Effet de la défavorisation matérielle et sociale sur la qualité de l’usage

Proposi¸c˜ao 2.3.4. Sejam R um anel local com ideal maximal m e M um R-m´odulo. Temos

ent˜ao a seguinte igualdade

ΓI(M) = lim_←Ð J∈̃W(m,I)

Γm,J(M).

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que ΓI(M) = ⋂J_∈̃W(m,I)Γm,J(M). Para isto, seja x ∈ ΓI(M) e J∈ ̃W(m, I). Ent˜ao existem inteiros m, n ≥ 0 com Im_x= (0) e mn⊆ J + I. Assim mmn_x⊆ Jx e portanto x∈ Γm,J(M). Segue ent˜ao que x ∈ ⋂J_∈̃W(m,I)Γm,J(M).

Reciprocamente, seja x ∈ ⋂J_∈̃W(m,I)Γm,J(M). Para J ∈ ̃W(m, I), existe um inteiro n ≥

0 tal que mn_x ⊆ Ann(x) + J e assim J ∈ ̃_W(m, Ann(x)). Ent˜ao temos que ̃_W(m, I) ⊆

̃

W(m, Ann(x)). Pelo lema anterior segue que

V(Ann(x)) = ⋂

J_∈̃W_(m,Ann(x))

W(m, J) ⊆ ⋂

J_∈̃W_(m,I)

W(m, J) = V (I).

Portanto I⊆√Ann(x), concluindo assim que x ∈ ΓI(M), como quer´ıamos.

2.4

Resultados de anulamento e n˜ao anulamento

Nesta se¸c˜ao vamos mostrar alguns resultados presentes em [50] sobre anulamento e n˜ao anulamento da cohomologia local com respeito `a um par de ideais. Adotaremos como con-

ven¸c˜ao que inf∅ = ∞ para um subconjunto vazio de N e depth0 = ∞, dim0 = −1 para o

R-m´odulo trivial.

Teorema 2.4.1. Para M um R-m´odulo finitamente gerado temos a igualdade

inf{i ∣ Hi

I,J(M) ≠ 0} = inf{depthMp∣ p ∈ W(I, J)}.

Demonstra¸c˜ao. Defina n= inf{depthMp∣ p ∈ W(I, J)} e seja E●(M) uma resolu¸c˜ao injetiva

minimal de M . Se p ∈ W(I, J), ent˜ao n ≤ depthMp = inf{i ∣ µi(p, M) ≠ 0}. Assim, pela

Proposi¸c˜ao 2.1.11 temos a igualdade

ΓI,J(M)(Ei(M)) = ⊕

p∈W (I,J)

2.4 Resultados de anulamento e n˜ao anulamento 42

para algum inteiro i < n. Note tamb´em que ΓI,J(M)(En(M)) ≠ 0. Segue ent˜ao que

Hi

I,J(M) = 0 se i < n. ´

E suficiente mostrar que Hn

I,J(M) ≠ 0. Pela equa¸c˜ao (1) o complexo ΓI,J(M)(E●(M)) inicia a partir do n-´esimo termo. Assim temos o seguinte diagrama comutativo

0Ð→ Hn

I,J(M) Ð→ ΓI,J(En(M)) Ð→ ΓI,J(En+1(M))

↓ ↓ ↓

En(M) _Ð→dn−1 _En(M) _Ð→dn _En₊₁(M)

com linhas exatas. Uma vez que Kerdn = Imdn−1 ⊆ En(M) ´e uma extens˜ao essencial (ver

Apˆendice), segue que Hn

I,J(M) = ΓI,J(En(M)) ∩ Kerdn≠ 0.

Como um caso especial do teorema anterior, se J = 0, obtemos a conhecida igualdade

inf{i ∣ Hi

I(M) ≠ 0} = grade(I, M) = inf{depthMp∣ p ∈ V (I)}, para um R-m´odulo finitamente gerado ([6, Teorema 6.2.7]).

