E ffet de la discrétisation intra-granulaire

90° 135° 180° 225° 270° 315° 0.05 0.10 0.15 0.20 Corrected grain b1 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 0.025 0.050 0.075 0.100 Corrected grain b2 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 0.03 0.06 0.09 0.12 Corrected grain b3 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 0.015 0.030 0.045 0.060 Corrected grain b5

Figure 4.12 – Distributions polaire des normales au contact à l’intérieur des grains à di-mension variable (90^◦représente l’axe vertical)

4.2.3 Effet de la discrétisation intra-granulaire

La génération aléatoire du maillage utilisé pour discrétiser les grains en particules per-met d’obtenir des grains avec des plans de rupture prédéfinis. L’aspect aléatoire et par la suite la discrétisation du grain ont un effet sur la résistance du grain. Pour étudier cet effet, plusieurs grains ayant la même dimension mais des discrétisations différentes sont soumis à des simulations d’écrasement.

4.2.3.1 Étude paramétrique

Plusieurs grains sont générés, ayant une même dimension maximale de 0.04 m mais des surfaces cohésives moyennes variables (voir équation 3.13), par la suite un nombre de particules différent. La cohésion normale est fixée à cn = 103kPa et µMC = 0.4.

pour une même dimension de grain, et les barres d’erreurs représentent l’écart type. Une augmentation de la force de rupture est notée quand la surface cohésive moyenne augmente. Cette augmentation est justifiée par le fait qu’aux interfaces, la force nécessaire pour rompre une liaison cohésive est égale à la surface elle même multipliée par la valeur de la cohésion. Donc une augmentation de la surface mène à l’augmentation de la force nécessaire pour atteindre la rupture.

L’écart type est plus important dans le cas du grain ayant la plus grande surface cohésive moyenne. En effet ce grain est divisé en peux de particules, donc les 5 grains générés pour les simulations ont des surfaces cohésives moyennes différentes, donc les différences entre les valeurs de la force de rupture mènent à cet écart type élevé.

L’interprétation physique de ce phénomène est la suivante : quand le nombre de particules augmente (ou la surface cohésive moyenne diminue), le nombre de plans de rupture poten-tiels augmente, or ce dernier exprime le nombre de défauts à l’intérieur du grain, donc cette augmentation mène à une diminution de la force de rupture du grain (théorie de Griffith [Griffith, 1921]).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

Mean subgrain surface (

m

Figure 4.13 – Variation de la force de rupture des grains en fonction de la surface cohésive moyenne

Pour aller plus loin dans l’analyse, un grain est sélectionné et étudié pour chaque sur-face cohésive moyenne. Les valeurs de la force minimale, moyenne et maximale sont cal-culées à l’aide des surfaces cohésives minimale (surfmin), moyenne (surfmoy) et maximale (surfmax) des particules :

force minimale= cn× surfmin (4.3) force moyenne= cn× surfmoy (4.4) force maximale= cn× surfmax (4.5)

Les forces minimales et maximales jouent le rôle de limites inférieure et supérieure res-pectivement, délimitant la force de rupture potentielle.

La figure 4.14 montre ces valeurs calculées en plus de la force de rupture trouvée par la simulation d’écrasement pour chaque grain sélectionné. Le tableau 4.3 montre les di ffé-rents paramètres géométriques des grains sélectionnés et la figure 4.15 montre la rupture des grains c1 à c4.

On note que quand la surface cohésive moyenne diminue, la variabilité de la dimension des particules exprimée par le rapport ^{écart type}

surface cohésive moyenne ^{augmente : le grain c1 a} une variabilité de 21.4% contre une variabilité de 64.5% pour le grain c4.

En allant du grain c4 au grain c2, l’augmentation de la force de rupture est faible, mais un saut important est noté en passant du grain c2 au grain c1. Une explication potentielle de ce comportement est l’irrégularité du nombre et des dimensions des particules. Quand le nombre de particules et par la suite la variabilité augmente, la configuration géométrique des particules peut mener à des distributions de forces très différentes, en activant des in-terfaces ayant de petites surfaces cohésives, ou en imposant un chemin de rupture plus direct, diminuant par la suite la résistance du grain à la rupture. Le grain c1 a le nombre de particules et la variabilité les plus faibles. Dans ce cas, la force du rupture est comprise entre la force moyenne et la force maximale calculées, ce qui signifie que le chargement est repris par les interfaces ayant les surfaces cohésives les plus grandes.

Pour les grains c2 et c3 ayant un nombre de particules et une variabilité plus importants la force de rupture reste proche de la force moyenne calculée.

Dans le cas du grain c4, une grande variabilité est le résultat d’une discrétisation (maillage) fine et aléatoire (figure 4.15), donc la résistance du grain va dépendre de la configuration et des interfaces cohésives activées. Dans ce cas, les interfaces ayant une surface supérieure à la surface cohésive moyenne sont considérées activées, ce qui résulte en une force de rupture supérieure à la force moyenne calculée.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Mean subgrain surface (m²) ^{1e 4} 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 Breakage force (kN) Numerical force Minimal computed force Mean computed force Maximal computed force

grain c1

grain c2 grain c3

grain c4

Figure 4.14 – Variation de la force de rupture des grains sélectionnés en fonction de la surface cohésive moyenne – Résultats numériques et force minimale, moyenne et

maximale calculées

Grain Dimension Nombre de Surface cohésive Écart type

du grain (m) particules moyenne (m²) Surface cohésive moyenne grain c1 0.04 12 1.56 × 10⁻⁴ 21.4%

grain c2 0.04 28 8.32 × 10−5 44.5% grain c3 0.04 84 3.92 × 10⁻⁵ 48.6% grain c4 0.04 650 9.45 × 10⁻⁶ 64.5%

Tableau 4.3 – Paramètres géométriques des grains sélectionnés pour étudier l’effet de la discrétisation

grain c1 grain c2

grain c3 grain c4

Figure 4.15 – Rupture des grains à différentes discrétisations

4.2.3.2 Configuration particulière

Pour la suite de l’étude de l’effet de la configuration, une orientation des normales aux contacts est imposée, afin d’éviter l’effet de la géométrie de la configuration. Deux configurations particulières sont générés. Le même grain étudié précédemment est divisé verticalement et horizontalement en 12 particules (figure 4.16). Le nombre de particules est choisi en fonction du grain c1 du paragraphe précédent pour pouvoir comparer les résultats. Les particules étant générées avec une géométrie parfaitement verticale ou horizontale, l’essai d’écrasement a résulté en une interpénétration de ces particules (figure 4.17), donc aucun résultat n’a pu être tiré de ces simulations, même en faisant varier la valeur de la cohésion. Cela mène à conclure que les défauts à l’intérieur du grains doivent êtres aléatoires pour mieux simuler la rupture.

Figure 4.16 – Grains divisés verticalement et horizontalement en 12 particules

Figure 4.17 – Interpénétrations dans les simulations d’écrasement des grains à discrétisations particulières