1.3 Connexionnisme
1.3.6 Notre approche
dui dt = −ui(t) + N X j=1 Jijxj(t) xi(t) = fg(ui(t)) (1.4)
La fonction de transfert fg(u) = tanh(gu) est une fonction sym´etrique, `a valeurs sur ] − 1, 1[. Le syst`eme est de taille N , et le param`etre de contrˆole est le gain g. Les poids synaptiques sont des variables al´eatoires ind´ependantes, gaussiennes centr´ees d’´ecart-type σJ/√
N .
Les ´equations de champ moyen de ce syst`eme sont obtenues par la m´ethode dite du champ moyen dynamique. Les auteurs s’int´eressent `a la loi g´en´erique des ui(t), observ´ee sur un grand nombre de r´eseaux diff´erents. Ils montrent que cette loi tend vers une loi gaussienne pour N croissant. Par ailleurs, l’influence des termes de couplage Jij tend `a disparaˆıtre lorsque la taille croˆıt et les neurones tendent `a se comporter de fa¸con ind´ependante. Deux r´egimes dynamiques sont mis en ´evidence pour les syst`emes de grande taille :
– Si gσJ < 1, le syst`eme est statique, et le point fixe est 0.
– Si gσJ > 1, le syst`eme est chaotique, au sens o`u tous les neurones tendent `
a produire des signaux d´ecorr´el´es. Ce comportement correspond `a taille finie au chaos d´eterministe, avec une propri´et´e de sensibilit´e aux conditions initiales.
1.3.6 Notre approche
Au terme de ce tour d’horizon, nous pouvons `a pr´esent pr´eciser la d´emarche qui a guid´e l’´equipe du CERT dans l’´elaboration de son travail de recherche. Le th`eme central est l’´etude des dynamiques complexes dans les r´eseaux de neurones. Le groupe s’est mis en place en 1990, sous l’impulsion de Bernard Doyon, m´edecin et chercheur `a l’INSERM en neurophysiologie fonctionnelle, et de Manuel Samuelides, professeur de math´ematiques `a Supa´ero. L’´equipe ´etait compl´et´ee par deux th´esards, Bruno Cessac (mod´elisation dynamique et statistique) et Mathias Quoy (Simulation et apprentissage), dont les th`eses ont ´et´e soutenues en 1994. Cette recherche se poursuit `a l’heure actuelle avec le travail d’Olivier Moynot pour les d´eveloppements math´ematiques les plus r´ecents, dont je pr´esenterai juste les r´esultats principaux, et la contribution d’Olivier Pinaud pour l’analyse et la simulation des mod`eles `a deux populations.
Le fil conducteur de ce travail est la recherche d’une analogie entre le com-portement dynamique naturel du cerveau, suppos´e chaotique, et les mod`eles connexionnistes dynamiques. Cette recherche s’inscrit donc r´esolument dans la perspective de la mod´elisation neuronale d’inspiration biologique. Dans ce cadre, on a port´e une attention particuli`ere au comportement temporel des neurones.
1.3 Connexionnisme 41
Le mod`ele choisi dans ce cadre est l’un des plus simples capable de produire une dynamique chaotique. C’est un mod`ele `a al´ea gel´e, `a ´etats continus et `a temps discret, avec des connexions r´ecurrentes denses. En s’affranchissant d’un mod`ele neuronal exhaustif, la recherche a pu se focaliser `a la fois sur les d´eveloppements math´ematiques et la mise en relation des comportements dynamiques observ´es avec les donn´ees de la neurophysiologie.
Chapitre 2
Un mod`ele g´en´erique pour
l’´etude des dynamiques
neuronales
Le mod`ele pr´esent´e dans ce chapitre constitue la brique de base de toutes nos ´etudes portant sur les dynamiques et l’organisation au sein de sys-t`emes artificiels. Il a ´et´e choisi par l’´equipe de Toulouse d`es 1991, et s’est r´ev´el´e extrˆemement fructueux, tant du point de vue des d´eveloppements math´emathiques que du point de vues des comportements dynamiques. Les principaux travaux qu’il a suscit´es sont l’´etude des comportements p´ e-riodiques et chaotiques `a taille finie [78], l’´etude du comportement `a la limite thermodynamique [79] [80] et l’´etude d’algorithmes d’apprentissage [81] [82].
La section 2.1 donne les caract´eristiques principales du mod`ele `a taille fi-nie. Apr`es avoir pr´esent´e l’´equation d’´evolution et pr´ecis´e le rˆole de tous les param`etres (section2.1.1), on ´etudie dans un premier temps la r´ eparti-tion statistique des variables d’´etat en r´egime stationnaire (section 2.1.2). On regarde en particulier l’influence du gain sur la r´epartition des activa-tions. La section 2.1.3montre la diversit´e des comportements dynamiques obtenus sur le mod`ele. On y d´ecrit de mani`ere d´etaill´ee le comportement g´en´erique de route vers le chaos par quasi-p´eriodicit´e.
La section2.2pr´esente l’autre face du mod`ele, c’est `a dire le comportement th´eorique des grandeurs macroscopiques `a la limite thermodynamique. La section 2.2.1 pr´esente l’hypoth`ese de chaos local et l’hypoth`ese de pro-pagation du chaos, qui sont un support indispensable `a la mise en place des ´equations de champ moyen. La section 2.2.2 pr´esente le concept de limite thermodynamique et l’illustre par des simulations. La section 2.2.3
d´ecrit l’op´erateur des ´equations de champ moyen. La section2.2.4d´ecrit les conditions pour lesquelles deux trajectoires tendent `a diverger `a la limite thermodynamique (SCI). La section 2.2.5 donne l’aspect d’une surface de bifurcation dans l’espace des param`etres du r´eseau.
44 Un mod`ele g´en´erique pour l’´etude des dynamiques neuronales
Enfin, la section2.3pr´esente le comportement dynamique des ´equations de champ moyen dans le cadre d’un mod`ele `a deux populations. Les propri´et´es du champ `a la limite thermodynamique sont donn´ees dans la section2.3.1. La section 2.3.2pr´esente une comportement d’oscillations synchronis´ees `a grande ´echelle, et d´ecrit les quatre r´egimes dynamiques observ´es `a la limite thermodynamique. La section 2.3.3 pr´esente un comportement de route vers le chaos par doublement de p´eriode sur les observables macroscopiques.