Corol´ario 2.4.2. Seja M um m´odulo finitamente gerado sobre um anel local R com ideal

maximal m. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes: (1) M ´e um R-m´odulo (I, J)-tor¸c˜ao.

(2) Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > 0.

Demonstra¸c˜ao. A implica¸c˜ao (1) ⇒ (2) segue diretamente do Corol´ario 2.1.13(1). Para

provar(2) ⇒ (1), denote N = M/ΓI,J(M). Suponha por absurdo que N ≠ 0. Pelo Corol´ario

2.1.13 (3) e (4) segue que ΓI,J(N) = 0 e Hi

I,J(N) ≅ HI,Ji (M) = 0 se i > 0. Por outro lado,

como m∈ W(I, J) a desigualdade

inf{depthNp∣ p ∈ W(I, J)} ≤ depthNm = depthN(< ∞)

acontece. Portanto pelo Teorema 2.4.1, HI,J(N) ≠ 0 para algum inteiro i ≤ depthN . Isto ´ei

uma contradi¸c˜ao e obtemos assim N = 0, completando a prova.

Teorema 2.4.3. Seja M um m´odulo finitamente gerado sobre um anel local R. Suponha que

J≠ R. Ent˜ao Hi

2.4 Resultados de anulamento e n˜ao anulamento 43

Demonstra¸c˜ao. Procederemos por indu¸c˜ao sobre r= dimM/JM. Se r = −1 ent˜ao M = JM,

implicando pelo lema de Nakayama que M= 0. Portanto Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i ≥ 0.

Assuma agora que r ≥ 0. Existe uma filtra¸c˜ao finita 0 = M0 ⊊ M1 ⊊ . . . ⊊ Ms = M

de M tal que Mj/Mj₋₁ ≅ R/pj para pj ∈ Supp(M) e j = 1, . . . , s. Para a sequˆencia exata 0 → Mj₋₁→ Mj → R/pj → 0 para j= 1, ⋯, s temos a seguinte sequˆencia exata

H_I,Ji (Mj−1) → HI,J(Mi j) → HI,Ji (R/pj), para todo inteiro i e j com i≥ 0 e 1 ≤ j ≤ s. Note que

dimR/(pj+ J) ≤ dimR/(Ann(M) + J) = dimM/JM = r.

Ent˜ao podemos assumir que M = R/q com q ∈ Spec(R). Mostramos no Teorema 2.2.7 que

Hi

I,J(R/q) ≅ HIi_(R/q),J(R/q)(R/q), assim trocando R por R/q podemos assumir que R ´e um dom´ınio integral e M = R.

Suponha, por absurdo, que Hl

I,J(R) ≠ 0 para algum inteiro l > r. Note que neste caso AssR(Hl

I,J(R)) ≠ ∅. Primeiramente assumamos que AssR(HI,Jl (R)) contˆem um primo Q n˜ao nulo. Seja ent˜ao 0≠ x ∈ Q. A partir da sequˆencia exata

0 → R→ R → Rx /(x) → 0 temos a sequˆencia exata

Hl−1

I,J(R/(x)) → HI,Jl (R) x → Hl

I,J(R).

Note que dimR/(J +(x)) = r−1 < l−1, assim por hip´otese de indu¸c˜ao temos Hl₋₁

I,J(R/(x)) = 0.

Isto mostra que o elemento x ´e Hl

I,J(R)-regular. Entretanto o elemento x esta no primo

associado Q de Hl

I,J(R), logo ´e um divisor de zero em HI,Jl (R). Esta contradi¸c˜ao for¸ca AssR(Hl

I,J(R)) = {(0)}. Note, pela Proposi¸c˜ao 2.1.7 e 2.1.13 (5), que AssR(Hl

I,J(R)) ⊆ W(I, J). Assim temos (0) ∈ W(I, J). Uma vez que o conjunto W(I, J)

´e fechado com respeito a especializa¸c˜ao, segue que W(I, J) = Spec(R). Neste caso ´e f´acil ver que Hl

I,J(R) = 0 para todo l > 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Corol´ario 2.4.4. Sejam R um anel local e M um R-m´odulo n˜ao necessariamente finitamente

2.4 Resultados de anulamento e n˜ao anulamento 44

Demonstra¸c˜ao. Uma vez que todo R-m´odulo ´e um limite direto de subm´odulos finitamente gerados, podemos escrever M = limÐ→

λ

Mλ, onde cada Mλ ´e um R-m´odulo finitamente gerado.

