Deux ´echantillons non appari´es

V.4.3 Deux ´echantillons non appari´es

On dispose de deux ´echantillonsX₁, ..., X_m etY₁, ..., Y_n, issus de variables al´eatoires toutes ind´ependantes, de fonctions de r´epartition continues, not´ees respectivementFpour le premier, et Gpour le second. On veut tester l’hypoth`eseH₀ : “F =G” Nous allons pour cela d´ecrire deux tests. Dans le test de Kolmogorov-Smirnov, l’alternative est “F 6=G”. Pour le test de Mann et Whitney, l’alternative, un peu plus restrictive, sera pr´ecis´ee ult´erieurement.

Test de Kolmogorov-Smirnov pour deux ´echantillons

On d´ecrit d’abord le test de Kolmogorov-Smirnov qui g´en´eralise le test de Kolmogorov (voir ci-dessus V.3.1) au cas de deux ´echantillons. Ce test tr`es utilis´e vise donc `a r´epondre `a la question “ces deux ´echantillons sont ils issus d’une mˆeme loi ?”.

Comme dans le cas `a un seul ´echantillon, ce test de Kolmogorov-Smirnov est bas´e sur la distance entre deux fonctions de r´epartition ; il s’agit ici des fonctions de r´epartition empirique Fˆ<sub>X</sub> associ´ee `a X et ˆG_Y associ´ee `a Y : ind´ependant de F sous H₀ grˆace au r´esultat suivant.

Proposition V.20. Sous H0, la statistique DX,Y est libre. On notera sa loi D(m, n).

D´emonstration. D’apr`es la proposition V.6,

o`u U1 = F(X1), ..., Um = F(Xm) et V1 = F(Y1), ..., Vn = F(Yn) sont deux ´echantillons ind´ependants de la loi uniforme sur [0,1]. On conclut en effectuant le changement de variable u=F(t).

Remarque V.21. En pratique, pour calculer D_x,y on trie globalement les x_i et les y_j par ordre croissant pour obtenirz = (z₁, . . . , z_n+m). En notants_k = 1/m si z_k provient de x et s_k=−1/nsi z_k provient dey, on a

Dx,y = max

1≤k≤n+m

Xk l=1

s_l .

♦ La loi de Kolmogorov-Smirnov D(m, n) est tabul´ee pour des petites valeurs de m et n, elle est aussi accessible facilement par simulation. Pour le casm=n, et siD_n,n d´esigne une v.a. de loi D(n, n), on dispose aussi de la formule (pour tout entier strictement positif k) :

P(nDn,n> k) = 2

[n/k]P

j=1

(−1)^j+1(n−jk)!(n+jk)!^(n!)2 .

Pour les ´echantillons de grande taille, lorsque m et n tendent vers l’infini, on a le com-portement asymptotique suivant.

Proposition V.22. Si on pose ζ_m,n =q

mn

m+nD_X,Y, lorsque min(m, n)→ ∞, on a – sous H₀, ∀y >0, P(ζ_m,n ≤y)→⁺P^∞

−∞

(−1)^kexp (−2k²y²), – sous H₁, p.s. ζ_m,n tend vers +∞.

L’expression asymptotique de la fonction de r´epartition sous H₀ ne peut ˆetre utilis´ee en pratique que pour des valeurs assez ´elev´ees de m et n (de l’ordre de 40 au moins) car la convergence annonc´ee est lente.

Ce test de Kolmogorov-Smirnov est int´eressant dans le cas tr`es g´en´eral o`u l’on ne connaˆıt aucun lien entre les deux ´echantillons. On propose maintenant un autre test, tr`es simple `a mettre en œuvre.

Test de Mann et Whitney

Le test de Mann et Whitney est bas´e sur l’enchevˆetrement des observations des deux

´echantillons. On note 1_{Yj>Xi} la v.a. qui vaut 1 si Y_j > X_i et 0 sinon. La statistique U_{Y ,X} du test s’´ecrit comme la somme des1_{Yj>Xi}.

UY ,X = X

i=1..m j=1..n

1_{Yj>Xi}

Dans ces conditions, on a :

V.4. PROBL `EMES `A DEUX ´ECHANTILLONS 99 Proposition V.23. Sous H0, la statistique UY ,X est libre. On notera sa loi U(m, n). En outre, P(Y_j > X_i) = ¹₂.

