Comportement dynamique global

Dans cette section, on regarde les informations que l’on peut tirer de l’´etude du signal moyen m_N(t) = _N¹ PN

i=1x_i(t). On a vu que ce signal reproduit avec fid´elit´e les caract´eristiques de la dynamique, et permet de tracer en deux dimensions une repr´esentation pratique de l’attracteur du syst`eme.

L’´etude des caract´eristiques temporelles du signal dynamique n´ecessite des mesures de p´eriodicit´e en termes de fr´equences ou nombres de rotation. On dispose de trois outils pour appr´ehender la p´eriodicit´e : l’´etude des valeurs propres de la jacobienne, l’´etude du spectre de Fourier et l’´etude de l’autocorr´elation du signal.

R´epartition de la p´eriode

La configuration spatiale `a la d´estabilisation d´etermine les valeurs propres dominantes conjugu´ees, λ et λ<sup>∗</sup>, dont les parties r´eelles et imaginaires permettent de d´eterminer un angle α compris entre 0 et π. Cette valeur d’α donne acc`es `a la p´eriode de la dynamique qui vaut τ = 2π/α.

Cette p´eriode peut a priori prendre ses valeurs entre 2 et +∞. Dans l’approxi-mation o`u la probabilit´e d’apparition d’un angle α est uniform´ement r´epartie² sur [0, π], la fonction de r´epartition de la p´eriode τ ≤ x, pour x ∈ [2, +∞[ est donn´ee par :

P(τ ≤ x) = ^{x − 2} x Ce qui donne comme densit´e f (x) = 2/x2.

On voit donc que :

– Il n’y a pas de limite sup´erieure sur les valeurs possibles de la p´eriode. – La probabilit´e d’apparition d’une p´eriode τ est inversement proportionnelle

`

a sa longueur.

On a repr´esent´e sur la figure3.5la r´epartition empirique des p´eriodes mesur´ees sur 1000 r´eseaux en dynamique spontan´ee `a la d´estabilisation.

La densit´e empirique trouv´ee est proche de la densit´e th´eorique, c’est `a dire que la r´epartition de l’angle α sur [0, π] est proche de l’uniformit´e. On constate une l´eg`ere surdensit´e pour les p´eriodes proches de 2 (qui correspond `a la bifurcation Flip), ainsi que pour les p´eriodes proches de 4, compens´ees en partie par une sous-densit´e sur les p´eriodes proches de 3.

Spectre de Fourier

On va maintenant regarder l’aspect de ces spectres de puissance pour les diff´erents r´egimes dynamiques rencontr´es dans nos r´eseaux, sur la base du signal moyen m_N(t). Le spectre de puissance est donc calcul´e `a partir d’un ´echantillon de taille T du signal m_N(t) en dynamique stationnaire. Ce signal n’´etant pas un

118 Dynamique spontan´ee et dynamique contrainte

Fig. 3.5 – R´epartition empirique des p´eriodes `a la d´estabilisation. On a trac´e en pointill´e la densit´e th´eorique f (x) = 2/x2. Mesure sur 1000 r´eseaux. Param`etres : N = 200, ¯θ = 0, σ_θ = 0, ¯J = 0, σ_J = 1.

signal centr´e, on ne repr´esente pas la fr´equence 1

T associ´ee `a la partie constante du signal. Dans la mesure o`u l’on se place en r´egime stationnaire, on n’a pas de d´erive de la moyenne. On prend un ´echantillon suffisamment grand pour qu’il puisse exprimer toutes les fr´equences pr´esentes dans le signal.

Spectre pour les dynamiques cycliques p´eriodiques

Lorsque la p´eriode τ est enti`ere, le spectre de puissance est discontinu, c’est `

a dire que des pics de puissance ne sont associ´es qu’`a des harmoniques de la fr´equence fondamentale, soit k/τ , pour 1 ≤ k ≤ τ /2. On appelle fr´equence domi-nante la fr´equence d’amplitude maximale sur le spectre. La fr´equence dominante n’est pas n´ecessairement la fr´equence fondamentale. Cette fr´equence dominante f = k/τ donne la valeur du nombre de rotation (k correspondant au nombre de tours).

Les p´eriodes enti`eres sont relativement rares dans nos r´eseaux. On les ren-contre, par exemple, dans le cas d’une bifurcation flip (voir page 59), auquel cas la p´eriode vaut τ = 2.

Spectre pour les dynamiques cycliques pseudo-p´eriodiques

Lorsque l’on est en r´egime pseudo-p´eriodique, ce qui est le r´egime le plus courant apr`es la premi`ere bifurcation, une fr´equence dominante peut ˆetre mise en ´

evidence sur le spectre de puissance. La fr´equence fondamentale correspond au pic le plus `a gauche du spectre. La fr´equence dominante est soit une harmonique, soit la fondamentale.

