Dynamique de l'arbre dans le vent

Le modèle statique de l'arbre dans le vent est utile car il est simple mais il correspond plus au comportement d'un arbre soumis à une flexion artificielle qu'à celui d'un arbre se balançant dans le vent. La vitesse de vent critique, au-delà de laquelle un arbre casse, prédite à partir des modèles statiques de chargement surestime toujours beaucoup les vitesses critiques mesurées (Peltola, 2006).

Figure 1.6: Reconfiguration élastique d'une plante.

Variation du facteur de traînée ACx avec le nombre de Cauchy CY défini comme le rapport ρU2_S3_/E. La ligne violette représente un modèle composé d'un cylindre mécanique monté sur un ressort rotationnel. Les signes plus : branches d'érables, astérisque : roseaux, cercles oranges : feuilles de tulipier de Virginie et carré bleus : disque flexible. Extrait de De Langre (2008)

1.2.1.5.Dynamique de l'arbre dans le vent.

Il n'y a qu'à observer un arbre dans une tempête pour se rendre compte qu'il a un comportement très fluctuant au cours du temps qui ne peut être bien compris que sous le prisme de la dynamique. Ce faisant, on ne néglige plus les (pseudo-)forces inertielles liées aux accélérations. Un épisode de vent est en réalité constitué d'une succession de rafales qui amplifient le balancement de l'arbre (James, 2003; James et al., 2006) un peu comme un homme qui pousse régulièrement son enfant sur une balançoire. On va alors parler de dynamique de la structure en réponse à une excitation cyclique, réponse qui met en jeu des caractéristiques dynamiques du système c'est- à dire la façon dont il répond non seulement à l'intensité du vent mais aussi à des fréquences d'excitation par les rafales. Il existe un cadre théorique et expérimental pour appréhender les caractéristiques dynamiques générale d'un arbre pour déterminer ensuite sa réponse à une excitation particulière par le vent (Rodriguez, 2009). Les caractéristiques dynamiques de la structure décrivent l'échange d'énergie dans la structure entière entre deux formes d'énergies mécaniques internes, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de déformation élastique. Enfin, l'énergie mécanique du système se dissipe au cours du temps en fonction des propriétés de la structure ou de son environnement. Les déformations de la structure peuvent être décomposées en modes vibratoires en situation stationnaire (Fig. 1. 7a). Le mode 0 correspond à un effort statique et le premier mode s'appelle le mode fondamental. Chaque mode peut être caractérisé par 3 paramètres majeurs :

• sa fréquence propre, qui définit le temps caractéristique de l'échange entre les deux types d'énergie. Dans le cas d'une poutre encastrée libre, il existe une formule analytique de la fréquence associée au mode N :

f_N=KN 2 ⋅D 2 π⋅H2⋅

√

(1.16)

où H est la longueur de la poutre, D son diamètre, E le module d'élasticité et ρ sa masse volumique. KN est un coefficient qui ne dépend que des conditions aux limites. Le mode fondamental est celui dont la fréquence naturelle est la plus basse. Ceci permet d'ailleurs de fournir un critère pour un effort statique qui est donc un effort qui se produit lentement devant la fréquence associée au mode fondamental. La fréquence des modes supérieurs augmente rapidement. On peut observer la fréquence propre associée au mode fondamental d'une tige si on l'écarte de sa position naturelle en le tirant puis qu'on la relâche soudainement ensuite. Pour les modes fondamentaux d'arbres adultes, elle est de l'ordre de 0,3-1 Hz dans la plupart des études (Moore, Maguire, 2004 ; Rodriguez, 2009 ; Rodriguez et al., 2008).