D´emonstration. SiH₀ est vraie, on dispose d’un (m+n)-´echantillon de la loi de fonction de r´epartition F : (X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn). D’apr`es la proposition V.6, (F(X1), . . . , F(Xm), F(Y₁), . . . , F(Y_n)) est un (m+n)-´echantillon de la loi uniforme et p.s.,

X

i=1..m j=1..n

1_{Yj>Xi} = X

i=1..m j=1..n

1_{{F(Yj)>F(Xi)}},

ce qui assure que la statitisque U_{Y ,X} est libre. Comme P(Y_j > X_i) =P(F(Y_j) > F(X_i)) et que F(Yj) et F(Xi) sont des v.a. ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1], on en d´eduit que

P(Yj > Xi) =P(F(Yj)> F(Xi)) = Z

[0,1]²

1_{u>v}dudv = 1 2.

Si P(Y_j > X_i) < ¹₂, U_{Y ,X} va avoir tendance `a ˆetre plus petit que sous H<sub>0</sub> tandis que si P(Y<sub>j</sub> > X<sub>i</sub>) > <sup>1</sup><sub>2</sub>, U<sub>Y ,X</sub> va avoir tendance `a ˆetre plus grand que sous H₀. Cela se voit au niveau de l’esp´erance car E[U_{Y ,X}] =mnP(Y_j > X_i).

On choisit comme hypoth`ese alternative H₁ ={P(Y_j > X_i) 6= ¹₂}. La r´egion de rejet de H₀ ={F =G}contre H₁ au niveau α est de la forme :

“U_{Y ,X} n’appartient pas `a [u⁻_m,n,α/2, u⁺_m,n,α/2]”.

Les valeurs de u⁻_m,n,α/2 et u⁺_m,n,α/2 (quantiles d’ordre α/2 et 1−α/2 de la loi U(m, n)) ont ´et´e calcul´ees et tabul´ees pour les petites valeurs `a partir de la loi uniforme.

L’esp´erance math´ematique et la variance d’une v.a.Um,n de loiU(m, n) valent respective-mentE[U_m,n] = ^mn₂ et Var(U_m,n) = ^mn(m+n+1)₁₂ . Pourmetnsup´erieurs `a 10, l’approximation de la loiU(m, n) par la loi normale d’esp´erance math´ematiquemn

2 et variance mn(m+n+ 1) est justifi´ee par la proposition suivante : 12

Proposition V.24. Lorsque min(m, n) tend vers l’infini, les v.a. d´efinies par ζ_m,n = U_m,n− ^mn₂

qmn(m+n+1) 12

,

o`u U_m,n est une v.a. de loi U(m, n), convergent en loi vers la loi normale centr´ee r´eduite N(0,1).

On peut montrer que sous H₁ ={P(Y_j > X_i)6= ¹₂}, la statistique de test ζ_m,n tend p.s.

vers +∞ ou −∞ lorsquem et ntendent vers l’infini de telle sorte que le rapport ^m_n ait une limite dans ]0,∞[. La r´egion critique est donc de la forme ]− ∞,−a]∪[a,+∞[, et le test de Mann et Whithney est convergent. Pour un test de niveau asymptotique α, on choisit a=φ_1−α/2, le quantile d’ordre 1−^α₂ de la loi N(0,1).

Remarque V.25. On peut expliciter des sous ensembles remarquables de l’hypoth`ese alter-native du test de Mann et Whitney.

– Soit W une v.a. de fonction de r´epartion F_W et Z une v.a. de fonction r´epartition F_Z. On dit que la loi de W majore strictement pour l’ordre stochastique la loi Z, si F_W(t) ≤ F_Z(t) pour tout t∈ R avec in´egalit´e stricte pour au moins une valeur det.

On le note alors Z ≺W. Si de plusZ etW sont ind´ependantes, on aP(W > Z)> ¹₂. Pour le test de Mann et Whitney, on peut donc consid´erer comme hypoth`ese alternative H₁ ={X_i≺Y_j} ∪ {Y_j ≺X_i}sans changer la r´egion critique.

– On peut se placer dans un mod`ele de d´ecalage en supposant que la fonction de r´eparti-tion commune desY<sub>j</sub> est de la forme F<sub>µ</sub>(t) =F(t−µ) o`uµ∈R, ce qui signifie que Y_j a mˆeme loi que Xi +µ. Alors pour µ >0, Xi ≺ Yj tandis que pour µ < 0, Yj ≺ Xi. On peut alors tester l’hypoth`eseH<sub>0</sub> ={µ= 0} contre l’hypoth`ese H₁ ={µ6= 0} sans changer la r´egion critique.