Le spectre est cette fois-ci dense (voir figure 3.6). La densit´e du spectre ma-nifeste le fait que toute fr´equence irrationnelle ne peut ˆetre qu’approch´ee par un

3.2 Propri´et´es de la dynamique spontan´ee 119

Fig. 3.6 – Spectre de puissance sur le signal moyen mN(t), dynamique pseudo-p´eriodique La fr´equence est en abcisse, la puissance (normalis´ee) en ordonn´ee. L’ordonn´ee est en ´echelle logarithmique. La fondamentale et deux har-moniques ressortent du spectre. La fr´equence fondamentale et dominante est f ' 0.17 (pseudo-p´eriode : 5,78), et les deux fr´equences secondaires correspon-dant `a 2f et 3f . Param`etres : T = 1000, g = 6.7, N = 200, ¯θ = 0.1, σθ = 0.1,

¯

J = 0, σ_J = 1.

nombre rationnel, et la valeur du spectre associ´ee `a chaque fr´equence rationnelle f marque la “qualit´e” de cette approximation.

Remarque : on constate parfois des discontinuit´es sur le spectre (un peu au del`a de la fr´equence 0.3 sur la figure 3.6), qui correspondent aux zones o`u l’at-tracteur se recouvre (points d’accumulation). Le syst`eme n’´etant pas lin´eaire, il peut en effet exister des fr´equences qui ne soient pas des harmoniques de la fondamentale.

Le spectre de la figure3.6correspond au deuxi`eme attracteur de la figure2.10

page 62.

Spectre pour les dynamiques toriques

Dans le cas d’une dynamique torique, une deuxi`eme fr´equence fondamentale se superpose `a la premi`ere. Ces deux fr´equences f<sub>1</sub> et f<sub>2</sub> peuvent ˆetre extraites du spectre de puissance. Toutes les combinaisons αf<sub>1</sub>+ βf<sub>2</sub>, avec α, β ∈ Z, ressortent du spectre (par exemple, sur la figure3.7, on a une fr´equence qui ressort `a f₁−f₂ ' 0.10). Les pics correspondant `a la deuxi`eme fr´equence apparue sont en g´en´eral plus faibles que ceux qui correspondent `a la premi`ere fr´equence. Mˆeme si dans les faits toutes ne se manifestent pas, on a par combinaison un nombre beaucoup plus important d’harmoniques, d’o`u l’aspect tr`es “h´eriss´e” du spectre de puissance (voir figure3.7).

120 Dynamique spontan´ee et dynamique contrainte

Fig. 3.7 – Spectre de puissance sur le signal moyen mN(t), dynamique torique La fr´equence est en abcisse, la puissance (normalis´ee) en ordonn´ee. L’or-donn´ee est en ´echelle logarithmique. Deux fr´equences fondamentales, f1 ' 0.17 (τ₁ ' 5.78) et f₂ ' 0.074 (τ₂ ' 13.5) ressortent du spectre. On observe de nom-breuses harmoniques. Param`etres : T = 6000, g = 6.82, N = 200, ¯θ = 0.1, σθ = 0.1, ¯J = 0, σJ = 1.

figure 2.10 page 62.

Spectre pour les dynamiques chaotiques

Lors du passage en dynamique chaotique, le spectre change radicalement d’as-pect. Le spectre ressemble `a un signal bruit´e d’o`u ´emergent quelques fr´equences dominantes.

Plus on augmente la valeur de g, plus on entre dans un chaos dit profond, et plus le signal acquiert les caract´eristiques d’un bruit. Les fr´equences fonda-mentales et harmoniques ´emergent de moins en moins nettement du fond bruit´e jusqu’`a ˆetre compl`etement “noy´ees”. C’est ce qu’on observe sur les spectres de la figure 3.8, o`u l’on a repr´esent´e les spectres de puissance d’un mˆeme r´eseau en r´egime chaotique pour des valeurs de g croissantes.

Il reste n´eanmoins que pour le chaos dit “l´eger” (celui que l’on trouve `a la fron-ti`ere du chaos), la fr´equence dominante ressort tr`es nettement du spectre, et cette fr´equence est identique `a celle des modes dynamiques pr´ec´edents. Cette fr´equence sera appel´ee fr´equence r´esiduelle (et la p´eriode attach´ee p´eriode r´esiduelle).

On a donc une conservation de la fr´equence dominante tout au long de la route vers le chaos par quasi-p´eriodicit´e.

