Échelle macroscopique

Pendant la compression œdométrique, la réaction exercée par les grains sur la plaque supérieure est suivie et la contrainte est alors calculée ; par ailleurs le déplacement de cette plaque permet de calculer l’évolution de l’indice des vides et de la déformation verticale. La figure 5.4 montre l’évolution de l’indice des vides en fonction de la contrainte verti-cale, tracée sur une échelle semi-logarithmique. Les courbes des deux simulations (grains cassables et grains non cassables) montrent chacune un changement de pente : une faible pente sous faibles contraintes, puis un passage à une pente plus élevée en valeur absolue, sous une contrainte de 50 kPa environ pour les grains cassables et de 100 kPa pour les grains non cassables. Ce résultat est attendu pour un essai de compression œdométrique. Le coefficient de compressibilité C qui est égal à la deuxième pente de la courbe

œdomé-les grains non cassabœdomé-les. Cette différence des valeurs est traduite physiquement par une déformation (ou tassement) de l’échantillon de grains cassables plus importante que celle de l’échantillon de grains non cassables, pour un même incrément de contrainte verticale appliquée.

La figure 5.5 est une autre présentation de la même analyse, montrant l’évolution de la contrainte verticale en fonction de la déformation verticale (en valeurs médianes). Pour une valeur donnée de la déformation verticale, la contrainte verticale est supérieure dans l’échantillon de grains cassables. Ces observations mènent à la conclusion que quand les grains sont rompus, la seule différence entre les deux cas étudiés, une plus grande liberté de mouvement est créée, et le réarrangement des grains devient plus facile, ce qui explique le tassement plus important dans ce cas. Il est important à noter que dans la figure 5.5, la déformation verticale atteinte ne permet pas de voir une diminution de la compressibi-lité de l’échantillon habituellement observée pour ce type de matériaux caractérisé par la rupture des grains, ce qui peut être une conséquence des limitations numériques (pas de temps, paramètres de détection de contact, tolérance des calculs).

10⁰ 10¹ 10² 10³

Vertical stress (kPa) 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 V o id r a ti o Breakable grains Unbreakable grains _Cc=0.108 Cc=0.130

0 2 4 6 8 10 Vertical strain (%) 0 100 200 300 400 500 600 700 800

Vertical stress (kPa)

Breakable grains Unbreakable grains

Figure 5.5 – Évolution de la contrainte verticale en fonction de la déformation verticale des échantillons de grains cassables et non cassables

Le modèle de rupture employé dans les simulations œdométriques offre la possibilité de suivre les liaisons cohésives reliant les particules des grains cassables. La figure 5.6 montre l’évolution du pourcentage des liaisons cohésives restantes dans l’échantillon en fonction de la déformation verticale. Il est clair que les grains sont rompus de plus en plus sous le chargement. On remarque deux points intéressants pour ε = 1.2% et ε = 3.7% montrant des chutes du pourcentage des liaisons cohésives restantes. En comparant cette courbe avec la courbe de la figure 5.5 de la contrainte verticale en fonction de la défor-mation, pour ces deux valeurs de la défordéfor-mation, un pic dans la contrainte verticale est observé. En effet, pour ces deux valeurs de la déformation les grains se bloquent, ce qui mène à une augmentation de la contrainte verticale montré par un pic sur la courbe de la figure 5.5. Quand le pic est atteint, une rupture des grains a lieu, montrée par une chute dans le pourcentage des liaisons cohésives restantes dans la figure 5.6. Suite à la rupture des grains, le mouvement est débloqué, et la déformation verticale croît de nouveau. En analysant les graphes, les premiers pas de calcul montrent des ruptures de grains dans l’échantillon cassables (figure 5.6). Cela est dû à la transmission des forces de contacts hétérogènes entre les grains : au début de l’essai, peu de grains récupère la force appli-quée par la plaque supérieure (figure 5.7), ce qui mène à de grandes forces transmises aux contacts activés (figure 5.8), et par la suite à des ruptures de grains. Pour mieux visualiser ce phénomène, la figure 5.7 montre une vue de face de la plaque supérieure au début de la simulation, où les contacts peu nombreux établis entre la plaque et les grains sont visibles. De plus, la figure 5.8 montre les forces de contacts normales entre les grains à l’intérieur