Note que i > dimR/J ≥ Mλ/JMλ. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.2.6, temos que HI,J(M) =i limÐ→

λ

HI,Ji (Mλ) = 0, para i > dimR/J.

O teorema de n˜ao anulamento de Grothendieck [6, Teorema 6.1.4] diz que a cohomologia

local ordin´aria Hm(M) n˜ao se anula, sempre que R ´e um anel local com ideal maximalr

m e M um R-m´odulo finitamente gerado de dimens˜ao r. O pr´oximo teorema, encontrado

em [50, Teorema 4.5], pode ser visto como uma generaliza¸c˜ao deste resultado atribu´ıdo a Grothendieck.

Teorema 2.4.5. Seja M um m´odulo finitamente gerado sobre um anel local R com ideal

maximal m. Suponha que I+ J ´e um ideal m-prim´ario. Ent˜ao temos a igualdade

sup{i ∣ Hi

I,J(M) ≠ 0} = dimM/JM.

Demonstra¸c˜ao. Em virtude do Teorema 2.4.3, devemos somente mostrar que Hr

I,J(M) ≠ 0

para r = dimM/JM. Como I + J ´e um ideal m-prim´ario, pela Proposi¸c˜ao 2.1.4 (6) e (7)

temos que Hi

I,J(M) = Hm,J(M) para todo inteiro i. Podemos ent˜ao assumir que I = m. Ai

sequˆencia exata 0 → JM → M → M/JM → 0 induz a sequˆencia exata

Hm,J(M) → Hr m,Jr (M/JM) → Hm,Jr+1(JM).

Uma vez que dimJM/J2_M ≤ dimM/J2_M = dimM/JM = r, segue do Teorema 2.4.3 que

Hr₊₁

m,J(JM) = 0. Al´em disto, pelo Corol´ario 2.2.5 e o Teorema de N˜ao anulamento de Grothen- dieck [6, Teorema 6.1.4], segue que

Hr

m,J(M/JM) = Hm(M/JM) ≠ 0.r

Consequentemente, pela sequˆencia exata temos que Hm,J(M) ≠ 0, como quer´ıamos demons-r

trar.

Se J = R ent˜ao a afirma¸c˜ao do Teorema 2.4.3 n˜ao necessariamente acontece. Para

dimM/JM = −1 < 0 temos H0

I,J(M) ≅ ΓI,J(M) = M.

Considerando agora R um anel n˜ao local, temos o seguinte resultado sobre anulamento da cohomologia local com respeito ao par de ideais.

2.4 Resultados de anulamento e n˜ao anulamento 45

Teorema 2.4.6. Seja M um R-m´odulo finitamente gerado. Ent˜ao

(1) Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > dimM. (2) Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > dimM/JM + 1.

Demonstra¸c˜ao. (1) Segue imediatamente do Teorema 2.3.2 e o Teorema de anulamento de Grothendieck [6, Teorema 6.1.4].

(2) Provaremos por indu¸c˜ao em r = dimM/JM. Quando r = −1, pelo Teorema de Na-

kayama diz que (1 + a)M = 0 para algum a ∈ J. Assim temos que Jx = Rx para algum

x∈ M, implicando assim que o R-m´odulo M ´e (I, J)-tor¸c˜ao. O Corol´ario 2.1.13 mostra que Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > 0 = r + 1, como quer´ıamos. Quando r ≥ 0, podemos provar essa afirma¸c˜ao como feito no Teorema 2.4.3.