3.2 Propri´et´es de la dynamique spontan´ee 121

Fig. 3.8 – Spectres de puissance sur le signal moyen mN(t), dynamique chaotique La fr´equence est en abcisse, la puissance (normalis´ee) en ordonn´ee. L’ordonn´ee est en ´echelle logarithmique. On a repr´esent´e les spectres de puissance associ´es au r´egime chaotique, pour un mˆeme r´eseau, avec (de gauche `a droite) g = 7.02 (fronti`ere du chaos), g = 7.2 et g = 8. Sur les deux premiers spectres, la fr´equence dominante est la mˆeme que celle de la dynamique cyclique f ' 0.17. Le spectre de droite correspond `a un chaos profond proche du bruit gaussien. Param`etres : T = 6000, N = 200, ¯θ = 0.1, σθ = 0.1, ¯J = 0, σJ = 1.

Invariance de la fr´equence dominante

On a repr´esent´e sur la figure 3.9 l’´evolution de la la p´eriode dominante (l’in-verse de la fr´equence dominante) sur 8 r´eseaux de taille 200, pour des valeurs de g comprises entre g_dest et g_dest+ 1. On constate sur ces 8 r´eseaux que la p´ e-riode dominante se maintient `a la mˆeme valeur sur une plage correspondant `a la route vers le chaos. Suite `a l’entr´ee dans le chaos, le spectre tend `a devenir de plus en plus uniforme et d’autres p´eriodes (correspondant souvent `a d’autres harmoniques de la fondamentale) peuvent prendre le dessus.

Fonction d’auto-corr´elation

Dans nos syst`emes, ou la dynamique chaotique conserve une p´eriodicit´e r´ esi-duelle vers la fronti`ere du chaos, il subsiste une m´emoire des ´etats pass´es, dans la mesure o`u la valeur de g n’est pas trop ´eloign´ee de la fronti`ere du chaos.

Sur la figure 3.10, on a repr´esent´e la fonction d’auto-corr´elation (d´efinie page

15), pour des valeurs de g allant de la fonti`ere du chaos au chaos profond (qui peuvent ˆetre mis en correspondance avec les spectres de puissance de la figure

3.8). On constate que plus la dynamique chaotique correspond `a des valeurs de g ´eloign´ees de la fronti`ere du chaos (g_chaos ' 7 sur ce r´eseau), plus la fonction d’autocorr´elation tend `a d´ecroˆıtre (en moyenne) avec τ . Cela indique que plus on s’enfonce dans le chaos, plus le r´eseau tend `a perdre la m´emoire de ses ´etats pass´es. Pour g = 8, qui correspond `a un chaos profond sur ce r´eseau, la fonction d’auto-corr´elation est similaire `a celle d’un signal al´eatoire. Le r´eseau perd quasiment toute m´emoire de ses ´etats pass´es.

122 Dynamique spontan´ee et dynamique contrainte

Fig. 3.9 – ´Evolution de la p´eriode dominante apr`es la d´estabilisation pour 8 r´eseaux. Pour chaque r´eseau, on regarde la valeur g<sub>dest</sub>de d´estabilisation, et on regarde la p´eriode dominante pour g<sub>dest</sub>+ δ<sub>g</sub>, avec 0 ≤ δ<sub>g</sub> ≤ 1. La valeur de δ<sub>g</sub> est en abcisse, et la valeur de la p´eriode en ordonn´ee (chaque ligne pleine correspond `a un r´eseau diff´erent). On notera que les deux lignes corespondant `a la p´eriode 2 (bifurcation flip) se superposent. Param`etres : T = 1500, N = 200,

¯

θ = 0.1, σ_θ = 0.1, ¯J = 0, σ_J = 1.

Fig. 3.10 – Autocorr´elation du signal moyen m_N(t), pour des valeurs de g croissantes en r´egime chaotique. La valeur de τ est en abcisse, celle de ψ(τ ) en ordonn´ee, avec de gauche `a droite g = 7.02 (fronti`ere du chaos), g = 7.2, et g = 8 (chaos profond). Param`etres : T = 500, N = 200, ¯θ = 0.1, σ_θ = 0.1,

¯

3.2 Propri´et´es de la dynamique spontan´ee 123

est que la fr´equence dominante reste la mˆeme sur une plage de valeurs de g qui va de la d´estabilisation jusqu’au chaos profond. Sur cette plage, la dynamique du r´eseau est “rythm´ee” par la mˆeme pulsation de base. Ainsi, la p´eriode qui se met en place `a la d´estabilisation est loin d’ˆetre anecdotique, puisqu’elle conditionne la nature de la dynamique du r´eseau pour une large plage de valeurs de g.

On a vu dans les sections pr´ec´edentes que cette p´eriode fondamentale est intimement li´ee aux caract´eristiques de la jacobienne `a la d´estabilisation, qui elle mˆeme est conditionn´ee par la configuration spatiale des activations du r´eseau. On constate ici la persistance du lien entre configuration spatiale et p´eriodicit´e de la dynamique.