan´ee et dynamique contrainte

Fig. 3.23 – Diagramme de r´eactivit´e sur un r´eseau de 100 neurones pour un motif al´eatoire. En abcisse : ´ecart-type du motif, en ordonn´ee : valeur de d´ esta-bilisation du r´eseau. Les valeurs de g_dest sup´erieures `a 8 ne sont pas repr´esent´ees. Param`etres : ¯I = −0.1, ¯θ = 0, σ_θ = 0, ¯J = 0, σ_J = 1.