0 2 4 6 8 10 Vertical strain (%) 0 20 40 60 80 100

Remaining cohesive bonds (%)

Figure 5.6 – Évolution du pourcentage des liens cohésifs restants dans l’échantillon de grains cassables en fonction de la déformation verticale

Figure 5.8 – Distribution des forces de contacts au début de la compression œdométrique

Le suivi des liaisons cohésives permet en plus de calculer la granulométrie de l’échan-tillon au cours de la simulation. En effet, les grains qui cassent sont séparés en fragments, chacun de ces fragments devenant lui même un grain. Pour calculer la granulométrie, la dimension maximale et le volume de chaque grain sont calculés, et le grain est assimilé à un cylindre de même volume, dont la hauteur est égale à la dimension maximale du grain. Le diamètre de ce cylindre satisfaisant ce volume et cette dimension maximale permet de calculer la dimension granulométrique du grain (figure 5.9) :

dgran= αdcyl = α r

4V πdmax

(5.1)

avec dgran la dimension granulométrique du grain, dcylle diamètre du cylindre équivalent, dmaxla dimension maximale du grain, V le volume du grain, et α un coefficient de correc-tion pour prendre en compte la différence de forme entre le grain et le cylindre.

Dans cette étude, la valeur de α est déterminée en considérant un nombre de grains et de fragments de grains dont les dimensions granulométriques sont connues, et en calculant la valeur de α de façon à obtenir les valeurs les plus proches. Une valeur moyenne de α= 2.2 a été obtenue. La figure 5.10 montre l’évolution de la granulométrie de l’échantillon de grains cassables. La granulométrie initiale est créée en fixant une dimension maximale des grains à 4 cm. Vu que le nombre de sommets peut varier, le calcul des dimensions granulo-métriques donne la courbe de l’état initial de la figure 5.10. La courbe de la granulométrie

qu’aura atteint théoriquement l’échantillon si tous les liens cohésifs sont rompus, ce qui n’est pas nécessairement possible dans les simulations œdométriques étudiées. En effet, cet état ultime est dépendant de la discrétisation du grain, et sera uniquement utilisé pour remplacer l’état ultime (distribution fractale) proposé par Einav [Einav, 2007] lors du cal-cul du taux de rupture qu’il propose dans le cadre des mêmes travaux.

La granulométrie de l’échantillon génère des distributions de forces hydrostatiques sur les grains de grandes dimensions qui ne les cassent pas, c’est pourquoi la dimension granulométrique maximale reste constante. Cet effet est expliqué par McDowell et al. [McDowell et al., 1996] et Tsoungui et al. [Tsoungui et al., 1999].

L’évolution de la granulométrie est progressive, en se rapprochant de l’état ultime sans pourtant la possibilité de l’atteindre.

Figure 5.9 – Méthode employée pour le calcul des dimensions granulométriques des grains

0.004 0.02 0.04

Grain size (m)

0

20

40

60

80

100

Percent finer (%)

Figure 5.10 – Évolution de la granulométrie de l’échantillon de grains cassables au cours de la compression œdométrique

Le calcul du tenseur de contraintes permet de tracer l’évolution de la direction princi-pale de contraintes au cours du chargement (figure 5.11). Les deux échantillons de grains, cassables et non cassables, ont une direction principale aux alentours de 80° par rapport à l’horizontale, avec des variations attribuées aux réarrangements locaux des grains, ce qui explique l’atténuation de ces variations quand le chargement avance et quand les réarran-gements ont lieu dans une moindre mesure.

55 60 65 70 75 80 85 90

Principal stress direction