• sa masse qui caractérise l'inertie du mouvement et l'énergie cinétique associée à ce mode. • Son amortissement qui traduit une dissipation de l'énergie du système. Il existe 3 sources

d'amortissement chez un arbre. Le premier est l'amortissement aérodynamique lié à la traînée des feuilles (et dans une moindre mesure des branches) dans l'air. Cette forme d'amortissement est très efficace (Moore, Maguire, 2005 ; Sellier, Fourcaud, 2009). Il existe aussi une dissipation visqueuse de l’énergie dans les tissus (friction interne) eux-mêmes mais cette composante n'est pas très importante (Sellier, Fourcaud, 2009). Enfin, les frottements ou chocs avec les arbres voisins constituent la dernière forme de dissipation qui

1.2.1.5.Dynamique de l'arbre dans le vent.

peut être prédominante lorsque le peuplement est dense (Milne, 1991).

Figure 1.7: Analyse modale des déformations d'un arbre.

a. Les 3 premiers modes vibratoires d'une poutre encastrée libre (extrait de la thèse de Rodriguez,

2009). b. Modèle représentant les caractéristiques dynamiques de la tige et de ses branches comme un couplage d'oscillateurs harmoniques amortis associés aux branches d'après James et al. (2006). Chaque oscillateur est caractérisé par une masse m (g), un ressort de rigidité k (N.m-1_{) et un}

amortisseur de viscosité c (Pa.s-1_).

Le comportement dynamique d'un arbre, en particulier d'un adulte ramifié ayant exprimé tout son potentiel architectural, est beaucoup plus complexe que celui d'une simple poutre car l'influence des branches et du houppier est forte ((Moore, Maguire, 2005 ; Sellier, Fourcaud, 2009 ; Rodriguez et al., 2008). Le comportement du houppier peut par exemple être modélisé à l'aide d'oscillateurs harmoniques amortis couplés (Fig. 1. 7b).

Si les vitesses critiques observées sont plus faibles que les vitesses critiques prédites à partir d'un modèle statique de chargement, c'est dû au phénomène d'amplification dynamique ou de résonance. Il n'est pas nécessaire de faire beaucoup d'effort pour pousser quelqu'un sur une balançoire, il suffit juste de pousser au bon moment, en phase avec la fréquence propre du système. C'est ce que l'on nomme la résonance que tous les ingénieurs essayent d'éviter car elle peut provoquer des oscillations catastrophiques. Un train de violentes rafales en phase avec la fréquence propre d'un arbre peut aussi conduire à la ruine de l'arbre. Pour appréhender le couplage dynamique entre la structure (l'arbre) et l'excitation (le vent), on utilise alors un nombre adimensionnel, la vélocité réduite UR, qui est le rapport entre la période de vibration libre du solide sur le temps caractéristique que met le fluide à parcourir la dimension du solide. Pour une poutre encastrée, la vélocité réduite peut s'exprimer :

1.2.1.5.Dynamique de l'arbre dans le vent.

U2_R=CY⋅S⋅ρs

ρ_f

(1.17)

où CY est le nombre de Cauchy, S le défilement de la poutre et ρ est la masse volumique du solide ou du fluide. Lorsque la vélocité réduite est de l'ordre de 1, il existe un couplage fort entre la dynamique du fluide et celle du solide qui peut mener à de la résonance (de Langre, 2008), si l'amortissement ne limite pas l'amplitude du mouvement. Dans le cas des arbres, bien qu'il ne soit pas rare de rencontrer UR ≈1, il semble que l'architecture et les dimensions leur procurent un amortissement dynamique suffisamment fort pour limiter le phénomène de résonance en amplitude. Toutefois cette saturation de la résonance ne signifie cependant pas que les modes vibratoires soient négligeables Il faut ainsi ajouter ce chargement dynamique supplémentaire qui peut représenter 20 % du chargement statique (Sellier, Fourcaud, 2009).

1.2.2. Mécano-perception et thigmomorphogénèse

L'arbre n'est pas seulement un système passif qui oscille au gré du vent. Il s'agit d'un être vivant capable de percevoir ses variations d’état mécanique sous l’effet des chargements liés à son environnement et d'y répondre.