Lema 2.4.7. Seja n um inteiro n˜ao negativo. Suponha que Hi

I,J(R) = 0 para todo inteiro i> n. Ent˜ao, para um R-m´odulo M, n˜ao necessariamente finitamente gerado, as seguintes afirma¸c˜oes acontecem.

(1) Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > n.

(2) Hn

I,J(M) ≅ H

n

I,J(R) ⊗RM.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente devemos notar que, em virtude da Proposi¸c˜ao 2.2.6, devemos somente mostrar o lema para um R-m´odulo finitamente gerado M .

(1) Mostramos pelo teorema anterior que Hi

I,J(M) = 0 se i > dimM. Provaremos essa afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre i. Para um R-m´odulo finitamente gerado N e m um inteiro, considere a seguinte sequˆencia exata

0 → N → Rm_{→ M → 0.}

Esta sequˆencia induz a sequˆencia exata

HI,Ji (Rm) → HI,Ji (M) → HI,Ji+1(N). Por hip´otese de indu¸c˜ao temos que Hi₊₁

I,J(N) = 0. Ent˜ao devemos ter que H

i

I,J(M) = 0, como quer´ıamos.

2.4 Resultados de anulamento e n˜ao anulamento 46

(2) Pela afirma¸c˜ao (1) temos que HI,J(−) ´e um funtor exato `a direita sobre a categorian de R-m´odulos. Assim, considere a apresenta¸c˜ao

Rm _{→ R}p _{→ M → 0.}

Primeiramente, tensorisando esta sequˆencia por Hn

I,J(R) obtemos

Rm⊗RHI,J(R) → Rn p⊗RHI,J(R) → M ⊗n RHI,Jn (R) → 0.

Por outro lado, aplicando Hn

I,J(−) a sequˆencia exata inicial, obtemos HI,Jn (Rm) → HI,Jn (Rp) → HI,Jn (M) → 0.

Como Hn

I,J(Rm) ≅ HI,Jn (R)m≅ Rm⊗RHI,J(R) e Hn I,Jn (Rp) ≅ HI,Jn (R)p≅ Rp⊗RHI,J(R), com-n parando as duas sequˆencias obtidas anteriormente, devemos ter que Hn

I,J(M) ≅ HI,Jn (R)⊗RM, isto ´e, Hn

I,J(−) ´e representado como funtor tensor.

Relembre que o posto aritim´etico de um ideal I, denotado por ara(I), ´e definido como o

menor n´umero de elementos de R que s˜ao necess´arios para gerar um ideal que tem o mesmo

radical de I [6, Defini¸c˜ao 3.3.2]. Um resultado bastante conhecido diz que a cohomologia local Hi

I(M) = 0 para todo i > ara(I) [6, Corol´ario 3.3.3]. Neste sentido, para a cohomologia local definida por um par de ideais ´e conhecido o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 2.4.8. Seja M um R-m´odulo. Ent˜ao Hi

I,J(M) = 0 para todo inteiro i > ara(IR),

onde R= R/√J+ Ann(M).

Demonstra¸c˜ao. Denote R′= R/Ann_R(M). Ent˜ao R = R′/√_{J R}′_{e AnnR}′(M) = 0. Como, pelo

Teorema 2.2.7, temos Hi

I,J(M) ≅ H

i

IR′_{,J R}′(M), podemos assumir que AnnR(M) = 0. Denote

agora s= ara(IR). Ent˜ao, podemos encontrar uma sequˆencia a = a1, . . . , as de s elementos

em R tal que√IR=√aR. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.4 temos a igualdade

H_I,Ji (M) = HaiR,J(M) = H i(C_●

a,J⊗ M)

para qualquer inteiro i. Como o complexo C●

a,J tem comprimento s, vemos que

Hi(Ca●,J ⊗ M) = 0

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