Enfin si on prend comme hypoth`ese alternative H₁ ={P(Y_j > X_i)< ¹₂} ou H₁ ={Y_j ≺ X_i} ou H₁ = {µ < 0}, la r´egion critique est de la forme ]− ∞, a] tandis que si on prend H₁ ={P(Y_j > X_i) > ¹₂} ou H₁ ={X_i ≺Y_j} ou H₁ = {µ >0}, la r´egion critique est de la forme [a,+∞[.

♦

D`es que m etn sont grands, le calcul deU sous la forme donn´ee ci-dessus devient fasti-dieux. Dans ce cas, on utilise la m´ethode suivante :

– on classe globalement les X_i etY_j, d’o`u une suite Z = (Z₁, . . . , Z_n+m),

– pour tout j (o`u 1≤j≤n) on rep`ere, et on note S_j, le rang de Y_j dans la suite Z, – on calcule R_Y = Pn

j=1S_j. On v´erifie ´el´ementairement que les v.a. U_{Y ,X} et R_Y sont li´ees par :

U_{Y ,X} =R_Y −n(n+ 1)

2 .

Le traitement des ex-aequo se fait par les mˆemes m´ethodes que pour les tests `a un

´echantillon.

Remarque V.26. On peut ´evidemment ´echanger le rˆoles des deux ´echantillons. On consid`ere alors les statistiques U<sub>X,Y</sub>, calcul´ee `a partir du nombre de couples (i, j) tels que X_i > Y_j et R_X, calcul´ee `a partir de la somme des rangs des X_i dans la suite Z; elles v´erifient U_X,Y = R_X −^m(m+1)₂ . D’autre part on a : R_X+R_Y = (n+m)(n+m+1)

2 .

♦

Exemple V.27. Revenons sur l’exemple V.2 de l’angoisse dans les soci´et´es primitives. Pour tester l’hypoth`ese H₀ : “les deux types de soci´et´e sont diff´erentes” contre sa n´egation, nous allons utiliser les deux tests pr´ec´edents. Le tableau des rangs est le suivant :

V.4. PROBL `EMES `A DEUX ´ECHANTILLONS 101 Soci´et´es sans Notes Rangs Soci´et´es avec Notes Rangs

expl. orales d’anxi´et´e expl. orales d’anxi´et´e

Lapp 13 20.5 Marquesans 17 39

Chamorro 12 24.5 Dobuans 16 38

Samoans 12 24.5 Baiga 15 36

Arapesh 10 16 Kwoma 15 36

Balinese 10 16 Thonga 15 36

Hopi 10 16 Alorese 14 33

Tanala 10 16 Chagga 14 33

Paiute 9 12 Navaho 14 33

Chenchu 8 9.5 Dahomeans 13 29.5

Teton 8 9.5 Lesu 13 29.5

Flathead 7 5 Masai 13 29.5

Papago 7 5 Lepeha 12 24.5

Wenda 7 5 Maori 12 24.5

Warrau 7 5 Pukapukans 12 24.5

Wogeo 7 5 Trobianders 12 24.5

Ontong 6 1.5 Kwakiull 11 20.5

Manus 11 20.5

Chiricahua 10 16

Comanche 10 16

Siriono 10 16

Bena 8 9.5

Slave 8 9.5

Kurtatchi 6 1.5

R_x= 200 R_y = 580

m= 16 n= 23

Application du test de Kolmogorov-Smirnov.On calcule les fonctions de r´epartition empiriques des deux ´echantillons, puis on trouve Dx,y = 0.5516. Or d’apr`es les tables de ce test au niveau 0.01 (ou d’apr`es les r´esultats fournis par les logiciels), on a :P(D_x,y>0.5045) = 0.01. On peut donc rejeter, au seuil 0.01, l’hypoth`ese nulle et affirmer la diff´erence entre les deux soci´et´es.

A-t-on le mˆeme r´esultat en utilisant le test de Mann et Whitney ?

Application du test de Mann et Whitney. On trouve : U_y,x = 580−12 ×23 = 580−276 = 304 de mˆeme queU_x,y =P

des rangs des X−^m(m+1)₂ = 200−8×17 = 64.

L’approximation gaussienne a pour moyenne 16×23 = 184 et pour variance 35.02². La v.a. centr´ee et r´eduite U_y,x−184

35.02 prend pour valeur 3.43 ce qui est tr`es grand pour une loi normale centr´ee r´eduite, dont la fonction de r´epartition vaut 1−3.10<sup>−4</sup> en 3.43. Par cons´equent on met en ´evidence une diff´erence, significative `a tout niveau α ≥3.10⁻⁴, entre les deux types de soci´et´es, de la mˆeme mani`ere qu’avec le test de Kolmogorov. ♦

Dans le document ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´EES (Page 107-112)